〖汇总3套试卷〗黔东南州名校2021年九年级上学期期末学业质量监测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x
=的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象可以得到a ＜0，b ＞0，c ＜0，由此可以判定y=ax+b 经过
一、二、四象限，双曲线c y x
=在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，
可得a ＜0，b ＞0，c ＜0，
∴y=ax+b 过一、二、四象限，
双曲线c y x
=在二、四象限， ∴C 是正确的．
故选C ．
【点睛】
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
2．某楼盘2016年房价为每平方米11 000元，经过两年连续降价后，2018年房价为9800元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为( )
A ．9800(1-x)2+9800(1-x)+9800=11000
B ．9800(1+x)2+9800(1+x)+9800=11000
C ．11000(1+x)2＝9800
D ．11000(1－x)2＝9800
【答案】D
【分析】设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，则第一次降价后房价为每平方米11000（1-x ）元，第二次降价后房价为每平方米11000（1-x ）2元，然后找等量关系列方程即可．
【详解】解：设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，
则由题意得：11000（1-x ）2＝9800
故答案为D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找到等量关系是解决问题的关键．
3．tan60︒的值为( )
A ．3
B ．23
C ．3
D ．2
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】tan60°=3，
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
4．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2
y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①02x ≤≤时，根据12
APQ S AQ AP ∆=⋅，列出函数关系式，从而得到函数图象；②24x ≤≤时，根据''''APQ CP Q ABQ AP D ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当02x ≤≤时，
∵正方形的边长为2cm ，
∴21122
APQ y S AQ AP x ∆==⋅=；
②当24x ≤≤时，
APQ y S ∆=
''''CP Q ABQ AP D ABCD S S S S ∆∆∆=---正方形 ()()()21112242222222
x x x =⨯---⨯⨯--⨯⨯- 2122
x x =-+， 所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A 选项图象符合， 故选A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 5．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A ．12
B ．13
C ．310
D ．15
【答案】D
【解析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.
【详解】根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=
210=15. 故答案为D
【点睛】
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
. 6．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A ．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B ．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C ．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D ．此图案仅是轴对称图形；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3
【答案】B
【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x --=的两根,再利用韦达定理即可求解.
【详解】解：由题可知p,q 是方程2330x x --=的两根,
∴p+q=3,
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
8． 如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE+DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF ＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，由旋转的性质得，BH=DF ，AH=AF ，∠BAH=∠DAF ，
由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF ，所以∠ANM=∠AEB ，则可求得②正确；
根据三角形的外角的性质得到①正确；
根据相似三角形的判定定理得到△OAM ∽△DAF ，故③正确；
根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE ＝
2
AN ，再根据相似三角形的性质得到EF ＝2MN ，于是得到S △AEF =2S △AMN ．故④正确．
【详解】如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH
由旋转的性质得，BH ＝DF ，AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF
∵∠EAF ＝45°
∴∠EAH ＝∠BAH+∠BAE ＝∠DAF+∠BAE ＝90°﹣∠EAF ＝45°
∴∠EAH ＝∠EAF ＝45°
在△AEF 和△AEH 中
45AH AF EAH EAF AE AE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝ ∴△AEF ≌△AEH （SAS ）
∴EH ＝EF
∴∠AEB ＝∠AEF
∴BE+BH ＝BE+DF ＝EF ，
故②正确
∵∠ANM ＝∠ADB+∠DAN ＝45°+∠DAN ，
∠AEB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣（∠HAE ﹣∠BAH ）＝90°﹣（45°﹣∠BAH ）＝45°+∠BAH
∴∠ANM ＝∠AEB
∴∠ANM ＝∠AEB ＝∠ANM ；
故③正确，
∵AC ⊥BD
∴∠AOM ＝∠ADF ＝90°
∵∠MAO ＝45°﹣∠NAO ，∠DAF ＝45°﹣∠NAO
∴△OAM ∽△DAF
故①正确
连接NE ，
∵∠MAN ＝∠MBE ＝45°，∠AMN ＝∠BME
∴△AMN ∽△BME ∴AM MN BM ME ＝ ∴AM BM MN ME ＝ ∵∠AMB ＝∠EMN
∴△AMB ∽△NME
∴∠AEN ＝∠ABD ＝45°
∵∠EAN ＝45°
∴∠NAE ＝NEA ＝45°
∴△AEN 是等腰直角三角形
∴AE ＝2AN
∵△AMN ∽△BME ，△AFE ∽△BME
∴△AMN ∽△AFE
∴2
MN AN EF AE == ∴2EF MN =
∴22212
(2)AMN AFE S MN S EF ∆∆=== ∴S △AFE ＝2S △AMN
故④正确
故选D ．
【点睛】
此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．
9．学生作业本每页大约为7.5忽米(1厘米＝1000忽米)，请用科学计数法将7.5忽米记为米，则正确的记法为( )
A ．7.5×
米 B ．0.75×米 C ．0.75×米 D ．7.5×米
【答案】D
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：7.5忽米用科学记数法表示7.5×10-5米．
故选D ．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )
A ．m ＜1
B ．m ＞﹣1
C ．m ＞1
D ．m ＜﹣1
【答案】C
【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2
24241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，
解得： 1.m >
故选C ．
11．下列事件是必然事件的为（ ）
A ．明天早上会下雨
B ．任意一个三角形，它的内角和等于180°
C ．掷一枚硬币，正面朝上
D ．打开电视机，正在播放“义乌新闻” 【答案】B
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A 、明天会下雨，是随机事件，不合题意；
B 、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，符合题意；
C 、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
D 、打开电视机，正在播放“义乌新闻”，是随机事件，不合题意．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了随机事件以及必然事件，正确掌握相关定义是解题关键．
12．已知二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0，c ＞0，故①错误；
由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴x ＞0，可知122
x x +＞0，即12x x +＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．
故选B ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为__________.
【答案】13
【分析】设一双为红色，另一双为绿色，画树状图得出总结果数和恰好两只手套凑成同一双的结果数，利用概率公式即可得答案.
【详解】画树状图如下：
∵共有6种可能情况，恰好两只手套凑成同一双的情况有2种，
∴恰好两只手套凑成同一双的概率为
2163=， 故答案为：
13
【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.
14．在平面直角坐标系中，点P （2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．
【答案】（﹣2，3）．
【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.
【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】
此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
15．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是__________．
【答案】1 2
【解析】试题分析：骰子共有六个面，每个面朝上的机会是相等的，而奇数有1，3，5；根据概率公式即可计算．
试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，
∴P（向上一面为奇数）=31
62
.
考点：概率公式．
16．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．
【答案】1：1．
【解析】试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.
考点：相似三角形的性质.
17．计算sin60°cos60°的值为_____．
3
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】原式＝
3
2
×
13
=
24
．
故答案为：
3
4
．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.
18．如图，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G F 、，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点
B E 、，它们关于y 轴对称，点G B 、在y 轴左侧．BA OG ⊥于点A ，B
C O
D ⊥于点C ，四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则ABG 与BCD 的面积之和为 ．
【答案】1 【分析】根据抛物线的对称性知：四边形ODBG 的面积应该等于四边形ODEF 的面积；由图知△ABG 和△BCD 的面积和是四边形ODBG 与矩形OCBA 的面积差，由此得解．
【详解】解：由于抛物线的对称轴是y 轴，根据抛物线的对称性知：S 四边形ODEF =S 四边形ODBG =10； ∴S △ABG +S △BCD =S 四边形ODBG -S 四边形OABC =10-6=1．
【点睛】 本题考查抛物线的对称性，能够根据抛物线的对称性判断出四边形ODEF 、四边形ODBG 的面积关系是解答此题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图1，AD 、BD 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD ，交BD 的延长线于点E.
（1）求证：∠E=12
∠C ； （2）如图2，如果AE=AB ，且BD ：DE=2：3，求cos ∠ABC 的值；
（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数.
【答案】（1）证明见详解；（2）23
；（3）30°或45°. 【分析】（1）由题意：∠E=90°-∠ADE ，证明∠ADE=90°- 12
∠C 即可解决问题． (2) 延长AD 交BC 于点F ．证明AE ∥BC ，可得∠AFB=∠EAD=90°，BF BD AE DE
=，由BD ：DE=2：3，可得cos ∠ABC= 23BF BF AB AE ==；
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= 1
2
∠BAC，同理∠ABD=
1
2
∠ABC，
∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠ADE= 1
2
（∠ABC+∠BAC）=90°-
1
2
∠C，
∴∠E=90°-（90°- 1
2
∠C）=
1
2
∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，BF BD AE DE
=，
∵BD：DE=2：3，
∴cos∠ABC=
2
3 BF BF
AB AE
==；
(3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，
∵∠E=1
2
∠C，
∴∠ABC=∠E=1
2
∠C，
∵∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC=30°；
②当∠C=∠DAE=90°时，∠E＝1
2
∠C=45°，
∴∠EDA=45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC=45°；
综上所述，∠ABC=30°或45°.
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
20．已知，在平行四边形OABC中，OA＝5，AB＝4，∠OCA＝90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．
【答案】（1）
420
33
=-+
y x；（2）当t＝
25
6
或
20
3
时，△OAC与△APQ相似．
【分析】（1）要求直线AC的解析式，需要求出点A、点C的坐标，可以利用等积法求得C点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得t的数值．
【详解】解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，
在Rt△OCA中，AC22
54
-3，
∴5×CE ＝3×4， ∴CE ＝
125
， 在Rt △OCE 中，OE
＝165， ∴C （
165
，12
5），A （5，0）， 设AC 的解析式为y=kx+b ，
则16
125550k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：43
203k b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴42033
=-
+y x ； （2）当0≤t ≤2.5时，P 在OA 上， 因为∠OAQ ≠90°，
故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似． 当t ＞2.5时，
①若∠APQ ＝90°，则△APQ ∽△OCA ，
故
AQ AP ＝OA OC ＝54， ∴25t t -＝54， ∴t ＝256
，
∵t ＞2.5， ∴t ＝
25
6
符合条件． ②若∠AQP ＝90°，则△APQ ∽△OAC ，
故 AQ AP ＝OC OA ＝4
5
， ∴25t
t -＝45， ∴t ＝203
，
∵t ＞2.5， ∴t ＝
20
3
符合条件．
综上可知，当t ＝256
或 203时，△OAC 与△APQ 相似．
【点睛】
本题考查了求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关于动点的问题要注意对问题进行分类讨论．
21．如图，有一个三等分数字转盘，小红先转动转盘，指针指向的数字记下为x ，小芳后转动转盘，指针指向的数字记下为y ，从而确定了点P 的坐标(,)x y ，（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向数字为止）
（1）小红转动转盘，求指针指向的数字2的概率；
（2）请用列举法表示出由x ，y 确定的点(,)P x y 所有可能的结果. （3）求点(,)P x y 在函数1y x =+图象上的概率.
【答案】（1）
13
；（2）见解析，共9种，(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)；（3）2
9
【分析】（1）转动一次有三种可能，出现数字2只有一种情况，据此可得出结果； （2）根据题意列表或画树状图即可得出所有可能的结果；
（3）可以得出只有（1，2）、（2，3）在函数1y x =+的图象上，即可求概率． 【详解】解：（1）根据题意可得，指针指向的数字2的概率为1
3
； （2）列表，得：
1y =
2y =
3y =
1x = (1,1) (1,2) (1,3) 2x = (2,1)
(2,2) (2,3) 3x =
(3,1)
(3,2)
(3,3)
或画树状图，得：
由列表或树状图可得可能的情况共有9种，分别为：
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)；
（3）解：由题意以及（2）可知： 满足1y x =+的有：(1,2)(2,3)， ∴点(,)P x y 在函数y=x+1图象上的概率为29
． 【点睛】
本题考查一次函数的图象上的点，等可能事件的概率；能够列出表格或树状图是解题的关键．
22．元旦期间，小黄自驾游去了离家156千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象． （1）求小黄出发0.5小时时，离家的距离； （2）求出AB 段的图象的函数解析式；
（3）小黄出发1.5小时时，离目的地还有多少千米？
【答案】（1）2千米；（2）y ＝90x ﹣24（0.8≤x≤2）；（3）3千米
【分析】（1）先运用待定系数法求出OA 的解析式，再将x ＝0.5代入，求出y 的值即可；
（2）设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x+b ，将A 、B 两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （3）先将x ＝1.5代入AB 段图象的函数表达式，求出对应的y 值，再用156减去y 即可求解． 【详解】解：（1）设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ． ∵当x ＝0.8时，y ＝48， ∴0.8k ＝48， ∴k ＝1．
∴y ＝1x （0≤x≤0.8），
∴当x ＝0.5时，y ＝1×0.5＝2． 故小黄出发0.5小时时，离家2千米；
（2）设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x+b ． ∵A （0.8，48），B （2，156）在AB 上，
0.8482156k b k b +=⎧⎨
+=⎩
′
′， 解得9024
k b '⎧=⎨=-⎩，
∴y ＝90x ﹣24（0.8≤x≤2）；
（3）∵当x ＝1.5时，y ＝90×1.5﹣24＝111， ∴156﹣111＝3．
故小黄出发1.5小时时，离目的地还有3千米． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，本题较简单．
23．已知一次函数y 1=ax+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A 、B 两点，坐标分别为（—2，4）、
（4，—2）．
（1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）直线AB 上是否存在一点P （A 除外），使△ABO 与以B ﹑P 、O 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P 的坐标． 【答案】（1）y=-x+2 ，y=8x -
；（2）AOB 的面积为6；（3）（73，1
3
-）． 【详解】（1）将点（－2，4）、（4，－2）代入y 1=ax+b ，得24
42k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，
∴y=-x+2 ，
将点（－2，4）代入y 2=k
x
，得k ＝－8， ∴y=8x
-
； （2）在y=-x+2中，当y ＝0时，x ＝2， 所以一次函数与x 轴交点是（2，0），
故△AOB 的面积为=
11
2422622
⨯⨯+⨯⨯=； （3）∵OA ＝OB ＝222425+=， ∴△OAB 是等腰三角形， ∵△ABO 与△BPO 相似， ∴△BPO 也是等腰三角形，
故只有一种情况，即P 在OB 的垂直平分线上， 设P （x ，-x+2） 则2
2
2
2
24
22x x
x x ，
解得：73
x =
， ∴顶点P 的坐标为（
73，13
-）. 24．某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕,,,A B C D 表示） 【答案】（1）200（人）；（2）详见解析；（3）
1
6
【解析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为3015%200÷=（人）；
（2）书画的人数为20025%50⨯=（人），戏曲的人数为200(508030)40-++=（人）， 补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为40
1200240200
⨯=（人）； （4）列表得：
A
B
C D
A
AB
AC AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果， ∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为21126
= 【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．解题关键在于注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．已知：反比例函数k
y x
=
和一次函数21y x =-，且一次函数的图象经过点(),5A k ． （1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点P 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求P 点的坐标． 【答案】（1）3
y x =
；（2）3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【分析】（1）将点(),5A k 代入21y x =-中即可求出k 的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据题意列出方程组，根据点P 在第一象限解出方程组即可． 【详解】（1）
一次函数21y x =-的图象经过点(),5A k
521k ∴=-
∴反比例函数的解析式为3y x
=
（2）由已知可得方程组
321
y x y x ⎧=⎪
⎨
⎪=-⎩， 解得22322
x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩或1113x y =-⎧⎨
=-⎩ 经检验，当32x =或1x =-时，0x ≠，所以方程组的解为22322
x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩或1113x y =-⎧⎨
=-⎩ ∵点P 在第一象限 ∴0,0x y >>
3,22P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的问题，掌握一次函数和反比例函数的性质、解二元一次方程组的方法是解题的关键．
26．（1）已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式； （2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y ＝x 2+bx+c 表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程． 【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+1；（2）题目见解析，求解过程见解析．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y ＝x 2+bx+c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可求出b 、c 的值；
（2）写出把（4，1）换成它关于直线x ＝2的对称点（0，1），利用待定系数法求出抛物线的解析式与（1）中的解析式相同． 【详解】（1）根据题意得121641b c b c ++=-⎧⎨
++=⎩，解得4
1
b c =-⎧⎨=⎩，
∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x+1；
（2）题目：已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点（1，﹣2）与（0，1），求这个二次函数的表达式； 根据题意得121b c c ++=-⎧⎨
=⎩，解得41
b c =-⎧⎨=⎩，
∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x+1．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键. 27．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=3
5
，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB=2∶3，DE ⊥BC ．
（1）求∠DCE 的正切值；
（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .
【答案】（1）
98
；（2）2
5AC a b =-．
【解析】试题分析：()1在Rt ABC △中，根据3
sin 5
B =
，设35AC a AB a ==，． 则4BC a =． 根据:2:3AD DB =，得出： 23AD a DB a ==，．根据平行线分线段成比例定理，用a 表示出,.DE CE 即可求得.
()2先把AD 用a 表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出.
试题解析：（1）3
90sin 5
ACB B ∠=︒=
，， ∴
3
5
AC AB =，∴设35AC a AB a ==，． 则4BC a =． :2:3?23AD DB AD a DB a ，，．=∴== 90ACB ∠=︒ 即AC BC ⊥，
又DE BC ⊥，∴AC//DE ．
∴DE BD AC AB =，CE AD CB AB =，∴335DE a a a =，245CE a
a a
=． ∴95DE a =，8
5
CE a =．
DE BC ⊥，
∴9
tan 8
DE DCE CE ∠==． （2）
:2:3:2:5AD DB AD AB =∴=，．
∵AB a =，CD b =，∴2
5
AD a =．DC b =-． ∵AC AD DC =+，∴2
5
AC a b =
-．
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则n
m
+
m
n
的值是（）
A．45
2
B．
15
2
C．
15
2
或2 D．
45
2
或2
【答案】D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
n m +
m
n
=
22
n m
mn
+
=
22
m n mn
mn
+-
（）
=
2
722
2
-⨯
=
45
2
；
②m=n时，n
m
+
m
n
=2.
故选D.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键. 2．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角AOB
∠三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】D
【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．3．如图，ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则ADE的面积为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，可得S ADE=1．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
1
=
2 AD
AB
，
∴△ADE∽△ABC，
∴S ADE：S△ABC=1：4
∵△ABC的面积为12
∴S ADE=1.
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.
4．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）
A．(﹣3，2) B．(3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，﹣2)
【答案】B
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B
【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）
①51
AB，②
35
AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=51
2
-
AB，故①正确；
由AC=51
-
AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为51
2
-
是解题的关
键．
6．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．明天的最高气温将达35℃
B．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
【答案】D
【解析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误；
B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误；
C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误；
D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确.
【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
【点睛】
本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.
7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）
A．B．2 C．D．
【答案】D
【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即1m=﹣（m ﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=n 时y 取最大值，即1n=﹣（n ﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即1m=﹣（m ﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=1时y 取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5， 解得：n=
52， 或x=n 时y 取最小值，x=1时y 取最大值，
1m=-（n-1）1+5，n=
52， ∴m=118
， ∵m ＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣1+52=12
． 8．在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【分析】分x≥0及x ＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】当x≥0时，()31x x -=，即：2310x x --=， 解得：13132x +=，23132
x -=(不合题意，舍去)， 当x ＜0时，()31x x --=，即：2310x x ++=， 解得：3352x -+=，4352
x -=，
∴函数3y x =-的图象上的“好点”共有3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x ＜0两种情况，找出关于x 的一元二次方程是解题的关键．
9．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300° 【答案】B
【详解】试题分析：设母线长为R ，底面半径为r ，
∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr 2=πrR ，
∴R=2r ，
设圆心角为n ，有
180
n R π=2πr=πR ， ∴n=180°．
故选B ．
考点：圆锥的计算
10．如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合．现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．
【详解】解：当02t 时，()2tan 6032t t S ︒⋅⋅=
=，即S 与t 是二次函数关系，有最小值(0,0)，开口向上，
当24t <时，()244sin 60(4)(4)tan 60343(4)222
t t S t ︒︒⎡⎤⨯⨯-⋅-⋅⎣⎦=-=-，即S 与t 是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C 符合题意，
故选：C ．
【点睛】
考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )
A ．()2,3
B ．()3,2
C ．()3,3
D ．()
3,3 【答案】D 【分析】过点E 作EF x ⊥轴于点F ，由直角三角形的性质求出EF 长和OF 长即可．
【详解】解：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，
∵四边形OABC 为菱形，60AOC ∠=，
∴1302
AOE AOC ∠=∠=，OB ⊥AC ，60FAE ∠=， ∵()4,0A ，∴4OA =，
∴114222
AE AO =
=⨯=， ∴112AF AE ==，2222213EF AE AF =-=-=， ∴413OF AO AF =-=-=，
∴()
3,3E ．
故选D ．。