2021-2022学年度强化训练沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步练习试卷(含答案详解)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（）
A．95°B．90°C．85°D．80°
2、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．7
3、如图，已知AB AC =，要使AEB ADC △≌△，添加的条件不正确．．．
的是（ ）
A ．BD CE =
B ．AEB AD
C ∠=∠ C ．B C ∠=∠
D ．B
E CD =
4、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠a +∠β等于（ ）
A ．180°
B ．210°
C ．360°
D ．270°
5、如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，OA =15米，OB ＝10米，
A 、
B 间的距离不可能是（ ）
A ．5米
B ．10米
C ．15米
D ．20米
6、如图，ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BA A ∠'的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
7、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（）
A．50°B．80°C．50°或80°D．100°或80°
8、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（）
A．42°B．48°C．52°D．58°
9、如图：将一张长为40cm的长方形纸条按如图所示折叠，若AB=3BC，则纸条的宽为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
10、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )
A ．2，11，13
B ．5，12，7
C ．5，5，11
D ．5，12，13
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，BE ＝DF ．要使AE +AF 最小值，若用作图方式确定
E ，
F ，则步骤是 _____．
2、如图，点A ，C 在直线l 上，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，过E ，B ，D 分别作EF l ⊥，BG l ⊥，DH l ⊥，若6EF =，3BG =，4DH =，则ABC 的面积是______．
3、如图，在△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，在B 1C 1上取一点C 2，延长AB 1到点B 2，使得B 1B 2＝
B 1
C 2，在B 2C 2上取一点C 3，延长AB 2到点B 3，使得B 2B 3＝B 2C 3，在B 3C 3上取一点C 4，延长AB 3到点B 4，使
得B 3B 4＝B 3C 4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB 2C 2＝________°；第n 个三角形的内角∠AB n C n ＝________°．
4、如图，42AOB ∠=︒，C 为OB 上的定点，P 、Q 分别为OA 、OB 上两个动点，当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为______．
5、如图，在三角形ABC 中，40BAC ∠=︒，点D 为射线CB 上一点，过点D 作DE AC ∥交直线AB 于点
E ，D
F AB ∥交直线AC 于点F ，C
G 平分ACB ∠交DF 于点G ．若:3:4FDC EDC ∠∠=，则DGC ∠=
______°．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，Rt△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝
AE ．
（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；
（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点．
（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交子G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG
CG
= ．（直接写出结果）
2、ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60︒得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．
（1）如图1，若60A ∠=︒，CFE ∠的度数为________；
（2）如图2，当3060A ︒<∠<︒吋， ①依题意补全图2；
②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明．
3、已知∠POQ =120°，点A ，B 分别在OP ，OQ 上，OA ＜OB ，连接AB ，在AB 上方作等边△ABC ，点D 是BO 延长线上一点，且AB =AD ，连接AD （1）补全图形；
（2）连接OC ，求证：∠COP =∠COQ ；
（3）连接CD ，CD 交OP 于点F ，请你写出一个∠DAB 的值，使CD =OB +OC 一定成立，并证明
4、如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．
5、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5． （1）直接写出BC 的取值范围是 ．
（2）若点D 是BC 边上的一点，∠BAC ＝85°，∠ADC ＝140°，∠BAD ＝∠B ，求∠C ．
6、已知：如图，点D 为BC 的中点，BAD CAD ∠=∠，求证：ABC 是等腰三角形．
7、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角AOB
∠．
求作：射线OC，使AOC BOC
∠=∠．
作法：如图，
①在射线OA上任取一点D；
②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D，E为圆心，大于1
2
DE长为半径作弧，在AOB
∠内，两弧相交于点C；
④作射线OC．
则OC为所求作的射线．完成下面的证明．
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知OD =______． 由作图步骤③可知CD =______． ∵OC OC =， ∴OCD OCE ≌
△△． ∴AOC BOC ∠=∠（________）（填推理的依据）．
8、如图所示，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OAB OBA ∠=∠，CBA DAB ∠=∠．求证：
（1）ABC BAD ≌； （2）OC OD =．
9、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB CD =，AE CF ∥，E F ∠=∠．求证：BE DF =．
10、周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：
（1）已知：如图①，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，直线BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．求证：
ABD △与DBC △都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；
（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．
（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．
-参考答案-
一、单选题 1、C 【分析】
根据SAS 证△ABE ≌△ACD ，推出∠C ＝∠B ，求出∠C 的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC ＝∠A +∠C ，代入求出即可． 【详解】
解：在△ABE 和△ACD 中，
AE AD A A AB AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠C ＝∠B ，
∵∠B ＝25°，
∴∠C ＝25°，
∵∠A ＝60°，
∴∠BDC ＝∠A +∠C ＝85°，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
2、B
【分析】
根据全等三角形的性质可得BC EF =，根据CF EF EC =-即可求得答案．
【详解】 解：ABC ≌DEF ，
∴BC EF =
点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，
∴CF EF EC =-743BC EC -=-=
故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3、D
【分析】
已知条件AB ＝AC ，还有公共角∠A ，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】
解：A 、添加BD ＝CE 可得AD ＝AE ，可利用利用SAS 定理判定△ABE ≌△ACD ，故此选项不合题意； B 、添加∠ADC ＝∠AEB 可利用AAS 定理判定△ABE ≌△ACD ，故此选项不合题意；
C 、添加∠B ＝∠C 可利用ASA 定理判定△ABE ≌△AC
D ，故此选项不合题意；
D 、添加B
E ＝CD 不能判定△ABE ≌△ACD ，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （直角三角形），掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
4、B
【分析】
已知90C ∠=︒，得到2390∠+∠=︒，根据外角性质，得到1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，再将两式相加，等量代换，即可得解；
【详解】
解：如图所示，
∵90C ∠=︒，
∴2390∠+∠=︒，
∵1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，
∴14D F αβ∠+∠=∠+∠+∠+∠，
∵12∠=∠，34∠=∠，
∴1423D F D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，
∵30D ∠=︒，90F ∠=︒，
∴23233090210D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+︒+︒=︒；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
5、A
【分析】
根据三角形的三边关系得出5＜AB ＜25，根据AB 的范围判断即可．
【详解】
解：连接AB ，
根据三角形的三边关系定理得：
15﹣10＜AB ＜15+10，
即：5＜AB ＜25，
∴A 、B 间的距离在5和25之间，
∴A 、B 间的距离不可能是5米；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．
6、B
【分析】
根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．
【详解】
解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，
90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，
40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，
1(18040)702
BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
7、C
【分析】
已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．
【详解】
解：等腰三角形的一个角是80°，
当80º为底角时，它的一个底角是80º，
当80º为顶角时，它的一个底角是
180801005022
︒-︒︒==︒， 则它的一个底角是50º或80º．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．
8、B
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵FG BC ∥，
∴42B AFG ∠=∠=︒，
∵DE AB ⊥，
∴90BDE ∠=︒，
∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．
9、B
【分析】
如图，延长NO交AD的延长线于点P，设BC=x，则AB=3x，利用折叠的性质和等腰直角三角形的性质可表示出纸条的宽MO，NO的长，从而可表示出纸条的长2PN的长，然后根据长方形纸条的长为40，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出纸条的宽．
【详解】
解：如图，延长NO交AD的延长线于点P，
设BC=x，则AB=3x，
∵折叠，
∴AB=BM=CO=CD=PO=3x，
∴纸条的宽为：MO=NO=3x+3x+x=7x，
∴纸条的长为：2PN=2（7x+3x）=20x=40
解得：x=2，
∴纸条的宽NO=7×2=14．
故答案为：B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，一元一次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系列出方程求解．
10、D
【分析】
根据三角形三边关系定理，判断选择即可．
【详解】
∵2+11=13，
∴A不符合题意；
∵5+7=12，
∴B不符合题意；
∵5+5=10＜11，
∴C不符合题意；
∵5+12=17＞13，
∴D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
二、填空题
∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP 1、①连接AD，作CBM ADB
交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F
【分析】
∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP 按照①连接AD，作CBM ADB
交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F的步骤作图即可得．
【详解】
∠=∠；
解：步骤是①连接AD，作CBM ADB
②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；
③连接AP交BC于点E；
④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F；
如图，点,E F即为所求．
故答案为：①连接AD ，作CBM ADB ∠=∠；②以点B 为圆心、AD 长为半径画弧，交BM 于点P ；③连接AP 交BC 于点E ；④以点D 为圆心、BE 长为半径画弧，交DB 于点F ．
【点睛】
本题考查了作一个角等于已知角、两点之间线段最短、作线段、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．
2、15
【分析】
根据AAS 证明△EFA ≌△AGB ，△BGC ≌△CHD ，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵EF ⊥FG ，BG ⊥FG ，
∴∠EFA =∠AGB =90°，
∴∠AEF +∠EAF =90°，
又∵AE ⊥AB ，即∠EAB =90°，
∴∠BAG +∠EAF =90°，
∴∠AEF =∠BAG ，
在△AEC 和△CDB 中，
AEF BAG EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EFA ≌△AGB （AAS ）；
同理可证△BGC ≌△CHD （AAS ），
∴AG =EF =6，CG =DH =4，
∴S △ABC =12AC ⨯BG =12(AG +GC )⨯BG =12(6+4)⨯3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3、40
1
802n - 【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠C 1B 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律即可得出∠AB n C n 的度数．
【详解】
解：△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，
∴∠C 1B 1A ＝180180208022C ︒-∠︒-︒==︒ ， ∵B 1B 2＝B 1C 2，，∠C 1B 1A 是△B 1B 2C 2的外角，
∴∠B 1B 2C 2＝11804022
C B A ∠︒==︒ ； 同理可得，
∠C 3B 3B 2＝20°，∠C 4B 3B 2＝10°，
∴∠AB n C n ＝1
802n -︒． 故答案为：40，
1802n -．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律是解答此题的关键．
4、6°
【分析】
作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，根据CP PQ C P PQ C Q ''+=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠，进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的和差关系求得OCN ∠即可
【详解】
解：如图，作点C 关于直线OA 的对称点C '，连接CC '，交OA 于点D ，过点C '作C M OB '⊥，交OA 于点N ，
∴='CP C P ，
CP PQ C P PQ C Q '+∴'=+≥，且当C Q BO '⊥时最小，
所以当CP PQ +的值最小时，当点P 与点N 重合，点Q 与点M 重合时，此时OCP ∠等于OCN ∠， CC OA '⊥
又42AOB ∠=︒
90,90DC N C ND AOC ONM ''∠+∠=︒∠+∠=︒,ONM C NA '∠=∠
42CC M AOB '∴∠=∠=︒
9048DCO AOC ∴∠=︒-∠=︒
根据对称性可得42NC D DCD '∠=∠=︒
48426NCO DCM DCM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
∴当CP PQ +的值最小时，OCP ∠的度数为6︒
故答案为：6︒
【点睛】
本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关键．
5、80
【分析】
先求解40,DFC 再求解140,60,80,40,EDF FDC FCD FCG 再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】 解： 40BAC ∠=︒，DF AB ∥，
40,DFC BAC
DE AC ∥，
180140,EDF DFC
:3:4FDC EDC ∠∠=，140,EDC FDC
314060,7FDC 180406080,FCD CG 平分ACB ∠， 140,2FCG
FCD 404080.DGC FCG DFC
故答案为：80
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.
三、解答题
1、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
113或53 【分析】
（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；
（2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；
（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD ⊥AC ，
∴∠FDA =90°，
∴∠DFA +∠DAF =90°，
同理，∠CAE +∠DAF =90°，
∴∠DFA =∠CAE ，
在△AFD 和△EAC 中，
AFD EAC ADF ECA AF AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），
∴DF =AC ，
∵AC =BC ，
∴FD =BC ；
（2）作FD ⊥AC 于D ，
由（1）得，FD =AC =BC ，AD =CE ，
在△FDG 和△BCG 中，
90FDG BCG FGD BGC
FD BC ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），
∴DG =CG =1，
∴AD =2，
∴CE =2，
∵BC =AC =AG +CG =4，
∴E 点为BC 中点；
（3）当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，
BC =AC =4，CE =CB +BE =7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴
5.511
1.53 AG
CG
==，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴
2.55
1.53 AG
CG
==，
故答案为：11
3
或
5
3
．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2、
（1）120°
（2）①图形见解析；②AC=
【分析】
（1）根据60
A
∠=︒进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出
∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出
Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=1
2
∠CAE=30°，即可得出结论．
（1）
（1）如图1，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，故答案为120°；
（2）
（2）①依题意补全图形如图2所示，
②如图2，连接AF，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AD=AB，AE=AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，
∴∠EAF=∠CAF，
∠CAE=30°，
∴∠CAF=1
2
AF，且AC2+CF2=AF2，
在Rt△ACF中，CF=1
2
∴AC
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．
3、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】
（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°，DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）证明如下：
在BQ 上截取BE =AO ，连接CE ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴CA =CB ，∠ACB =60°
∵∠POQ =120°，
∴∠CAO +∠CBO =180°
∵∠CBO +∠CBE =180°，
∴∠CAO =∠CBE ，
在△CAO 和△CBE 中，CA CB CAO CBE AO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CAO ≌△CBE （SAS ），
∴CO =CE ，∠COA =∠CEB ，
∴∠COE =∠CEB ，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：
∵∠DAB=150°，DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD = OB + OC .
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
4、50︒
【分析】
AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12
ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒． 【详解】
解：∵AD 是ABC 的高
∴90ADB ADC ∠=∠=︒
∵70B ∠=︒
∴20BAD ∠=︒
∵CE 是ADC 的角平分线 ∴12
ECD ACD ∠=∠
∵20BAD ECD ∠=∠=︒
∴40ACD ∠=︒
∴在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
5、（1）2＜BC ＜8；（2）25°
【分析】
（1）根据三角形三边关系解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵AC -AB ＜BC ＜AC +AB ，AB ＝3，AC ＝5．
∴2＜BC ＜8，
故答案为：2＜BC ＜8
（2）∵∠ADC 是△ABD 的外角
∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝140︒
∵∠B ＝∠BAD
∴∠B ＝1140702⨯︒=︒
∵∠B +∠BAC +∠C ＝180︒
∴∠C ＝180︒﹣∠B ﹣∠BAC
即∠C ＝180︒﹣70︒﹣85︒＝25︒
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B 的度数是解此题的关键．
6、证明见解析
【分析】
过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N ，根据角平分线性质，得DM DN =；根据全等三角形的性质，通过证明ADM ADN △≌△，通过证明ADM ADN △≌△，得BM CN =，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．
【详解】
如下图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N
∵BAD CAD ∠=∠
∴DM DN =
直角ADM △和直角ADN △中
DM DN AD AD =⎧⎨=⎩
∴ADM ADN △≌△
∴AM AN =
∵点D 为BC 的中点，
∴BD CD =
直角BDM 和直角CDN △中
DM DN BD CD =⎧⎨=⎩
∴BDM CDN ≌
∴BM CN =
∵AB AM BM =+，AC AN CN =+
∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．
7、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD =OE ，CD =CE ，再利用SSS 可证明OCD OCE ≌
△△，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】
证明：连接CD ，CE
由作图步骤②可知OD =___OE ___．
由作图步骤③可知CD =__CE ___．
∵OC OC =，
∴OCD OCE ≌
△△． ∴AOC BOC ∠=∠（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
8、
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；
（2）根据（1）中结论可得AC BD =，再由等角对等边得出OA OB =，运用等式的性质进行计算即可
证明．
（1）
解：在ABC 与BAD 中，
CAB DBA AB BA
CBA DAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ABC BAD ≅；
（2）
由（1）可得：ABC BAD ≅，
∴AC BD =，
∵OAB OBA ∠=∠，
∴OA OB =，
∴AC OA BD OB -=-，
即OC OD =．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9、见解析
【分析】
根据平行线的性质得出A FCD ∠=∠，运用“角角边”证明△AEB ≌△CFD 即可．
【详解】
证明：∵AE CF ∥，
∴A FCD ∠=∠，
在△AEB 和△CFD 中，
E F A FCD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEB ≌△CFD ，
∴BE DF =．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明． 10、
（1）见详解；
（2）见详解；
（3）见详解；
（4）见详解；
【分析】
（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C =72°，那么∠BDC =72°，则可得AD =BD =CB ，所以△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；
（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；
（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．
（1）
证明：在△ABC 中，∵AB =AC ，
∴∠ABC =∠C ，
∵∠A=36°，
（180°-∠A）=72°，
∴∠ABC=∠C=1
2
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形
（2）
解：如下图所示：
（3）
解：如图所示：
（4）
解：特征一：直角三角形（直角边不等）；
特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．。