八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷培优测试卷

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷培优测试卷
一、选择题
1．下列说法：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④两点之间直线最短，其中正确的有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 2．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数
为（ ）
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
3．如图,下列推理所注的理由正确的是( )
A ．∵A
B CD ∥，∴ ∠1＝∠2(内错角相等，两直线平行)
B ．∵∠3＝∠4，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
C ．∵AB C
D ∥，∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)
D ．∵∠1＝∠2，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
4．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
5．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
6．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，
点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
7．给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为（ ）
A ．①③⑤
B ．②④⑤
C ．③④⑤
D ．①②⑤ 8．如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠AB
E 和∠CDE ，B
F ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的
度数为
A ．30°
B ．35°
C ．36°
D ．45°
9．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB ＝BC ，则点B 是线段AC 的中点．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．下列定理中，没有逆定题的是（ ）
①内错角相等，两直线平行
②等腰三角形两底角相等
③对顶角相等
④直角三角形的两个锐角互余．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ） 已知：如图，∠BEC ＝∠B+∠C ，求证：
AB ∥CD
证明：延长BE 交__※__于点F ，则∠BEC ＝
__⊙__+∠C
又∵∠BEC ＝∠B+∠C ，
∴∠B ＝▲
∴AB ∥CD （__□__相等，两直线平行） A ．⊙代表∠FEC B ．□代表同位角 C ．▲代表∠EFC D ．※代表AB
12．已知：如图AB//EF ，BC CD ⊥，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是( )
A ．βαγ∠∠∠=+
B ．αβγ180∠∠∠++=
C ．αβγ90∠∠∠+-=
D ．βγα90∠∠∠+-=
二、填空题
13．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________
14．如图，Rt △AOB 和Rt △COD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠B ＝40°，∠C ＝60°，点D 在边OA 上，将图中的△COD 绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD 恰好与边AB 平行．
15．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n 次移动n 格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
16．已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM =6 cm ，则AB =_________ cm ．
17．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．
18．如图,点A 、B 为定点,直线l ∥AB,P 是直线l 上一动点，对于下列各值:①线段AB 的长；②△PAB 的周长；③△PAB 的面积；④∠APB 的度数，其中不会随点P 的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.
19．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．
20．如图，已知直线//a b ，直线c 与a 、b 相交，且1135∠=︒，则2∠=______．
三、解答题
21．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC ＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°
/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°
/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以下两个结论：①
CPD BPN
∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
22．（1）如图a 所示，//AB CD ，且点E 在射线AB 与CD 之间，请说明
AEC A C ∠=∠+∠的理由．
（2）现在如图b 所示，仍有//AB CD ，但点E 在AB 与CD 的上方，
①请尝试探索1∠，2∠，E ∠三者的数量关系．
②请说明理由．
23．如图，已知//AB CD ，50A C ∠=∠=︒，线段AD 上从左到右依次有两点E 、F （不与A 、D 重合）
（1）求证：//AD BC ；
（2）比较1∠、2∠、3∠的大小，并说明理由；
（3）若:1:4FBD CBD ∠∠=，BE 平分ABF ∠，且1BDC ∠=∠，判断BE 与AD 的位置关系，并说明理由．
24．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D
证明如下：过E 点作EF ∥AB ．
∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．） 又AB ∥CD(已知）
∴CD ∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） ∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
即：∠E=∠B+∠D
[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．
[创新应用]：
(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．
(2)．如图二，将一个长方形ABCD 按如图的虚线剪下，使∠1=120o ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．
25．问题情境
（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．
理由如下：
过点E 作//EF AB （如图②所示）
所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）
因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）
所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒
所以180FED D ∠+∠=︒
所以//EF CD （依据2）
因为//EF AB
所以//AB CD （依据3）
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”：________________________________；
“依据2”：________________________________；
“依据3”：________________________________．
类比探究
（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ．
拓展延伸
（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．
26．如图1，直线AB 与直线OC 交于点O ，()090BOC αα∠=︒<<．小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置，使顶点P 落在直线AB 上，过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧)．
（1）若PD OC ∥，45NQD ∠=︒，则α=__________︒．
（2）若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ，如图2．
①当QE OC ∥，60α=︒时，求证：OC PD ． ②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移，运动过程中，PEQ ∠=__________．(用α
表示)． 27．如图1，已知a ∥b ，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AD ⊥BC 于E ．
（1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
（2）如图2，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，DG 平分∠ADC 交BC 于点G ，求∠AFB+∠CGD 的度数；
（3）如图3，P 为线段AB 上一点，I 为线段BC 上一点，连接PI ，N 为∠IPB 的角平分线上一点，且∠NCD=12
∠BCN ，则∠CIP 、∠IPN 、∠CNP 之间的数量关系是______． 28．如图1，已知直线PQ ∥MN ，点A 在直线PQ 上，点C 、D 在直线MN 上，连接AC 、AD ，∠PAC ＝50°，∠ADC ＝30°，AE 平分∠PAD ，CE 平分∠ACD ，AE 与CE 相交于E ． （1）求∠AEC 的度数；
（2）若将图1中的线段AD 沿MN 向右平移到A 1D 1如图2所示位置，此时A 1E 平分∠AA 1D 1，CE 平分∠ACD 1，A 1E 与CE 相交于E ，∠PAC ＝50°，∠A 1D 1C ＝30°，求∠A 1EC 的度数．
（3）若将图1中的线段AD 沿MN 向左平移到A 1D 1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A 1EC 的度数．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
据平行线的性质可判断①③错误；根据对顶角相等，可判断②错误；据线段的性质可判断④错误；即可得出结论．
【详解】
解：①在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故①错误； ②对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故②错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；
④两点之间线段最短；故④错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行公理、平行线的性质、相等的性质、对顶角相等的性质；熟记有关性质是解决问题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.
【详解】
∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，
∴70DEB ∠=︒
∴270140BEF ︒=∠=⨯︒
∵//EF BC
∴180B BEF ∠+∠=︒
∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选D
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用
3．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质定理和判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A 、∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）,所以原题错误；
B 、∵∠3=∠4，∴AD ∥B
C ，故选项错误；
C 、∠3和∠4不是AB 和C
D 被直线所截形成的角，故选项错误；
D 、正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查平行线的性质定理和判定定理，正确理解同位角、内错角的定义是关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
5．C
解析：C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB ∥CD ；
②∵∠1=∠2，
∴AD ∥BC ；
③∵∠3=∠4，
∴AB ∥CD ；
④∵∠B=∠5，
∴AB ∥CD ；
∴能得到AB ∥CD 的条件是①③④．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行.
6．B
【分析】
AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-
2β=180°，题目难度较大．
7．C
解析：C
【分析】
①垂径定理的逆定理，注意有否有缺少什么；②如果三点共线；③旋转的性质；④三角形的外心的性质；⑤圆的性质.
【详解】
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧，原命题错误；
②三点共线时不能确定一个圆，原命题错误；
③由旋转的性质可知，原命题正确；
④由三角形的外心的性质，原命题正确；
⑤由圆的性质，原命题正确；
本题的答案是：C.
【点睛】
考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.
解析：C
【解析】
【分析】
延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】
解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
9．B
解析：B
【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进行判断．
详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；
连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；
两点之间，线段最短，所以③正确；
有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；
若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．
故选B．
点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．A
解析：A
【解析】试题分析：根据题意可知：
①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；
②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理；
③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；
④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理.
只有一个不是逆定理.
故选：A
11．C
解析：C
【分析】
延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝
∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】
证明：延长BE交CD于点F，则
∠BEC＝∠EFC+∠C．
又∵∠BEC＝∠B+∠C，
∴∠B＝∠EFC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B＝∠EFC 是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得
答案．
【详解】
解：
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
AB//EF ，
AB//CM //DN //EF ∴，
αBCM ∠∠∴=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠∴+=++=++，
又BC CD ⊥，
BCD 90∠∴=，
αβ90γ∠∠∠∴+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．
二、填空题
13．90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B 的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠
解析：90°
【分析】
根据AB ∥CF ，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF ∥DE ，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D ―∠B 的大小
【详解】
∵AB ∥CF ，∴∠B=∠BCF
∵CF ∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D －∠B=180°－∠BCF ，化简得：∠D －∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
14．10或28
【解析】
【分析】
作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠
解析：10或28
【解析】
【分析】
作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得
∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．
【详解】
解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°=10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°=28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为10或28．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
15．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），然后再根据题目中所给的
第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n ≤10，设n ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得， n （n +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1）， 由此可知，停棋的情形与n ＝t 时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
【点睛】
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 16．12
【解析】
如图，∵M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，
∴AM=MN ，CN=CB ，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB ）+（MN+CN ）
解析：12
【解析】
如图，∵M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，
∴AM=MN ，CN=CB ，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB ）+（MN+CN ）=6+6=12（cm ）.
17．40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=4
解析：40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵110α∠=+︒，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．
18．①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长
解析：①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∴①正确；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，
∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，
∴③正确；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，
∴△PAB的周长发生变化，
∴②错误；
当P点移动时，∠APB发生变化，
∴④错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．
19．70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：，
∴∠
解析：70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：
1
2
DCF DCE ∠=∠，
∴∠α=70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
20．45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵
解析：45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵a//b
∴∠2=∠3=45︒．
故答案为：45︒
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解此题的关键．
三、解答题
21．（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
PC BD∠PBD＝90°，
∵//,
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
AC DP，
//
DPA PAC
∴∠=∠=︒，
90
∠+∠=︒-︒+︒=︒，
DPN DPA
1803090240
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当//
AC BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．
综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD在MN上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD在MN下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝230,
t-︒∠APN＝3t．∴∠CPD＝360CPA APN DPB BPN
︒-∠-∠-∠-∠
() 360603301802
t t
=︒-︒--︒-︒-
=90t
︒-
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
22．（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC=∠A+∠C；
（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
②过点E作EF∥AB，
∴∠AEF+∠1=180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠2，
即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA，
∴∠2-∠CEA+∠1=180°，
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）∠1＞∠2＞∠3，理由见解析；（3）BE⊥AD，理由见解析【分析】
（1）证明∠C+∠ADC=180°，再根据平行线的判定证明即可；
（2）通过比较∠EBC、∠FBC、∠DBC的大小，再进行等量代换即可；
（3）设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，根据∠ABC=130°列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵∠C=50°，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠1＞∠2＞∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC ，∠2=∠FBC ，∠3=∠DBC ，
∵∠EBC ＞∠FBC ＞∠DBC ，
∴∠1＞∠2＞∠3；
（3）∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠EBC ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BDC=∠ABD ，
∵∠1=∠BDC ，
∴∠ABE=∠DBC ，
∵BE 平分∠ABF ，
设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，
∴∠ABE=∠EBF=4x°，
∴4x+4x+x+4x=130°，
∴x=10°，
∴∠1=4x+x+4x=90°，
∴BE ⊥AD ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
24．类比探究：见解析；
创新应用：(1)：1105.∠=︒
创新应用：(2)：2150.∠=︒
【分析】
[类比探究]：如图，过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案，
[创新应用]：
(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案，
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：类比探究：如图，过E 作//,EF AB
//,AB CD
//,FE CD ∴
//,EF AB
180,B BEF ∴∠+∠=︒
//,FE CD
180,D DEF ∴∠+∠=︒
360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒
360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒
[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB
//,CD EF ∴
//,EF AB
,B BEF ∴∠=∠
//,CD EF
,D DEF ∴∠=∠
,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠
30,45,B D ∠=︒∠=︒
75,BED ∴∠=︒
90,AEB DEC ∠=∠=︒
1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB
//,EG CD ∴
2180,GEQ ∴∠+∠=︒
//,EG AB
1180,GEF ∴∠+∠=︒
1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，
∠1=120o ，∠FEQ=90°，
2150.∴∠=︒
【点睛】
本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．25．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°；（3）∠B ＋∠E＋∠D－∠F＝180°．
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；
（2）过点E、F分别作GE∥HF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE＋∠BEG＝180°，得到AB∥GE，再根据平行线的传递性来证得AB∥CD；（3）过点E、F分别作ME∥FN∥CD，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B＋∠BEM＝180°，得到AB∥ME，再根据平行线的传递性来证得AB∥CD．
【详解】
解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行；
“依据3”：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°时，有AB∥CD．
理由：如图，过点E、F分别作GE∥HF∥CD，
则∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFD＋∠CDF＝180°，
∴∠GEF＋∠EFD＋∠FDC＝360°；
又∵∠B＋∠BEF＋∠EFD＋∠D＝540°，
∴∠ABE＋∠BEG＝180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．
如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，
则∠MEF ＝EFN ，∠D ＝∠DFN ，
∵∠B ＋∠BEF ＋∠D －∠EFD ＝180°，
∴∠B ＋∠BEM ＋∠MEF ＋∠D －∠EFN －∠DFN ＝180°，
∴∠B ＋∠BEM ＝180°，
∴AB ∥ME ，
∴AB ∥CD ．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
26．（1）45；（2）①详见解析；②302α︒+或602α︒-； 【分析】
（1）根据平行线性质可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，再根据平行线性质得BOC BPD ∠=∠；
（2）①根据平行线性质得160BOC ∠=∠=︒，2160∠=∠=︒，结合角平分线定义可证180DQE PDQ ∠+∠=︒，得PD QE ∥，根据平行线传递性可再证PD OC ∥； ②分两种情况分析：当Q 在H 的右侧时，根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根据角平分线性质∠MQE=
12（60°+α），故∠PEQ=∠MQE ；当Q 在H 的右侧时，与上面同理，∠NQE=
12（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE ． 【详解】
（1）由45NQD ∠=︒，MN
AB ,可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒， 而PD OC ∥，则有BOC BPD ∠=∠．
故45BPD α=∠=︒ （2）
∵QE OC ∥，60BOC α∠==︒，∴160BOC ∠=∠=︒，
又∵MN AB ，∴2160∠=∠=︒，
又∵QE 平分PQH ∠，∴3260∠=∠=︒，
又∵430∠=︒，∴4390DQE ∠=∠+∠=︒，
且90PDQ ∠=︒，∴180DQE PDQ ∠+∠=︒，∴PD QE ∥，
∵QE OC ∥，∴PD OC ∥．
②当Q 在H 的右侧时，
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠MQP=∠QPB=60°+α
又∵QE 平分∠MQP
∴∠MQE=12（60°+α）=30°+12
α ∴∠PEQ=∠MQE=30°+12α 当Q 在H 的左侧时
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠NQP=180°-60°-α
又∵QE 平分∠NQP
∠NQE=12（180°-60°-α）=60°-12
α ∴∠PEQ=∠NQE=60°-
12α
∴302PEQ α∠=︒+
或602α︒-．
【点睛】 考核知识点：平移、平行线判定和性质综合运用．熟练运用平行线性质和判定，分类讨论问题是关键．
27．（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN 或3∠IPN=∠CIP+∠CNP ．
【分析】
(1)如图1中，过E作EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，证明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点N在∠DCB内部时，②当点N′在直线CD的下方时，分别画出图形求解即可．
【详解】
(1)证明：如图1中，过E作EF∥a．
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE=∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC=∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD=2y+x，
∴∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
=360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设PN交CD于E．
当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠EPB，
∴∠EPB=∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
∵∠NCE=1
2
∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点N′在直线CD的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】
本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．
【解析】
【分析】
(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得
∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；
(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出
∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；
(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.
【详解】
(1)如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，。