2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第6章 不等式 第3讲 Word版含解析

第3讲基本不等式
[考纲解读] 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)
2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)
[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.
1．基本不等式
设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为□05a＋b2，几何平均数为□06ab，
基本不等式可叙述为□07两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有□01最小值是2p(简记：□02积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有□
03最大值是p
24(简记：
□
04和定积最大)． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． (4)⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b
2
2(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥(a ＋b )2
4≥ab (a ，b ∈R )． (6)
a 2＋
b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2
1a ＋1b
(
a >0，
b >0)．
1．概念辨析
(1)两个不等式a 2
＋b 2
≥2ab 与a ＋b
2≥ab 成立的条件是相同的．( )
(2)函数y ＝x ＋1
x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4
sin x 的最小值为2.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y
x ≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．小题热身
(1)已知f (x )＝x ＋1
x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值0
B ．最小值0
C ．最大值－4
D ．最小值－4
答案 C
解析 因为x <0，所以－x >0， 所以－x ＋
1－x
≥2(－x )·1－x ＝2，当且仅当－x ＝1
－x
即x ＝－1时等号成
立．所以x ＋1x ≤－2.所以f (x )＝x ＋1
x －2≤－4.即f (x )有最大值－4.
(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C
解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.
(3)已知lg a ＋lg b ＝2，则lg (a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2 D ．2 答案 A
解析 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg (ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg (a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg (a ＋b )的最小值为1＋lg 2.
(4)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．
答案 15 152
解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤1
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．
题型 一 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用
1．(2019·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1
b (a －b )的最小值．
解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋
1b (a －b )
≥a 2＋1⎝
⎛⎭⎪
⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4
a 2
≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2
＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时
取等号．
∴a 2＋
1
b (a －b )
的最小值是4.
角度2 拼凑法求最值 2．求f (x )＝4x －2＋
14x －5⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x <54的最大值． 解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋1
4x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2
＋14x －5
的最大值为1.
角度3 构造不等式求最值(多维探究)
3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92 D.11
2 答案 B
解析 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＋2xy ＝8， 所以x ＋2y ＝8－2xy ≥8－⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22
.
整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，
解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8.又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.故x ＋2y 的最小值为4.
条件探究 把举例说明3的条件“x ＋2y ＋2xy ＝8”改为“4xy －x －2y ＝4”，其他条件不变，求xy 的最小值．
解 因为x >0，y >0且4xy －x －2y ＝4，所以4xy －4＝x ＋2y ≥22xy . 整理可得2xy －2xy －2≥0.解得2xy ≥2即xy ≥2，所以xy 的最小值为2.
角度4 常数代换法求最值(多维探究)
4．若直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C
解析 解法一：因为直线x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b ＝1.
所以a ＋b ＝(a ＋b )·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时
取“＝”，所以a ＋b 的最小值为4.
解法二：因为直线x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)， 所以1a ＋1
b ＝1， 所以b ＝
a
a －1
>0，所以a >1，a －1>0， 所以a ＋b ＝a ＋a a －1＝a ＋a －1＋1a －1＝a －1＋1
a －1＋2
≥2
(a －1)·1
a －1
＋2＝4.
当且仅当a －1＝
1
a －1
即a ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4. 条件探究 将举例说明4条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9
y ＝1”，求x ＋y 的最小值．
解∵x＞0，y＞0，∴y＞9且x＝
y
y－9
.
∴x＋y＝y
y－9＋y＝y＋
y－9＋9
y－9
＝y＋9
y－9＋1＝(y－9)＋9
y－9
＋10.
∵y＞9，∴y－9＞0.
∴y－9＋9
y－9＋10≥2(y－9)·9
y－9
＋10＝16.
当且仅当y－9＝9
y－9
，即y＝12时取等号．
又1 x ＋9
y
＝1，则x＝4.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
1．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
2．通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．如举例说明4解法二．
3．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形
式．如举例说明4解法一．
(4)利用基本不等式求解最值．
1．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233 答案 B
解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x －x ，
∴x ＋y ＝2x 3＋1
3x ≥2
29＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.
2．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1
8b 的最小值为________．
答案 14
解析 因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6,2a ＋18b ＝2a ＋1
23b ＝2a ＋2－
3b
≥2
2a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝
1
4
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
当且仅当2a ＝18b ＝18，即a ＝－3，b ＝1时取等号，所以2a ＋18b 的最小值为14.
题型 二 基本不等式的综合应用
角度1 基本不等式中的恒成立问题
1．当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2时，2sin 2x －a sin2x ＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
答案 (－∞，3]
解析 当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，
原不等式可化为a sin2x ≤2sin 2x ＋1，
a ≤2sin 2x ＋1sin2x . 设f (x )＝2sin 2x ＋1
sin2x ，则
f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝32tan x ＋
12tan x . 因为x ∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0. 所以f (x )＝32tan x ＋1
2tan x ≥2
32tan x ·12tan x ＝3，
当且仅当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝3
3时等号成立， 所以f (x )min ＝3，所以a ≤ 3.
角度2 基本不等式与其他知识的综合问题
2．(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( )
A.6－2
4 B.6＋24 C.
6－22
D.
6＋22
答案 A
解析 由正弦定理，得a ＋2b ＝2c . 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2
＋b 2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋2b 22
2ab
＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24.
当且仅当3a 2＝2b 2，即3a ＝2b 时，等号成立． 所以cos C 的最小值为6－2
4.
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进
行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．
(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1.
(3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个
工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如举例说明2.
1．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，22－1)
C ．(－1,22－1)
D ．(－22－1,22－1)
答案 B
解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋2
3x . ∵3x ＋2
3x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.
2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8
a n
的
最小值是( )
A.92
B.72 C ．22＋1
2 D ．22－1
2
答案 A
解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )
2， ∴S n ＋8a n ＝n (n ＋1)
2＋8n ＝
12⎝ ⎛⎭⎪⎫
n ＋16n ＋1 ≥12⎝
⎛
⎭
⎪⎫2
n ·16n ＋1＝92，
当且仅当n ＝4时取等号．
∴S n ＋8a n
的最小值是9
2.故选A.
题型 三 基本不等式在实际问题中的应用
某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－
2
m ＋1
. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x (元)，
∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16x
x －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，
16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当
16m ＋1
＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．
故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．
利用基本不等式求解实际问题的求解策略
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的
最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．
(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
答案 2 20
解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万
元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．。