例谈球体内接椎体问题的模型化处理方法

进行数学抽象，建立通用解题模型. 从而让学生在解题中体会数学直观的强大作用，体会数
学抽象的精髓所在.
1 题组展示
例 1 已知三棱锥中 셀 ⦇찠ʩ 中， ⦇ 찠 ʩ,⦇ʩ 찠ʩ 2,∠찠ʩ⦇ 120 ，若三棱锥内接
于半径为 2 的球 O 中，则侧棱 PA 长为
.
例 2 已知正六棱锥 셀 ⦇찠ʩ‫ ܥ ܤ‬的六条侧棱都相等且长度为 4，底边长为 2 ，若该六棱锥
4 对模型的数学解释
要善于用联系发展的眼光研究数学问题，方能深刻体会并领悟数学核心素养的正真内
涵.本文所研究的数学模型，从几何角度（形）来说，实际上就是三种空间几何图形（等腰
棱锥、圆锥、球体）的一种特殊位置关系，从代数角度（数）来说，实质上就是三个变量（球
体半径 R，椎体的高 h，椎体底面多边形对应的外接圆半径 r）中，利用等量关系式（公式 1
（3）这个四棱锥的底面四边形必存在外接圆；
（4）这个四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等.
针对对上述题组，教学中可能出现以下三种情况：不能发现问题之间的内在联系，从而
各自为战，不成系统；不能准确作图，导致问题极为抽象，从而误认为空间想象能力不强；
不能建立空间几何体之间的相互联系，从而导致难以理解，更难以作图.
内接于球 O 中，则球 O 的表面积为
.
例 3 已知三棱锥中 셀 ⦇찠ʩ 中， ⦇ 찠 ʩ 2，찠ʩ 3,∠찠⦇ʩ 60 ，若三棱锥内接
于球 O 中，则球 O 的半径为
.
例 4 已知一个四棱锥的的侧棱都相等，则下列命题中，正确的是
.
（1）这个四棱锥一定是正四棱锥；
（2）这个四棱锥的各个顶点必在同一球面上；
或公式 2）实现知二求一的过程，从运动变化（函数）的角度来说，可将公式 1 和公式 2 等
价转化为 2R r 2 h2 ，下面，分三种情况分析： h
（ 1 ） 将 椎 体 的 高 h 视 为 常 量 ， 则 2R 与 r 构 成 以 r 为 自 变 量 的 二 次 函 数 ， 形 如
2R 1 r 2 h(h 0) 在区间 (0,) 单调递增，因此，可从函数角度说明已知高为 h 的椎 h
2 共性分析及模型生成
鉴于此，我们首先来研究上述题组的共性，即棱椎的侧棱都相等.如果抓住了这条共性，
也就抓住了这类问题的实质.下面给出具体解释.
为了后续研究方便，我们把所有侧棱都相等的棱锥称为等腰棱锥.由此，不难想象等腰
棱锥必然可以内接于圆锥中，而圆锥又可内接于球体中，这样一来，利用圆锥做中介，比直
探索解决问题的思路.”
由此可见，在立体几何的课堂教学中，应着重强化两大数学能力.一是逐步培养学生的
空间想象能力，这一点应从作图与识图两个方面着手.所谓作图，就是强化学生作常见空间
几何体（柱体、椎体、台体）的能力和熟练度；所谓识图，就是对给定的三视图或直观图能
准确定位其中点、线、面的空间位置关系；二是要重视培养学生的逻辑推理能力.这一点就
3
当 h ( 4R ,2R) 时，V 0 ，所以当 h 4R 时，圆锥体积取得最大值V 32 R3 .
3
3
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同理可得侧面积的最值，限于篇幅，这里不再赘述。
5 结语
数学解题贵在挖掘问题的内在联系与数学属性，若能将一类问题的内在联系搞清楚，
3
那也就搞清楚了该类问题的数学属性，进而实现数学抽象与数学建模活动.提高数学问题的 认识程度，激发研究数学的热情. 当然，发现问题间的内在联系并非易事，需要不断积累与 思索，跳进题海然后脱离题海，让数学核心素养切实有效地得以在教学中落地生根.
图 2-6
这样，利用上述模型，即可找到求解该类问题的两个统一计算公式， 2 2
셀െ 2
（公式 1）或 2 2 െ 셀 2（公式 2），其中， R 表示球体半径，h 表示椎体的高，r
表示椎体底面多边形对应的外接圆半径.如图 3-1，图 3-2 所示.其实，两个公式实质相同，都
是在三个变量中，实现知二求一.
圆锥体积
V 1 r2 h 3
，将
r 2 2Rh h2
代入的
V 1 (2Rh h2 ) h h3 2R h2 (0 h 2R)
，
3
3
3
V h2 4R h(0 h 2R) ，由V 0 解得 h 4R ，且当 h (0, 4R ) 时，V 0 ，
3
3
二
三 结语
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体有唯一外接圆，且外接圆的直径与椎体的底面多边形对应的外接圆半径 r 成二次增长关系. （2）将椎体底面多边形对应的外接圆半径 r 视为常量，则 2R 与 h 构成以 h 为自变量的对勾
函数，形如 2R h r 2 (r 0) 在区间 (0, r) 单调递减，在区间 (r,) 单调递增，所以得 h
要给学生建立合理的公理定理体系，用定理公理理清问题间的逻辑关系，用定理公理指导并
优化解题的推理论证过程.这是一个慢教学过程，需要循序渐进式的培养，而非一蹴而就.
文献[3]中，曾对球体内接柱体问题给出一般模型.本文，我们从一类球体内接椎体问题
谈起，通过对问题设问形式的对比研究，并对问题对应图形模型进行分析，找到问题的共性，
接将等腰棱锥内接于球体中好理解的多.至此，通过共性探究，进行逻辑推理，得到问题的
直观模型，如图 1-1，图 1-2.
1
在圆锥中再内接等腰三棱锥（也可内接其他等腰棱锥），又可得到此类问题的常见几种 具体模型，如图 2-1 至图 2-6 所示.
图 2-1
图 2- 2
图 2-3
由上述常
图 2-4
图 2-5
2 直棱锥内接于球体
4
三
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一 两个概念
为了研究方便，本文先规定两个概念：一是等腰棱锥，二是直棱锥. 等腰棱锥：若一个棱锥的所有侧棱都相等，称这样的棱锥为等腰棱锥. 下面，对概念进行必要的界定，得到相关结论.由等腰棱锥定义可知， 结论 1：正棱锥必然是等腰棱锥. 结论 2：等腰棱锥一定能内接于圆锥. 由结论 2 易知 结论 3：等腰棱锥的低面多边形一定存在外接圆.、 结论 4：等腰棱锥不一定是正棱锥. 结论 5：等腰棱锥必有外接球. 直棱锥：若一个棱锥的一条侧棱垂直于底面，称这样的棱锥为直棱锥. 同样，对概念进行必要的界定，得到相关结论.由直棱锥定义可知， 结论 6：若一个直棱锥的底面多边形存在外接圆，则此直棱锥必内接于圆柱内. 结论 7：若一个直棱锥的底面多边形存在外接圆，则此直棱锥必有外接球.
参考文献： [1]张建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革[J].数学通报，2017（11）：1-6. [2]张建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革（续）[J].数学通报，2017（12）：1-3. [3]张生.一类球体与柱体组合问题的通用“秒杀”解法[J].中学数学（高中），2015（5）：69-70.
16 셀 ⺁ 2 3，由公式 2 可得球体半径为
⺁ ，所以球
3
O
的表面ห้องสมุดไป่ตู้为6⺁
3
.
对于例 3 ，先画圆锥，数形结合.易知圆锥母线长为 2，由 찠ʩ 3,∠찠⦇ʩ 60 ，利用正弦
定理得 1，由勾股定理算得 h = 3，由公式 2 可得球体半径为
2 3.
3
对于例 4，先画圆锥，数形结合. 易知正确的命题为（2）（3（4）.
图 3-1
3 利用模型解题
利用上述模型，我们给出题组一的统一解题方法.
2
图 3-2
对于例 1，先画圆锥，数形结合.已知 2, 由 ⦇ʩ 찠ʩ 2,∠찠ʩ⦇ 120 ，易计算得 2， 由公式 1 或公式 2 可得椎体的高为 h = 2，所以侧棱 PA 长为 2 2. 对于例 2，先画圆锥，数形结合.易知圆锥母线长为 4，易计算得 2，所以圆锥高为 െ
例谈球体内接椎体问题的模型化处理策略
兼谈直观想象素养的课堂落实
张生（内蒙古师范大学附属中学 010020）
章建跃博士在文献[1][2]中，强调“新一轮课程改革更加关注利用几何课程提升学生的直
观想象、逻辑推理等核心素养，引导学生以基本图形为载体认识事物的位置关系、形态变化
与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，
2R 2r, .因此，可从函数角度说明已知底面多边形对应的外接圆半径 r 的椎体，当外
接球半径为 r 时，对应椎体唯一，当外接球半径大于 r 时，对应椎体有两个.
（3）将球体半径 R 视为常数，得到了 h 与 r 的隐函数，即 h2 r 2 2Rh 0(r 0, h 0) ，
此时，利用函数思想可求球体内接圆锥体积和侧面积的最值问题，具体如下：