镇海区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

镇海区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数的定义域为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．（，1）
2． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
3． 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．4． 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C -1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
AB 1CC
A B D ．
34
5． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数
R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．6． 不等式
≤0的解集是（
）
A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
B ．[﹣1，2]
C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
D ．（﹣1，2]
7． 设函数在上单调递增，则与的大小关系是（ ）
()log |1|a f x x =-(,1)-∞(2)f a +(3)f A ．
B ．
C.
D ．不能确定
(2)(3)f a f +>(2)(3)f a f +<(2)(3)f a f +=8． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
3x =x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．9． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()
10,+∞10．已知集合，，则（ ）{| lg 0}A x x =≤1
={|3}2
B x x ≤≤A B = A ．
B ．
C ．
D ．(0,3](1,2](1,3]1
[,1]
2
【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．11．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π
12．已知三棱锥外接球的表面积为32，，三棱锥的三视图如图S ABC -π0
90ABC ∠=S ABC -所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．
二、填空题
13．设某双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为
136
272
2=+y x ，则此双曲线的标准方程是
.)4,15(14．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．
15．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．
16．下列命题：
①集合的子集个数有16个；{},,,a b c d ②定义在上的奇函数必满足；
R ()f x (0)0f =③既不是奇函数又不是偶函数；2
()(21)2(21)f x x x =+--④，，，从集合到集合的对应关系是映射；A R =B R =1
:||
f x x →A B f ⑤在定义域上是减函数．1
()f x x
=
其中真命题的序号是
．
17．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）
1||||AB BF =190ABF ∠=︒
A ．
B
C ．
D 5-6-
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
三、解答题
18．（本题满分13分）已知函数.x x ax x f ln 22
1)(2
-+=（1）当时，求的极值；
0=a )(x f （2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
)(x f ]2,3
1[a 【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
19．已知曲线（，）在处的切线与直线2
1()f x e x ax
=+0x ≠0a ≠1x =2
(1)20160e x y --+=平行．
（1）讨论的单调性；
()y f x =（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
()ln kf s t t ≥(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈20．已知函数f （x ）=
（Ⅰ）求函数f （x ）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （A ）的取值范围．　
21．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图所
示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知平面向量，，.
(1,)a x = (23,)b x x =+-
()x R ∈（1）若，求；
//a b ||a b -
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
23．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
24．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
镇海区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，
即4x﹣1＞1，得x．
∴函数的定义域为．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
2．【答案】C
【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.时，y=，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；
∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
3．【答案】C
4． 【答案】D 【解析】
考
点：异面直线所成的角.5． 【答案】
D
6． 【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x ≤2，故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．　
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：由且在上单调递增，易得()()()()()
log 1,,1log 1,1,a a x x f x x x -∈-∞⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩()f x (),1-∞
.在上单调递减,，故选A.
01,112a a <<∴<+<()f x ∴()1,+∞()()23f a f ∴+>考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性.8． 【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则
3x =y 2
3x =y 3(*)n
x n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
31000n
x =≥7n ≥x 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标
()f x 1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
log a y x =01a <<系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），
1a >由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的()(),y g x y h x ==交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交(),y a y g x ==点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.10．【答案】D
【解析】由已知得，故，故选D ．{}
=01A x x <£A B = 1
[,1]2
11．【答案】B
【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，
所以该几何体的体积为V 几何体=×π•12×2=．
故选：B ．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．　
12．【答案】A 【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.
二、填空题
13．【答案】1
5
42
2=-x y 【解析】
试题分析：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，故焦点坐标为由双曲
136
272
2=+y x y 927362=-=c ()3,0±线的定义可得,故，，故所求双
()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a 2=a 5492=-=
b 曲线的标准方程为．故答案为：．
15422=-x y 15
42
2=-x y 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．14．【答案】　4　．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f （x ）=的图象与函数y=的图象，如下图所
示，
由图知两函数y=f （x ）与y=的交点个数是4．故答案为：4．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），
则
=
sin （﹣）=﹣
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．　
16．【答案】①②【解析】
试题分析：子集的个数是，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③为偶函数，故错误.
2n
()2
41f x x =-对于④没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.0x =考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是个；对于
2n
奇函数来说，如果在处有定义，那么一定有，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要0x =()00f =根据定义，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合中任意一个
()()()(),f x f x f x f x -=-=-A 元素在集合中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1
B
17．【答案】B 【
解
析
】
三、解答题
18．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为，因为，当时，，则),0(+∞x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
0=a x x x f ln 2)(-=.令，得.…………2分x x f 12)('-
=012)('=-=x x f 2
1
=x 所以的变化情况如下表：
)(),(',x f x f x x )21,0(2
1)
,21
(+∞)('x f －0＋)
(x f ↘极小值↗
所以当时，的极小值为，函数无极大值.………………5分
2
1=
x )(x f 2ln 1)21
(+=f
19．【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减；（2）
()f x 1(,)e -∞-1(,)e +∞1(,0)e -1(0,)e
.1
[,)2
+∞【解析】
试题解析：（1）由条件可得，∴，2
21
'(1)1f e e a
=-
=-1a =由，可得，
2
1()f x e x x
=+2222211'()e x f x e x x -=-=
由，可得解得或；
'()0f x >2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩1x e >1
x e <-由，可得解得或．
'()0f x <2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩10x e -<<1
0x e <<所以在，上单调递增，在，上单调递减．()f x 1
(,e
-∞-1(,)e +∞1(,0)e -1
(0,e
（2）令，当，时，，，
()ln g t t t =(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈()0f s >()ln 0g t t t =>由，可得在，时恒成立，
()ln kf s t t ≥ln ()
t t
k f s ≥(0,)x ∈+∞(1,]t e ∈即，故只需求出的最小值和的最大值．
max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()f s ()g t 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
()f s 1(0,e 1(,)e
+∞故的最小值为，
()f s 1(2f e e
=由可得在区间上恒成立，
()ln g t t t ='()ln 10g t t =+>(1,]e 所以在上的最大值为，()g t (1,]e ()ln g e e e e ==所以只需，122
e k e ≥
=所以实数的取值范围是.
1[,)2
+∞考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f
x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin cos +cos 2=sin （+）
，∴由2k
≤+
≤2k π
，k ∈Z 可解得：4k π﹣
≤x ≤4k π，k ∈Z ，
∴函数f （x ）单调递增区间是：[4k π﹣，4k π
]，k ∈Z ．
（Ⅱ）∵f （A ）=sin （+
）
，
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA ﹣sinC ）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB ，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
∴B=．
∴可得0＜A＜，
∴＜+＜，
∴sin（+）＜1，
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．　
22．【答案】（1）2或2）．(1,0)(0,3)- 【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；
（2）两向量的夹角为锐角的充要条件是且不共线，由此可得范围．
,a b 0a b ⋅> ,a b
试题解析：（1）由，得或，
//a b
0x =2x =-当时，，，
0x =(2,0)a b -=- ||2a b -=
当时，，.
2x =-(2,4)a b -=- ||a b -=
（2）与夹角为锐角，，，，
0a b ∙> 2
230x x -++>13x -<<又因为时，，
0x =//a b
所以的取值范围是.
(1,0)(0,3)- 考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积可得向量的夹角公式，当为锐角时，，但当cos a b a b θ⋅=
cos 0θ>cos 0
θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是且不同
0a b
a b
⋅>
,a b 向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是且不反向．
0a b
a b
⋅<
,a b 23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的
关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
24．【答案】
【解析】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。