湛河区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

湛河区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）
A．0＜B．0 C．0D．0
10101化为十进制数的结果为（）
2．二进制数）
（2
A．15B．21C．33D．41
3．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}
4．已知等差数列{a n}满足2a3﹣a+2a13=0，且数列{b n} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）
A．B．C．D．3
6．设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（）
A．{1，2} B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}
7．抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）
A．B．C．D．
8．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（）
A．1 B．±2 C．或3 D．1或2
9．如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长
为（ ）
A ．22
B ． C. D ．42+2 10．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
11．已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈M D ．0⊆M
12．下列命题中错误的是（ ）
A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
二、填空题
13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，
()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________．
14．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 15．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
16．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
17．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD 的中点，22MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
18．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ．
三、解答题
19．本小题满分10分选修45-：不等式选讲 已知函数2()log (12)f x x x m =++--． Ⅰ当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；
Ⅱ若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．
20．已知{}{}
22
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A
B =-，求实数的值.
21．如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）．
（1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
23．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为
图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f （x）•g（x）的最大值．
24．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
湛河区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵A 1B ∥D 1C ，
∴CP 与A 1B 成角可化为CP 与D 1C 成角．
∵△AD 1C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为
，
∵P 不能与D 1重合因为此时D 1C 与A 1B 平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤
．
故选：D ．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：()21212121101010
242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 3． 【答案】C
【解析】解：∵≤1=，
∴x ≥0， ∴A={x|x ≥0}；
又x 2
﹣6x+8≤0⇔（x ﹣2）（x ﹣4）≤0，
∴2≤x ≤4． ∴B={x|2≤x ≤4}， ∴∁R B={x|x ＜2或x ＞4}， ∴A ∩∁R B={x|0≤x ＜2或x ＞4}， 故选C ．
4． 【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
即有a82=4a8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
5．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
6．【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
7．【答案】C
【解析】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），
由点到直线的距离公式可知：
F到直线x﹣y=0的距离d==，
故答案选：C．
8．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值；
当2≤x≤4时，
f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），
此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
9．【答案】C
【解析】
考点：平面图形的直观图.
10．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
11．【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；
对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．
故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
12．【答案】B
【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．
∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．
对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为
，
∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积
S==≤=．
故截面的最大面积为．故B错误．
对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．
对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】()(),10,1-∞-⋃
【解析】
14．【答案】 {a|或
} ．
【解析】解：∵二次函数f （x ）=x 2
﹣（2a ﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a ﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，
故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
15．【答案】
【解析】解：因为抛物线y 2
=48x 的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F （﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a 2+b 2=c 2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x ，
所以=
，
解得a 2=36，b 2=108， 所以双曲线的方程为．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．
16．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *
），
∴y ′=（n+1）x n
，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
（n ∈N *
）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．
17．【答案】512
【
解
析
】
18．【答案】 5 ．
【解析】解：P （1，4）为抛物线C ：y 2
=mx 上一点，
即有42
=m ，即m=16， 抛物线的方程为y 2
=16x ，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集.[来 由于
1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩，或12
(1)(2)70
x x x -<<⎧⎨
+--->⎩， 或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩
. 所以3x <-，无解，或4x >.
综上，函数)(x f 的定义域为(,3)
(4,)-∞-+∞
Ⅱ若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=- 所以m 的取值范围是(,1]-∞-.
20．【答案】23
a =-． 【解析】
考点：集合的运算.
21．【答案】
【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1、O 2，
将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y 2=4，（x ﹣3）2+y 2
=100， 当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M|=R+2…① 当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M|=10﹣R …② 将①②两式相加，得|O 1M|+|O 2M|=12＞|O 1O 2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b2=36﹣9=27
∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：
2
两边再平方得：3x2+4y2﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．
22．【答案】
【解析】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为y﹣6=2（x﹣17），
令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为（14，0），
又圆弧C2所在圆的半径为29﹣14=15，
所以圆弧C2的方程为（x﹣14）2+y2=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2
+y2+2x﹣29=0 …8分
由，解得x=﹣70 （舍去）9分
由，解得x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…
∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…
由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…
h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x
=+sin=sin（﹣）+．…
当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，
∴当，
即x=1时，h max（x）=．…
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．。