2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教学案 苏教版

第六节 正弦定理、余弦定理
[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R .
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ；
b 2＝
c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
变形
(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ；
(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a
sin A
＝2R .
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ；
cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ac ；
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
(1)S ＝1
2a ·h a (h a 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ；
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．
[常用结论]
1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；
b ＝a cos C ＋
c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .
3．内角和公式的变形 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C .
4．角平分线定理：
在△ABC 中，若AD 是角A 的平分线，如图，则AB
AC ＝BD DC
.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． ( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B . ( )
(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．
( )
(4)当b 2
＋c 2
－a 2
＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2
＋c 2
－a 2
＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2
＋c 2
－a 2
＜0时，△ABC 为钝角三角形． ( )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
1．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π
4，a ＝1，则b
＝( )
A ．2
B ．1 C. 3
D. 2
D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sin
π
4sin
π6＝2
2
×2＝ 2.]
2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]
3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 ． 23 [因为
23sin 60°＝4
sin B
，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，
所以AB ＝2，
所以S △ABC ＝1
2
×2×23＝2 3.]
考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
，可先求出角C 及
b ，再求出
c .
(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理
a sin A ＝b
sin B
可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝b
sin B 求
角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．
(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A
－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2
＝sin 2
A －sin
B sin
C .
①求A ；
②若2a ＋b ＝2c ，求sin C .
(1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2
－b 2
＝4c 2
，即a 2
＝4c 2
＋b 2
.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 2
2bc ＝－14，∴b
c
＝6.
故选A.]
(2)[解] ①由已知得sin 2
B ＋sin 2
C －sin 2
A ＝sin
B sin
C ，故由正弦定理得b 2
＋c 2
－a 2
＝
bc .
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62
＋
32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－2
2. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22
， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝
6＋2
4
. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关
公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
[教师备选例题]
(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝
a cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
B －π6
.
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
可得b sin A ＝a sin B ，
又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，
得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.
又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π
3
.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝7，故b
＝7.
由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.
因为a ＜c ，故cos A ＝
27.
因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝43
7，
cos 2A ＝2cos 2
A －1＝17
，
所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝33
14
.
1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A
＋a cos B ＝0，则B ＝ .
3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b
－cos B
.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝
3π
4
.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝7
2，则BC ＝ .
9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，
在△ADC 中，72＝x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫722
－2x ×72cos α， ①
在△ABD 中，42＝x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722
－2x ×72cos(π－α)， ②
①＋②得x ＝9
2
，∴BC ＝9.]
3．(2019·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，
C ＝120°.
(1)求边长a ；
(2)求AB 边上的高CD 的长．
[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，
由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝
a 2＋a ＋22－a ＋4
2
2a a ＋2
，即a 2
－a －6＝0，
所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.
(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝1
2
c ×CD ， 所以CD ＝ab sin∠ACB
c ＝3×5×
3
27＝15314，
即AB 边上的高CD ＝153
14
.
法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，
由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7
si n 120°，
即sin A ＝33
14
，
在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝153
14，
即AB 边上的高CD ＝153
14
.
考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一
个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝
27，b ＝2.
(1)求c ；
(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．
[解](1)由已知条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π
3，在△ABC 中，由余弦
定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3
，即c 2
＋2c －24＝0，
解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD
＝π
2
，
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝
π6
， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为
1
2×4×2sin∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27
，
在Rt△ACD 中，cos C ＝AC CD
，
所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×3
7＝ 3.
法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝2
7，
所以CD ＝7，所以AD ＝3，
所以S △ABD ＝1
2
×4×3×sin∠DAB ＝ 3.
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角
的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
[教师备选例题]
已知△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．
[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝1
2，∠ACB ＝30°或
150°，
又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2
＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.
(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，
由正弦定理得CD sin∠CAD ＝AC
sin∠ADC ，
所以CD ＝3＋3，
又∠ACD ＝180°－150°＝30°，
所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12
＝
3
3＋1
2
. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a
＝2c ，B ＝π
3，则△ABC 的面积为 ．
63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得6
2
＝(2c )2＋c 2
－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝
12×43×23×sin π
3
＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )
2
＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2
，所以A ＝π2，所以△ABC
的面积S ＝1
2
×23×6＝6 3.]
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；
(2)若△ABC 的面积S ＝a 2
4
，求角A 的大小．
[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )
＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．
又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .
(2)由S ＝a 2
4，得12ab sin C ＝a
2
4
，
故有sin B sin C ＝12sin A ＝1
2sin 2B ＝sin B cos B ，
由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π
2
±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π
2；
当C －B ＝π2时，A ＝π
4.
综上，A ＝π2或A ＝π
4
.
考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，
则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
B [由正弦定理得sin B cos
C ＋sin C cos B ＝sin 2
A ， ∴sin(
B ＋
C )＝sin 2
A ，
即sin(π－A )＝sin 2
A ，sin A ＝sin 2
A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π
2，∴△ABC 为直角三角形．]
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解] ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．
2．(变条件)本例中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2
＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．
[解] ∵a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
又0＜C ＜π，∴C ＝π
3
，
又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．
在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，
在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a
c ，(b ＋c ＋a )(b
＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰非等边三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c
.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a
2
＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
.所以△ABC 是等边三角
形．]
2．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a sin B ＋b
sin A
＝2c ，则△ABC
的形状是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A
sin B
＋
sin B
sin A
≥2sin A sin B ·sin B
sin A
＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．故选C.]。