2021-2022学年四川省遂宁市双溪中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年四川省遂宁市双溪中学高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）
参考答案：
B
【考点】对数函数的单调区间．
【分析】本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．
【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即log a2＞log a（2﹣a）．
∴，
∴1＜a＜2．
故答案为：B．
2. 下列各式中错误的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 2．从中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为（）
A． B． C．D．
参考答案：C
4. 设 a=，则a，b 的大小关系是（）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
参考答案：
B
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=，
∴0＜，，
∴a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．
5. ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P－AD－C=60°，则P到AB的距离是
A. 2
B.
C. 2
D.
参考答案：
D
略
6. 化简的结果为（）
A．sinα?cosαB．﹣sinα?cosαC．sin2αD．cos2α
参考答案：
A
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：
==sinαcosα，
故选：A．
7. 已知函数为奇函数，且当时，，则( )
A. －2
B.0
C.1
D.2
参考答案：
A
试题分析：由已知
8. 已知集合M={x|x2+px+2=0}，N={x|x2﹣x﹣q=0}且M∩N={2}，则p，q的值为（）
A．p=﹣3，q=﹣2 B．p=﹣3，q=2 C．p=3，q=﹣2 D．p=3，q=2
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意把x=2代入M与N中两方程中求出p与q的值即可．
【解答】解：∵集合M={x|x2+px+2=0}，N={x|x2﹣x﹣q=0}，且M∩N={2}，
∴把x=2代入M中方程得：4+2p+2=0，即p=﹣3；
把x=2代入N中方程得：4﹣2﹣q=0，即q=2，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为（取，）（）
A．2.65千米B．7.35千米C．10千米D．10.5千米参考答案：
A
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】利用正弦定理求出飞机到山顶的距离，再利用三角函数的定义得出山顶道飞机航向的距离，从而得出山顶海拔．
【解答】解：设飞机先后飞过的两个位置为A，B，山顶为C，过C作AB的垂线，垂足为D，
由题意可知AB=180×=21千米，∠BAC=15°，∠ABC=135°，
∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得，即，
∴AC==21，
∴CD=ACsin∠BAC=21?sin15°=≈7.35千米，
∴山顶海拔高度h=10﹣7.35=2.65千米．
故选：A．
10. 已知△ABC的面积为S，且，若，则的范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生
产总值的年平均增长率为
．
参考答案：
12. 设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．
参考答案：
64
【考点】8I ：数列与函数的综合；8G ：等比数列的性质． 【分析】求出数列的等比与首项，化简a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5， 可得q （a 1+a 3）=5，解得q=．
a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8．
则a 1a 2…a n =a 1n ?q
1+2+3+…+（n ﹣1）
=8n
?
==，
当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
13. 已知，则化简的结果为 。

参考答案：
14. 已知首项为正数的等差数列
中，.则当取最大值时，数列的公差
.
参考答案：
-3
15. 若函数
的定义域为
，则它的值域为________.
参考答案：
；
【分析】
利用余弦函数的性质和反正弦的性质逐步求出函数的值域.
【详解】因为
，
所以
，
所以，
所以
.
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查反正弦函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
16. 已知二次函数的最小值为1，则的值为________.
参考答案： 略
17. 不等式的解集为
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （15分）某市居民阶梯电价标准如下：第一档电量（用电量不超过180千瓦时）的电价（简称为基础电价）为0.57元、千瓦时；第二档电量（超过180千瓦时，不超过400千瓦时）的电价每千瓦时比基础电价提高0.05元；第三档电量（400千瓦时以上）的电价每千瓦时比基础电价提高0.30元（具体见表格）．若某月某用户用电量为x 千瓦时，需交费y 元．
用电量（单位：千瓦时）
用电价格（单位：元/千瓦时）
第一档 180及以下部分
0.57
第二档超180至400部分0.62
第三档超400部分0.87
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）若该用户某月交电费为115元，求该用户该月的用电量．
参考答案：
考点：分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）分别考虑当0≤x≤180，当180＜x≤400时，当x＞400时，由题意运用一次函数的形式求出各段的解析式；
（Ⅱ）分别求出前两段的最大值，即可判断在第二段，解方程即可得到所求值．
解答：（Ⅰ）由题意可得，
当0≤x≤180，y=0.57x，
当180＜x≤400时，y=0.57x+0.05（x﹣180）=0.62x﹣9，
当x＞400时，y=0.05×220+0.3（x﹣400）=0.87x﹣109，
则y=；
（Ⅱ）易知180×0.57=102.6，
0.62×400﹣9=239，
故由0.62x﹣9=115，
解得x=200，
则该用户该月的用电量为200千瓦时．
点评：本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．19. 设数列{a n}的各项都是正数，a1=1，，b n=a n2+a n．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求证：＜1．
参考答案：
【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式；8H：数列递推式．
【分析】（1）利用数列{b n}与数列{a n}的关系得出数列{b n}相邻项之间的关系是解决本题的关键，常常要转化为特殊数列问题，要注意特殊数列的相关公式的运用；
（2）利用（1）中求得的b n的通项公式，通过方程思想解出数列{a n}的通项公式；
（3）根据数列{a n}的单调性寻找所证和式中的每一项与特殊数列的关系是解决本题的关键，通过放缩转化为特殊数列求和从而达到证明该不等式的目的．
【解答】解：（1）由条件得：a n+12+a n+1=2（a n2+a n）∴b n+1=2b n．
∵b1=a12+a1=2∴∴{b n}为等比数列∴b n=2n．
（2）由a n2+a n=2n得
又a n＞0∴．
（3）证明：∵
=
∴{a n}为递增数列．
∴a n2+a n=（1+a n）a n＜（1+a n）a n+1
从而
∴
=．
20. 等比数列{a n}的各项均为正数，且．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．
参考答案：
（1）设数列的公比为
因为
所以
得
（2）由（1）
21. （本小题满分14分）已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
参考答案：
（1）由条件可得，……………………………4分
所以该函数的最小正周期………………………………………………………6分（2），，……………………………………………………8分当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为1
函数的值域为…………………………………………………………………………14分
22. 设函数是定义在区间上的偶函数,且满足
（1）求函数的周期；（2）已知当时，.求使方程在上有两个不相等实根的的取值集合M.
(3)记,表示使方程在上有两个不相等实根的
的取值集合,求集合.
参考答案：
解：（1）因为
所以是以2为周期的函数………ks5u……..3分
（2）当时，即
可化为: 且,
平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆…………5分
方程在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点
记A(-1,1), B(1,1)，得直线OA、OB斜率分别为-1，1…………6分
由图形可知直线的斜率满足且时与该半圆有两交点
故所求的取值集合为=…………8分
（3）函数f(x)的周期为2 , ………..9分
当时，，
的解析式为：. 即
可化为: 且…………12分
平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆
方程在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点
记，得直线的斜率为…………13分
由图形可知直线的斜率满足时与该半圆有两交点
故所求的取值集合为…ks5u….14分。