高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-函数的对称性(含解析)

一、单项选择题
1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)A ．y ＝1x
B ．y ＝lg|x |
C ．y ＝tan x
D ．y ＝x 32．(2024·聊城检测)函数y ＝2－x 与y ＝－2x 的图象(
)A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 轴对称
3．(2023·襄阳模拟)已知函数f (x )＝2x ＋42
x (x ∈R )，则f (x )的图象()A ．关于直线x ＝1对称
B ．关于点(1,0)对称
C ．关于直线x ＝0对称
D ．关于原点对称
4．(2023·赣州联考)已知函数f (x )在32，＋∞上单调递增，满足对任意x ∈R ，都有f 32－x ＝f x ＋32f (x )在区间(a ,2a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围为(
)A.－∞，54 B.54，＋∞C.1，54D ．(－∞，2]
5．已知函数f (1－x )的图象与函数f (2＋x )的图象关于直线x ＝m 对称，则m 等于()
A ．3 B.32C ．－1D ．－
126．(2023·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则()A ．f －120B ．f (0)＝1
C ．f 120
D ．f (1)＝1二、多项选择题
7．设函数f (x )＝2x －1＋21－x ，则下列说法错误的是()
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)为奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
8．(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是()
A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴
B．周期T＝2
C．函数f(x)在[4,5]上单调递增
D．f(5)＝0
三、填空题
9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________.
10．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.
11．(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．
12．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y
＝
1
x－1的图象交于点(x1
，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则错误!(x i＋y i)的值为________．
四、解答题
13．(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性；
(2)求f(x)的单调区间．
14．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
15．设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是() A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＝f(x＋4)
D．f(x＋6)为奇函数
16．(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是()
A．g(2)＝1
B．g(0)＝1
C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)
D．g(－1)＋g(2)<2
§2.4
函数的对称性1．A 2.C 3.A
4．C [由f f f (x )图象的对称轴是直线x ＝32
，
因为函数f (x )在32，＋f (x )∞，32上单调递减，因为f (x )在区间(a ,2a －1)上单调递减，
a －1≤32，<2a －1，解得1<a ≤54.
所以实数a ，54.]5．D
[设点P (x ，y )在函数y ＝f (1－x )的图象上，点P 关于直线x ＝m 的对称点Q (x ′，y ′)，
＋x ′＝2m ，＝y ′，＝2m －x ′，
＝y ′，则y ′＝f (1－2m ＋x ′)，
即y ＝f (1－2m ＋x )与y ＝f (1－x )关于直线x ＝m 对称，
则1－2m ＝2，得m ＝－12
.]6．B [因为函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，因为函数y ＝f (x )的定义域为R ，函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，
所以函数y ＝f (x )的图象关于点(2,1)对称，且f (2)＝1，
所以f (0)＝f (2)＝1.]
7．ABD
8．AC [因为f (x －1)＝f (3－x )，
所以直线x ＝1是f (x )的图象的对称轴，故选项A 正确；
因为f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f (x )的图象关于点(0,0)对称，又因为f (x )的对称轴为x ＝1，所以f (x )的周期T ＝4，故选项B 错误；
直线x ＝1是f (x )的对称轴，且函数f (x )在[1,2]上单调递减，
所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，
又f (x )的周期T ＝4，
所以函数f (x )在[4,5]上单调递增，故选项C 正确；
因为f (x )的周期T ＝4，
f (4)＝f (0)＝0，
则f (5)>f (4)＝0，故选项D 错误．]
9．cos πx (形如a cos πx ＋b 或a
|sin πx 2|＋b 或a |sin πx |＋b 或a |cos πx 2|＋b 等)10.2
|x <－3或x >53
解析∵y ＝f (x ＋3)是偶函数，
∴f (x )的图象关于直线x ＝3对称．
∵当x ≥3时，f (x )＝log 2x ，
∴f (x )在[3，＋∞)上单调递增，
∴|2x ＋2－3|>|x －1－3|，
即|2x －1|>|x －4|，
∴(2x －1)2>(x －4)2，
即3x 2＋4x －15>0，
解得x <－3或x >53
.12．n
解析∵函数f (x )是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，
则f (2－x )＋f (x )＝0，
∴函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，
∵函数y ＝1x －1的图象是由函数y ＝1x 的图象向右平移1个单位长度得到的，∴函数y ＝1x －1
的图象关于点(1,0)对称，∴函数f (x )与函数y ＝1x －1(1,0)对称，∴错误!(x i ＋y i )＝错误!i ＋错误!i ＝2×n 2＋0×n 2
＝n .13．解(1)f (x )的图象关于直线x ＝2对称．
证明：由|x －2|>0，得x ≠2，
所以f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
因为f (2－x )＝log 2|x |＋(2－x )2－4(2－x )＝log 2|x |＋x 2－4，
f (2＋x )＝lo
g 2|x |＋(2＋x )2－4(2＋x )＝log 2|x |＋x 2－4，
所以f (2＋x )＝f (2－x )，
所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．
(2)设y 1＝log 2|x －2|，y 2＝x 2－4x ，
当x >2时，y 1＝log 2|x －2|＝log 2(x －2)单调递增，y 2＝x 2－4x 也单调递增，
故f (x )＝log 2|x －2|＋x 2－4x 在(2，＋∞)上单调递增．
又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，
故f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
14．解(1)设函数f (x )＝x 3－3x 2的图象的对称中心为点P (a ，b )，g (x )＝f (x ＋a )－b ，则g (x )为奇函数，
故g (－x )＝－g (x )，
故f (－x ＋a )－b ＝－f (x ＋a )＋b ，
即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，
即[(－x ＋a )3－3(－x ＋a )2]＋[(x ＋a )3－3(x ＋a )2]＝2b .
整理得(3a －3)x 2＋a 3－3a 2－b ＝0a －3＝0，
3－3a 2－b ＝0，＝1，
＝－2，
所以函数f (x )＝x 3－3x 2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )为偶函数．
15．D [因为f (x ＋2)，f (x －2)都为奇函数，即f (x )关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f (－x )＋f (4＋x )＝0，f (－x )＋f (－4＋x )＝0，所以f (－4＋x )＝f (4＋x )，所以f (x )＝f (8＋x )，因为f (x －2)＝－f (－x －2)，所以f (x －2＋8)＝－f (－x －2＋8)，即f (x ＋6)＝－f (－x ＋6)，所以f (x ＋6)为奇函数．]
16．BCD [∵定义在R 上的减函数y ＝f (x －2)的图象关于点(2,0)对称，
将y ＝f (x －2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y ＝f (x )的图象，
∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即f (x )为奇函数，
∴f (0)＝0，
∵g (x )＝f (x )＋1，
∴g (0)＝f (0)＋1，
∴g (0)＝1，故B 选项正确；
∵y ＝f (x －2)为减函数，
∴f (x )为减函数，
∴g (x )＝f (x )＋1为减函数，
又g (0)＝1，则g (2)≠1，故A 选项错误；
∵f (x ＋1)>f (1－2x )，且f (x )为减函数，∴x ＋1<1－2x ，解得x <0，故C 选项正确；g (－1)＋g (2)＝f (－1)＋f (2)＋2＝－f (1)＋f (2)＋2，
∵f (1)>f (2)，∴g (－1)＋g (2)<2，故D 选项正确．]。