第二积分中值定理

第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
其中()lim ()x a p a p x +
+→=【右极限】，()lim ()x b
p b p x --→=【左极限】。

特别，若()0p a +=，则
()()d ()
()d b b
a
c
p x f x x p b f x x -
=⎰
⎰
()a c b ≤≤
证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。

其次，在下面的证明中，
①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由
()()d ()
()d b b
a
c
q x f x x q b f x x -
=⎰
⎰
即
[()()]()d [()()]()d b
b
a
c
p x p a f x x p b p a f x x +
-
+
-=-⎰⎰
，可得一般情形
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。

证 首先划分区间[,]a b ，即
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<
<<<<<=
而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使
1
1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-⎰
【第一积分中值定理】
于是，1
1()
()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-⎰
，求和得
1
11
1
()()d ()()()i i n
n
x i
i
i
i
i x i i p f x x p f x x
ξξξ--===
-∑∑⎰
（※）
现在，将左端做变换，即
1
11
1
()()d ()()d ()d i i i i n
n
x b b i
i x x x i i p f x x p f x x f x x --==⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑
⎰
⎰⎰
ξξ
1
11
2
()
()d ()()()d i n
b
b
i
i a
x i p f x x p p f x x ξξξ--=⎡⎤=+
-⎣⎦∑⎰
⎰
因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
M 分别表示函数()()d b
x
F x f x x =
⎰
()a x b ≤≤的最小值和最大值，则
1
1()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p m p p m
ξξξ
-=⎡⎤≥+
-⎣⎦∑()n p m ξ= 1
1
()()d i
i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p M p p M
ξξξ
-=⎡⎤≤+
-⎣⎦∑()n p M ξ=
于是，根据式(※)，就得到估计式
11
()()()()()n
n i
i
i
i n i p m p f x x
p M ξξξξ-=≤
-≤
∑
让最大小区间的长度0n
x
∆→，注意到()()n p p b -→ξ，则得
()()()d ()b a
p b m p x f x x p b M -
-≤
≤⎰
若()0p b -
=，则
()()d 0b a
p x f x x =⎰
，可任意取[,]c a b ∈；若()0p b ->，则
1
()()d ()
b
a
m p x f x x M p b -≤
≤⎰
根据连续函数的介值定理，必有点()c a c b ≤≤，使1
()()()d ()
b
a
F c p x f x x p b -=
⎰
,即
()()d ()()()
()d b
b
a
c
p x f x x p b F c p b f x x --=
=⎰
⎰
注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。

譬如，若函数()f x 在区间
[,]-ππ上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数k a 和k b 满足
,k k M M
a b k k
≤≤
(1,2,)k = 其中M 为正常数。

事实上，因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间，而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数，所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。

根据第二积分中值定理，则有
1
1()cos d ()
cos d ()
cos d b c b k a
a
c
a f x kx x f a kx x f
b kx x +-
⎡
⎤
=
=+⎢⎥ππ⎣
⎦
⎰
⎰
⎰
1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---⎡⎤=
+⎢⎥π⎣⎦
因此，
sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-⎡++⎤≤
+⎢⎥π⎣⎦2()()M f a f b k k +-⎡⎤≤+=⎣⎦π 同理k M
b k ≤。