高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》易错题汇编附答案解析

新数学《矩阵与变换》期末复习知识要点
一、15
1．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴
1
3
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当
241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．
2．证明：（1）
1
112
2
212
a b a a a b b b =； （2）
12
121
1
2222
a ka
b kb a b a b a b ++=.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据行列式的运算，分别化简得
1
112122
2a b a b b a a b =-，12
122112
a a a
b a b b b =-，即可求解；
（2）根据行列式的运算，分别化简得
1212
122122
a ka
b kb a b a b a b ++=-，
1
1
122122
a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】
（1）根据行列式的运算，可得
1
1121222a b a b b a a b =-，12
122112
a a a
b a b b b =-， 所以
1
112
2
212
a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得
1212
12212222
()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，
又由
1
112212
2
a b a b a b a b =-，所以121211
2222a ka b kb a b a b a b ++=.
【点睛】
本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．计算：12131201221122120-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】91559124-⎛⎫
⎪--⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】
121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
4．解关于x ，y 的方程组93x ay a
ax y +=⎧⎨+=⎩
.
【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】
分别计算得到29D a =-，6x D a =，2
3y D a =-，讨论得到答案.
【详解】
2199
a D a a =
=-，639
x a a D a =
=，2133
y a D a a =
=-.
当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2
2
26939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】
本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.
5．（1）计算行列式34
912，5111022
，28728--的值；
（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？
【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）
0a b
ka kb
=或()0a ka k b kb =∈R ；证明见解析；（3）成立 【解析】 【分析】
（1）分别进行化简计算即可求得；
（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】
（1）
34
36360912
=-=，
511
11011001022
=-=，
28565607
28
-=-=-；
（2）由（1）可知
0a b
ka kb
=或()0a ka k b kb =∈R ，证明如下： 0a b kab kab ka kb =-=，0a ka
kab kab b kb =-=，即0a b
ka kb =或
()0a ka k b kb
=∈R 成立；
（3）假设三阶行列式中成立，即0a
b c ka
kb
kc na nb nc =或0a ka na
b kb nb
c kc nc
=
证明如下：
0a b c
ka
kb
kc knabc knabc knabc knabc knabc knabc na nb nc =++---=
0a ka na
b kb nb knab
c knabc knabc knabc knabc knabc c kc
nc
=++---= 得证，故三阶行列式也成立 【点睛】
本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题
6．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1
323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩
解的情况.
【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12
x a y ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无
解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【解析】 【分析】
由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】
()21
333a D a a a a a a
=
=--=-+-,
()()11233323x D a a a a a a -==-+=--=-++-, ()()21
2332623323
y a
D a a a a a a a a a -=
=++=+=++,
①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩
,即12x a y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；
②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；
③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解
可表示为()31x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想
7．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；
所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
8．用矩阵变换的方法，解二元一次方程组23
42
x y x y =⎧⎨
-=⎩－
【答案】17
107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】 【分析】
先将方程组化为矩阵，再根据矩阵运算求结果. 【详解】
2312342412x y x x y y =-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦
－ 所以1
1
211233777412412107
77x y -⎡⎤⎡⎤
-
⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
-
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因此17
107x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查利用矩阵解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
，当实数m 为何值时，并
在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】
一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即
23233x m
m y m ⎧
=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值. 【答案】2
π
θ=
【解析】 【分析】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)
cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩
，
又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-
即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故
sin 2cos 1
=cos 02sin cos 2
θθθθθ-⇒=+
又(0,)θπ∈，故2
π
θ=.
【点睛】
本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可;
(2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出
2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨
-≥-⎩或270
721x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩
, 解得6x ≥或8
3
x ≤
, 故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞;
(3)21
()1
x g x a x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
13．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
的解的情况，并求出相应
的解.
【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧
=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【解析】 【分析】
首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】
方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2 1 1
1 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,
21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q
（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧
⎪=⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪=-⎪+⎩
；
（ii ）当1a =-时，无解；
(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
14．已知矩阵111A a -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.
【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】
根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】
由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得13a +=-，所以4a =-，
故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，
则矩阵A 的特征多项式为221
1
()(1)4234
1
f x -=
=--=---λλλλλ，
令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．
15．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α.
【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
.
【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-，
于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.
（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
16．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
求曲线22
1x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.
【答案】22
221x xy y -+= 【解析】 【分析】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得到00
x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.
【详解】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00
x y
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，
面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩
，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩， 代入22001x y +=，得22
()1y y x +-=，
所以所求曲线的方程是2
2
221x xy y -+= 【点睛】
本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．已知向量11α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A .
【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩
（2）2
16709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。

【详解】
解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r ，
所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩ （2）由（1）知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2
4141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

18．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
， A 的逆矩阵A
－1
对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．
【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
，即1ak k k
λλ-=⎧⎨
=⎩
因为k≠0，所以a ＝2． 5分
因为13111A -⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】
试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．
19．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1
B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.
【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】 （1）计算(
)1
AB
B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥
--⎣⎦
，根据()1
A A
B B -=，可得结果.
（2）计算矩阵A 的特征多项式()12
1f λλλ
+-=
-，可得2λ=-或1λ=，然后根据
Ax x λ=r r
，可得结果.
【详解】 （1）因为1
7177AB
y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所以(
)1
7175712723514721AB
B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由(
)1
A AB
B -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
所以514172103
y x x y y -==⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩
（2）矩阵A 的特征多项式为：
()()()()12
12211f λλλλλλλ
+-==+-=+--
令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，
12222102x x x y x
y y x y
--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，
所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. ②当1λ=时，
12210x x x y x
y y x y
--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =
所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 因此，矩阵A 的特征值为2-和1，
分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于(
)1
A AB
B -=，第（2）问中，关键在于
()12
01f λλλ
+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.
20．定义()111111n n n n x x n N y y +*
+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v
； （2）设向量()11
,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v
的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v
；（2）(
)25216,0. 【解析】 【分析】
（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u u
r .
（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*
n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r
、2017OP u u u u u u r
的坐标.
【详解】
（1）因为()12,3P ，故123OP
⎛⎫
= ⎪⎝⎭u u u r
，设2x OP y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u u u r
， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n n
n x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,
()911616,0OP OP ==u u u r u u u r
所以()252252
201711616
,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】
本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.。