理论力学 牛顿动力学方程

令
r d r d r 1 2 ai H i v v , v v i 2 dt q i dt q i qi q v r r r 1 2 3 q q q q i q i q1 q2 q3 r r r d r 1 2 3 q q q q1 q i q2 qi q3 qi dt qi d r v 1 2 v v v dt q i qi qi 2 d r d r d 1 2 ai H i v v v i 2 qi dt q i dt q i dt q v2 1 d T T T , 则加速度 : ai i qi 2 H i dt q

作 业
已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin cos y = r sin sin
z = r cos
推导球坐标系（r，，φ）中的
（1）速度分量（ v r ，v，vφ ）；
（2）加速度分量（ a r ，a，aφ ） 。
3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式 y q2
y
φ
r
x v v cos si n x r v v si n cos y
v co s sin r x v sin co s r y
2 a cos sin r r x a sin cos 2 r r y
(3) ( ax , ay ) → ( ar , aφ)
2 r ar r r a 2r
例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧 毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系：x 轴 —— vo 方向; y 轴 —— 垂直向下方向。 初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt
r 1 r H i ei 或 ei q i H i q i d r r dq 1 r dq 2 r dq 3 速度 : v dt q 1 dt q 2 dt q 3 dt 1 e1 H 2 q 2 e 2 H 3q 3e3 H 1q 0 , i j 正交曲线坐标系 : 正交性 e i e j 1 , i j 2 2 2 2 2 2 3 速率 : v v v H 1 q 1 H 2 q 2 H 3 q
运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt → vy = (mg/k)(1- e - kt/m ) z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0
2 2 2 2 弧元 : ds vdt H 1 ( dq 1 ) 2 H 2 ( dq ) H ( dq ) 2 2 3 3
加速度在基矢方向上的 分量 : dv 1 r a i a ei dt H i q i dv r d r d r a iH i v v q dt q i dt q dt i i v dr r r r 1 2 3 q q q i q i dt q i q1 q q 2 q 3 r q i 1 v v 1 2 r v v v v v v i 2 q i i q i 2 q i q q

1 r 2 ] 2r r [2rr r 1 d T T az z z H z dt z
4、球坐标系（作业）
例：细杆 OL 绕 O 点以匀角 速ω转动，并推动小环 C 在 固定的钢丝 AB 上滑动，d 为常数。试求小环的速度及 加速度的量值。
2
2
2
r 分量 : vr Hrr r v H z vz Hzz
2 r2 2 z 2 v r v2 1 2 2 2 2 r z ) T (r 2 2
1 2 2 2 2 ) T ( r r z 2
e2
q3 e3 o z e1 q1
x
x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 ) r r (q 1 , q 2 , q 3 ) x i y j z k r x y z i j k ( i 1， 2， 3) q i q i q i q i 2 2 2 x y z r 拉密系数 : H i q i q q q i i i r 与 q i 坐标线在 P 点的切线单位向量 e i 同向 q i r 1 r H i ei 或 ei q i H i q i
1 加 速度: ar Hr d T T 2 r r dt r r 1 d T T 1 d 2 0 a r r dt H dt
理论力学
何国兴
东华大学应用物理系
第一章 牛顿动力学方程
§1.1 经典力学基础——《原理》 牛顿三大定律 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系 (r,φ) (2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ)
s in v r cos r x cos s in v r r
y
dr vr r dt d v r r dt
x y z 2 2 2 2 2 H r sin r cos 0 r
2 2 2
2
2
2
x y z 2 2 2 H 0 0 1 1 z z z z
vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 → x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) → z - zo = ∫ot 0 dt = 0 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z=0 → kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z=0
y A C
L
ωBຫໍສະໝຸດ d θOr
x
解：方法 1 建立直角坐标 Oxy 系。 设OC r x i y j d tg i d j 2 2 dr x d 2 v d sec i i dt d 2 2 dv x d 2 2 2 a 2 d sec tg i 2 x i 2 dt d
§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 y o 2、平面极坐标系 (r,φ) r φo v 与直角坐标系关系:
(1) (x , y) → (r ,φ)
x = r cosφ y = r sinφ
vx= vr cosφ-vφsin φ vy= vr sinφ+ vφ cosφ
s in v r cos r x cos s in v r r

1 2 v 2
例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。
解 : 坐标 x r cos 变 φ , y r 换 sin φ , z z
x y z 2 2 2 H cos sin 0 1 r r r r
方法 2 建立极坐标系 r d sec r d sec tg d sec tg