解析几何报告

即 x′ xcosθ + zsinθ ′ y y ′ = zcosθ − xsinθ z 1 1 即 x ′ = xcosθ + zsinθ y′ = y z ′ = zcosθ − xsinθ 3） 绕 z 轴旋转θ角的变换为： x ′ cosθ −sinθ 0 0 x y ′ sinθ cosθ 0 0 y = 0 0 1 0 z z′ 0 0 0 1 1 1 即
x′ 1 0 y′ 0 1 = z′ 0 0 1 0 0 即
0 0 −1 0
0 x 0 y 0 z 1 1
x x′ ′ y y = −z z′ 1 1 在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x ′ = −x y′ = y z′ = z 给出的变换叫做图形关于 yOz 坐标平面的对称变换。 令 a=-1，e=i=1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x ′ −1 0 y′ 0 1 ′ = 0 0 z 0 0 1 即 −x x′ ′ y y = z z′ 1 1 在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x′ = x y ′ = −y z′ = z 给出的变换叫做图形关于 xOz 坐标平面的对称变换。 令 a=i=1，e=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x′ 1 0 y ′ 0 −1 = 0 0 z′ 0 0 1 即 x x′ ′ −y y = z z′ 1 1 在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1
4) 点 P 绕 z 轴旋转θ角 5) 执行步骤 3)的逆变换 6) 执行步骤 2)的逆变换 7) 执行步骤 1)的逆变换 具体步骤：
′ ′ ′ 1) 设 M(x0 , y0 , z0 ),N(x0 , y0 , z0 ),则步骤 1)的变换矩阵为
1 Tα = 0 0 0
0 1 0 0
0 −x0 0 −y0 1 −z0 0 1
令 i=1，a=e=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x ′ −1 y′ 0 ′ = 0 z 0 1 即 −x x′ ′ −y y = z z′ 1 1 空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x ′ = −x y ′ = −y z ′ = −z 给出的变换叫做图形关于原点的对称变换。 令 i=a=e=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x ′ −1 y′ 0 ′ = 0 z 0 1 即 −x x′ ′ −y y = −z z′ 1 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 x 0 y 0 z 1 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1
推导出变换矩阵，画出变换后的图形。比较两种变换后图形的差异，说明原因。 给出空间图形的基本变换(缩放、对称、错切、旋转、平移)的定义，如何实现？将 基本变换矩阵连乘可构造出组合变换，设计构造并实现下列空间图形组合变换。
班号：05811201 学号：1120121577
学号：1120121576 姓名：尤鹏杰
0 x 0 y 0 z 1 1
x x′ ycosθ − zsinθ y′ = ysinθ + zcosθ z′ 1 1 即 x′ = x y ′ = ycosθ − zsinθ z ′ = ysinθ + zcosθ
2）
绕 y 轴旋转θ角的变换为： x′ cosθ y′ 0 ′ = −sinθ z 0 1 0 0 0 0 sinθ 0 x 0 0 y cosθ 0 z 0 1 1
1 平移变换： ○
在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x′ = x + l y′ = y + m z′ = z + n 给出的变换ϕ: P x, y, z → p′ (x ′ , y ′ , z′)叫做平移变换。 平移变换使空间图形沿某α(l, m, n)的方向移动 α 的距离， 而图形的形状、 大小不改变。 平移变换可以下列形式表示： x′ 1 0 y′ 0 1 = z′ 0 0 1 0 0
M，N 两点经平移变换Tα 后变为点M1 (0,0,0)，N1 x1 , y1 , z1 2) 设直线M1 N1 绕 x 轴旋转 φ角落在 xOz 平面上,变成直线M2 N2 。 N1 在 yOz 平面的投影
’ ’ N1 (0, y1 , z1 )，N2 在 yOz 平面的投影 N2 落在 z 轴上，则
0 x 0 y 0 z 1 1
其中 a,e,i 分别为 x,y,z 轴三个方向的缩放因子。 若 a=e=i,图形沿三个方向的缩放因子相同，称为等(全)比例变换。令缩放因子为 ，则等比例变换为
1 s x ′ y 0 ′ = z 0 1 0 ′ 1 s
0 0 0 x 1 0 0 y s z 1 0 0 1 s 0 0 1
由齐次坐标的概念，可将上式写为 x s x 1 x′ ′ y y s y 0 = = = z′ z s z 0 s 0 1 1 0 1 0 0 0 0 x 0 0 y 1 0 z 0 s 1
3 对称变换： ○
在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x′ = x y′ = y z ′ = −z 给出的变换叫做图形关于 xOy 坐标平面的对称变换。 令 a=e=1，i=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式
即 x x′ ′ y y = z + gx z′ 1 1 即 x′ = x y′ = y z ′ = z + gx 沿 z 含 y 的错切变换： x′ 1 0 y′ 0 1 = z′ 0 h 1 0 0 即 x x′ ′ y + hy y = z z′ 1 1 即 x′ = x y ′ = y + hy z′ = z 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1
姓名：杨酉知
1 ○
设∆ABC经变换后得到∆A′B′C′ x′ 0 −1 ′ = y 1 0 x x ′ = −y − 1.5 2 0 y + 0 + 1.5 即 y ′ = x + 2 ，
得 A’(-2.5,3),B’(-4.5,3),C ’(-3,5)
2 ○
设∆ABC经变换后得到∆A"B"C" x ′ = −y + 2 x′ 0 −1 x 2 0 = + + 即 ′ y′ y = x + 1.5 1 0 y 0 1.5 A”(1,2.5),B”(-1,2.5),C ”(0.5,4.5)
这两种变换得到的图形大小与形状相同，但位置不同，这两种变换都是由不改变 图形大小与形状的旋转和平移组成，但次序不同。
空间图形的基本变换： 空间图形的基本变换是指平移、缩放、对称、旋转、错切等变换。这五种变换的变换
矩阵可统一称一个四阶方阵 a b c l T= d e f m g h i n 0 0 0 1 其中右上角的 1× 3 阶矩阵实现平移变换，左上角的三阶矩阵实现缩放，对称，旋转， 错切等变换。 下面先介绍齐次坐标概念： 齐次坐标是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来 表示。例如：三维坐标 (x,y,z)可用四维坐标 (px,py,pz,p)来表示。
x ′ = x + cz y′ = y z′ = z 沿 y 含 x 的错切变换： x′ 1 0 y′ d 1 = z′ 0 0 1 0 0 即 x x′ ′ y + dx y = z z′ 1 1 即 x′ = x y ′ = y + dx z′ = z 沿 y 含 z 的错切变换： x′ 1 0 y′ 0 1 = z′ 0 0 1 0 0 即 x x′ ′ y + fz y = z z′ 1 1 即 x′ = x y ′ = y + fz z′ = z 沿 z 含 x 的错切变换： x′ 1 y′ 0 = z′ g 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1 0 f 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1
x′ xcosθ − ysinθ ′ y xsinθ + ycosθ ′ = z z 1 1 即 x ′ = xcosθ − zsinθ y ′ = xsinθ + ycosθ z′ = z
5 错切变换： ○
沿 x 含 y 的错切变换： x′ 1 b y′ 0 1 = z′ 0 0 1 0 0 即 x′ x + by ′ y y ′ = z z 1 1 即 x ′ = x + by y′ = y z′ = z 沿 x 含 z 的错切变换： x′ 1 0 y′ 0 1 = z′ 0 0 1 0 0 即 x + cz x′ ′ y y = z z′ 1 1 即 c 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1
cosφ=
2 2 设d1 = y1 + z1 ,则变换矩阵为
z1
2 y2 1 +z 1
sinφ=y1ຫໍສະໝຸດ 2 y2 1 +z 1
1 0 0 z1 d1 Tx = 0 y1 d1 0 0
−y1 d1 z1 d1 0
0
0 0 0 1
3) 设直线M2 N2 绕 y 轴旋转δ角与 z 轴重合，且N2 对应点N3 落在 z 轴正半轴上。则N2 的 坐标为 x1 x1 y 0 ON ∙ON Tx 1 = 则 cosδ= 2 3 = z1 d1 |ON 2 ||ON 3 | 1 1
x′ = x y ′ = −y z ′ = −z 给出的变换叫做图形关于 x 轴的对称变换。
令 a=1，e=i=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x′ 1 0 0 ′ y 0 −1 0 ′ = 0 0 −1 z 0 0 0 1 即 x x′ ′ −y y ′ = −z z 1 1 在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x ′ = −x y′ = y z ′ = −z 给出的变换叫做图形关于 y 轴的对称变换。 令 e=1，a=i=-1，其余元素为零，可将此变换表示成下列形式 x ′ −1 0 0 y′ 0 1 0 ′ = 0 0 −1 z 0 0 0 1 即 −x x′ y y′ ′ = −z z 1 1 在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x ′ = −x y ′ = −y z′ = z 给出的变换叫做图形关于 z 轴的对称变换。 0 x 0 y 0 z 1 1 0 x 0 y 0 z 1 1
上述基本变换都是基于特殊的点、线、面进行的，如果针对任意的点线面，就需要进 行组合变换。组合变换是对图形作一次以上的基本变换，变换矩阵为基本变换的变换 矩阵的乘积。下面介绍求任意点绕任意直线旋转的组合变换的一种方法。 求点 P(x,y,z)绕任意直线 MN 旋转θ角的矩阵的步骤： 1) 用平移变换把 M 点移至原点,对点 P 进行相同变换 2) 绕 x 轴旋转，使直线落在 xOz 平面上，对点 P 进行相同变换 3) 绕 y 轴旋转，使直线与 z 轴重合，对点 P 进行相同变换
2 缩放变换： ○
0 l x 0 m y 1 n z 0 1 1
在空间直角坐标系 O; e1 , e2 , e3 中由公式 x ′ = ax y ′ = ey z ′ = iz 给出的变换叫做平移变换。 缩放变换可以下列形式表示：
x′ a 0 y′ 0 e = z′ 0 0 1 0 0
0 0 i 0
4 旋转变换： ○
旋转变换是指空间图形绕某一坐标轴旋转θ角。θ角的正负按右手规则确定，即右手拇 指代表旋转轴方向，四指代表旋转方向，符合右手规则时，θ为正值，否则为负值。 1） 绕 x 轴旋转θ角的变换为：
x′ 1 0 0 ′ y 0 cosθ −sinθ ′ = 0 sinθ cosθ z 0 0 0 1 即
解析几何深层次研究及应用报告
题目： 设在直角坐标系中有三角形∆ABC， 坐标为A(1,1)， B(1,3)， C(3,1.5)。 将三角形∆ABC 作如下变换：
1 沿x方向平移 2,沿 y 方向平移 1.5，再绕原点旋转90。 ； ○ 2 绕原点旋转90。 ，再沿 x 方向平移 2，沿 y 方向平移 1.5。 ○