知识讲解-变化率与导数-基础

变
化率与导数
【学习目标】 （1）理解平均变化率的概念；
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；
【要点梳理】
要点一、平均变化率问题
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：
2121
()()f x f x x x -- 要点诠释：
① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121
()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-
②作商：对所求得的差作商，即2121
()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：
1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。

若函数
()y f x =为常函数，则y =0.
要点二、导数的概念
定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x
x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim ，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='
要点诠释：
① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。

0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数。

② 0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆无限接近。

③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。

要点三、求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；
② 求平均变化率：
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

【典型例题】
类型一：求平均变化率
例1 函数1()y f x x
==
在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

【解析】 ∵1(1)(1)111x y f x f x x
-∆∆=+∆-=-=+∆+∆ ∴11y x x ∆=-∆+∆ 【点评】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率问题，就是求
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆的值。

举一反三：
【变式1】求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 【答案】2
020)(x x x y -∆+=∆ 所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 【变式2】求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，12x ∆=
时平均变化率的值. 【答案】当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为
当01x =，12x ∆=时，平均变化率的值为：141252
⨯+⨯=. 【变式3】 已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-, 则=∆∆x
y ． 【答案】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴ 2(1)(1)23y x x x x x
∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 类型二：利用定义求导数值
【高清课堂：变化率与导数 383113 例1】
例2 （1）求函数 2
()3f x x =在x =1处的导数.
（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 【解析】 (1) 22
(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆ 2
63()63y x x x x x
∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.
所以 函数 2
()3f x x =在x =1处的导数为6 .
（2） 依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，
需先求2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆， 再求：2
3()3y x x x x x
∆∆-∆==-∆∆∆，即为f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率。

再由导数定义得： 00
(1)lim lim(3)3x x y f x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆ 【点评】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。

举一反三：
【变式1】求函数1y x
=在点3x =处的导数. 【答案】11(3)33(3)x y x x -∆∆=-=+∆+∆，所以13(3)
y x x ∆-=∆+∆ ∴ 00011()lim
lim 3(3)9x x y f x x x ∆→∆→∆-'===-∆+∆ 【变式2】 求函数求2x y =在0x x =附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【答案】 2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2
020)( ∴ 00000
()lim lim(2)2x x y f x x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 【变式3】 若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f
【答案】 因为2(2)(2)(1)1y f x f x ∆=+∆-=+∆-=22()x x ∆+∆，所以
y x
∆=∆2x +∆ 所以'(2)f =0lim(2)2x x ∆→+∆= 因为(2)1f =，所以实际是求函数1y ==在 x 1处的导数值，110y ∆=-=，
y x
∆=∆0 所以0lim 00x ∆→=，即((2))'f = 0 类型三：实际问题中导数的应用
例3. 质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.
【解析】根据平均速度的意义，运用导数的知识求解。

瞬时速度v =t
t t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0
lim →∆t (8+2Δt )=8（cm/s ） 【点评】 t =2时的瞬时速度就是t =2附近平均速度的极限，亦即速度在t =2时导数。

举一反三：
【变式1】如果一个质点从固定点A 开始运动，关于时间t 的位移函数是
3()3s t t =+ 求（1）t=4时，物体的位移是s(4);
（2）t=4时，物体的速度v(4);
（3）t=4时，物体的加速度a(4).
【答案】(1) 3
(4)4367s =+= (2) t=4时，332(4)3(43)4812()s t t t t t
∆+∆+-+==+∆+∆∆∆ ∴v(4)=48 (3) 3322()3(3)33()s t t t t t t t t t
∆+∆+-+==+∆+∆∆∆ ∴22200()lim lim 33()3t t s v t t t t t t t ∆→∆→∆⎡⎤==+∆+∆=⎣
⎦∆ t=4时 ()(4)v v t t v t t
∆+∆-==∆∆2
3(4)234243t t t +∆-⨯=+∆∆ ∴a (4) = 24
【变式2】一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
【答案】自由落体的运动公式是22
1gt s =（其中g 是重力加速度）. 当 时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：
从而，t t
s v ∆+=∆∆=-
-9.44.29. 结论：t ∆越小，t
s ∆∆越接近29.4米/秒 当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于29.4米/秒. 【变式3】 质点按规律s (t)=at 2+1做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）。

若质点在t=2 s 时的瞬时
速度为8 m / s ，求常数a 的值。

【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s(2)=a(2+Δt)2+1―a ×22－1=4a Δt+a(Δt)2， ∴4s a a t t
∆=+∆∆。

∴在t=2 s 时，瞬时速度为0lim
4t s a t ∆→∆=∆，即4a=8。

∴a=2。