2017-2018学年高中数学必修五教材用书：模块综合检测

模块综合检测(二) (时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°
D ．30°或150°
解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2
sin B
，
解得sin B ＝1
2.
∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.
2．若0<x <3
2，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )
A.
916 B.94
C ．2 D.9
8
解析：选D ∵0<x <32，∴3
2
－x >0.
∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋32－x 22
＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”，
∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为9
8
.
3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20 D ．19
解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋
9×8
2
d ＝36d ＝a 37，故选A. 4．已知不等式x 2
－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( )
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1
解析：选D ∵x 2
－2x －3<0， ∴－1<x <3.
∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2
>b 2
，则a >b C ．若1a >1
b
，则a <b
D ．若a <b ，则a <b
解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2
>b 2
⇒|a |>|b |，
a ，
b 大小不确定；
对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D. 6．已知m ＝a ＋
1a －2
(a >2)，n ＝22－x 2
(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n 解析：选A ∵a >2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1
a －2
＋2≥2 a －2 ·
1a －2
＋2＝4，n ＝22－x 2<22
＝4，∴m >n ，故选A.
7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，
y ≤3，
则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )
A ．－7
B ．－6
C ．－1
D ．2
解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x ≤0，
－x ＋2，x >0，
则不等式f (x )≥x 2
的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2
，解得0<x ≤1； 当x ≤0时，f (x )≥x 2
可化为x ＋2≥x 2
， 解得－1≤x ≤0，
故不等式f (x )≥x 2
的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.
9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2
＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )
A.20
B.21
C.22
D.61
解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2
＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，
所以cos θ＝1
2，
所以第三边长为
42＋52
－2×4×5×12
＝21.
10．已知不等式ax 2
＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0 D．a >0，Δ>0
解析：选C 由二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2
＋bx ＋c <0的解集为∅. 11．已知关于x 的不等式
x ＋1
x ＋a
<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D ．(－1,0]
解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋1
1＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝
0，解得－1≤a ≤0.
12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0
解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，
对于A ，若a 3>0，则a 1q 2
>0， 所以a 1>0， 所以a 2 015＝a 1q
2 014
>0，所以A 不正确；
对于B ，若a 4>0，则a 1q 3
>0， 所以a 1q >0， 所以a 2 014＝a 1q
2 013
>0，
所以B 不正确；
对于C ，若a 3>0，则a 1q 2
>0， 所以a 1>0，
所以当q ＝1时，S 2 015>0，
当q ≠1时，S 2 015＝a 1 1－q 2 015
1－q
，
又1－q 与1－q
2 015
同号，所以C 正确．故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝
513，sin B ＝3
5，a ＝20，则b 的值为________． 解析：由题意，得sin A ＝
1213
， 所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213
×3
5
＝13.
答案：13
14．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，
所以(－1)2
＝8(S 9－7)， 解得S 9＝718
.
所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－7
8.
答案：－7
8
15．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －b ≥5，a －b ≤2，
a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.
解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x＝a＋b＝13.
答案：13
16．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
解析：连接BD.
∵BC＝CD＝2，∠C＝120°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°.
∵∠ABC＝120°，∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD.
在△BCD中，由正弦定理得
BD＝BC
sin 30°
·sin 120°＝2 3.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝1
2
·AB·BD＋
1
2
BC·CD·sin 120°＝
1
2
×4×23＋
1
2
×2×2×
3
2
＝5 3.
答案：5 3
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2
x 2＋x ＋1
(x >－2)．
(1)求1
y
的取值范围．
(2)当x 为何值时，y 取得最大值？
解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，
故1
y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝ t －2 2＋ t －2 ＋1t ＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t
－3≥23－3， ∴1
y
的取值范围为[23－3，＋∞)．
(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1
y
最小，
此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋3
3，
∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋3
3
.
18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A . (1)求边BC 的长；
(2)若△ABC 的面积为1
6sin A ，求角A 的大小．
解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC . ∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.
(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝1
6sin A ，
∴AC ·AB ＝1
3
.
又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得
cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 2
2AC ·AB
＝ AC ＋AB 2
－2AC ·AB －BC 2
2AC ·AB
＝2－23－123＝12，
∴A ＝60°.
19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，
a 5成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *
)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,
3q 2
，q 4
成等差数列， ∴6q 2
＝q 3
＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1
(n ∈N *
)．
(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ， 则b n ＝2n
－λ·2
n －1
＝(2－λ)2
n －1
，
若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件； 若λ≠2，则b n ＋1
b n
＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列， 此时S n ＝
2－λ 1－2
(1－2n )＝(2－λ)(2n
－1)，
∵S n ＝2n
－1(n ∈N *
)，∴λ＝1.
20．(本小题满分12分)某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80千米/时，试问该客车是否超速？
(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米， 则BC ＝1003米．
在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°， 则DC ＝BD 2
＋BC 2
＝200米，
所以客车的速度v ＝CD
10＝20米/秒＝72千米/时，
所以该客车没有超速．
(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，
又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.
在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BC
sin 45°，
所以EB ＝
BC sin 30°
sin 45°
＝506米，
即此时客车距楼房506米．
21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 2
3＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log
3a n
，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 2
3＝9a 2a 6得a 2
3＝9a 2
4， ∴q 2
＝19
.
由条件可知q >0，故q ＝1
3.
由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13
.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3n .
(2)∵a n ＝1
3n ，∴b n ＝－log
31
3
n
＝2n ， 从而
1
b n b n ＋1
＝
14n n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，
∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝
n
4 n ＋1
.
22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝
1
90
n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)． (1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？
(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)
解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1 ，n ＝1，
f n －f n －1 ，2≤n ≤12，
因为f (n )＝1
90n (n ＋2)(18－n )，
所以a 1＝f (1)＝
17
30
<1.3， 当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190
(－3n 2
＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2
＋35n ＋19>117， 解得14
3
<n <7，
因为n ∈N ，所以n ＝5,6，
即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．
(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．
所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥
f n n ＝ n ＋2 18－n
90
， 又因为
n ＋2 18－n 90≤190⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ n ＋2 ＋ 18－n 22
，
所以a ≥10
9
，
即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销．。