矩形面积不同荷载的应力系数分析

矩形面积不同荷载的应力系数分析
将地基视为一个具有水平表面沿三个空间坐标（x,y,z)方向无限伸展的均匀弹性体，
亦即半无限空间弹性体。

法国学者布辛尼斯克用弹性力学方法求解出半空间弹性体内任
意点的全部应力()zx yz xy z y x τττσσσ,,,,,和全部位移()x y x u u u ,,。

在这6个应力分量中，对建筑工程地基沉降计算直接有关的为竖向正应力z σ。

地基中任意点的竖向应力表达式为
5
323R
z P z ⋅=π
σ （1）
1、 矩形面积受竖向均布荷载作用角点应力系数
在矩形均布荷载作用的情况下，由公式（1）可计算地表作用一个集中力P 时，地基 中一点的竖向正应力z σ，应用应力叠加原理计算地基中的应力。

具体方法：沿着矩形长边L 方向与短边b 方向，分别切许多小条。

取一段微面积y x d d ，在此微面积上作用的力为p d ，因为面积很小，可视为集中力，故可将此集中力代入公式（1），计算p d 在这一点引起的应力z d σ，经化简可得：
(
)
2
52
223
23z
y x z dy dx p d z ++⋅⋅⋅=
πσ
整个矩形面积上的均布荷载p ，在地基中深z 处的这一点引起的附加应力z σ，可通过沿矩形的长边由o 至L 以及沿矩形的短边由o 至b 进行重积分而得其数值： ()
⎰⎰
++=
l b
z z
y x
dxdy
pz 0
2
52
22
3
23π
σ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++⨯+++++2222
22
211111arctan 2n n m n
m mn
n
m n m
p π 式中 b
l m = b
z n =
为计算方便，可令：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++⨯+++++=2222
22
211111arctan 21n n m n
m mn
n
m n m c πα 则p c z ασ=
1.1在matlab 中编制程序如下： x=1:0.2:10; y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*Y./sqrt(1+X.^2+Y.^2)/(2*pi).*(1./(X.^2+Y.^2)+1./(1+Y.^2))+atan(X./(Y.*sqrt(1+X.^2+Y.^2)))./(2*pi); surf(X,Y,Z)
1.2
得到关系图形如下：
1.3得到数据如下：（取前50组）
0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2486 0.2489 0.2490 0.2491 0.2491 0.2401 0.2420 0.2429 0.2434 0.2437 0.2229 0.2275 0.2301 0.2315 0.2324 0.1999 0.2075 0.2120 0.2147 0.2165 0.1752 0.1851 0.1914 0.1955 0.1981 0.1516 0.1628 0.1705 0.1757 0.1793 0.1305 0.1423 0.1508 0.1569 0.1613 0.1123 0.1241 0.1329 0.1396 0.1445
0.0969 0.1083 0.1172 0.1240 0.1294
1.4图形分析
应力中心位于矩形角点，坐标轴沿着长宽方向。

矩形受力面积长度越长则影响越大；深度越深影响越小，但是当深度在不到受力矩形宽度一半的时候，长度的影响几乎没有，就是说在二分之一宽度深的范围内，应力系数基本不变。

2、 矩形面积受三角形分布的竖向荷载作用角点应力系数
分析方法同上，当框架结构房屋柱基受偏心荷载时，基础底面接触压力呈梯形（或三角形）分布。

=tc
α ()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+++-+2
22222112n m n mn
n m m n π
2.1在matlab 中编制程序如下： x=0.2:0.2:1; y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X./sqrt(X.^2+Y.^2).*Y/(2*pi)-X.*Y.^2./((1+Y.^2).*sqrt(1+X.^2+Y.^2)).*Y/(2*pi);
surf(X,Y,Z)
2.2得到关系图形如下：
2.3数据如下：（取前50组）
0 0 0 0 0 0.0223 0.0280 0.0296 0.0301 0.0304
0.0269 0.0420 0.0487 0.0517 0.0531 0.0259 0.0448 0.0560 0.0621 0.0654 0.0232 0.0421 0.0553 0.0637 0.0688 0.0201 0.0375 0.0508 0.0602 0.0666 0.0171 0.0324 0.0450 0.0546 0.0615 0.0145 0.0278 0.0392 0.0483 0.0554 0.0123 0.0238 0.0339 0.0424 0.0492 0.0105 0.0204 0.0294 0.0371 0.0435 0.0090 0.0176 0.0255 0.0324 0.0384 2.4图形分析
应力中心位于矩形角点，坐标轴沿着长宽方向。

与受均布荷载类似，矩形受力面积长度越长则影响越大；深度越深影响越小，但是当深度在不到受力矩形宽度一半的时候，长度的影响几乎没有，就是说在二分之一宽度深的范围内，应力系数基本不变。

此时的应力只受到外荷载的荷载值大小的影响。

3、 条形面积受竖向均布荷载作用中心点下的应力系数
当矩形基础底面的长宽比很大，如时，称为条形基础。

在基础底面产生的条形荷载沿长度方向相同时，地基应力计算按平面问题考虑，应用表面受竖向集中力作用的公式，推到结果。

=
s z α⎪⎭
⎫
⎝⎛++n n n 21arctan 41222
π
3.1在matlab 中编制程序如下：
x=0:0.25:5; y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=atan((1-2.*X)./(2.*Y))./pi+atan((1+2.*X)./(2.*Y))./pi-4.*Y.*(4.*X.^2-4.*Y .^2-1)./((4.*X.^2+4.*Y.^2-1).^2+16.*Y.^2)./pi; surf(X,Y,Z)
3.2得到关系图形如下：
3.3数据如下：（取前50组）
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0.9996 0.9996 0.9995 0.9993 0.9990
0.9968 0.9966 0.9960 0.9947 0.9925
0.9897 0.9891 0.9874 0.9839 0.9778
0.9773 0.9762 0.9728 0.9663 0.9552
0.9595 0.9578 0.9526 0.9429 0.9270
0.9368 0.9346 0.9277 0.9152 0.8955
0.9103 0.9076 0.8994 0.8848 0.8626
0.8810 0.8780 0.8689 0.8530 0.8295
0.8500 0.8469 0.8373 0.8209 0.7970
3.4图形分析
应力中心位于条形基础中心线上，可认为中心线上任意一点均为该条形中心（该条形足够长），横轴沿短边方向，纵轴沿长边方向。

应力位置距中心点的横向距离越近，应力系数越大；应力位置深度越深，应力系数越小；当应为位置位于荷载作用力点的平面时，亦即条形受力面积的表面时，在条形受力面积之外时就不受到影响了，但是随着深度的不断增加，即使应力位置距离中心的横向距离在面积之外，应力系数也不为0，并且其影响范围随深度越来越大。

题目：矩形面积不同荷载的应力系数分析
院（系）土木工程学院
专业土木工程
学生姚丽
学号1093310114
班号0933111
教师齐加连
日期2012.05.23。