单纯形法的计算步骤
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
单纯形法计算步骤
x2 n L xmLxn Z = Z0 + ∑σ j xj
A′
c − zz 求 0
有时不 写此项
检验数
令 Z0 = ∑c b ：
i=1 n 0 j
m
j =m+1 单纯形表结构 令c σ j = (cj − Z j ) ：→
j
单纯形表 Z = Z + ∑(c − Z )x
j
' i i
Z j = ∑c a
c →
j
2
1
0
0
4
0
CB
0 0 0
X b x3 15 x 24 x5 5
B
4
x x2 x3 x x5 1
0 6 1 2 5 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
cj − z j
正检验数对应 的列为主列
i=1 j
m
' i ij
2
CB
c1 M cm
X
B
∑b x1
b '1 M ' bm
j
n
检 数 验 1 0 c j0 C0
x2 L xmLxn
θ
min — 24/6 5/1
x1 M xm
j
A′
′ a1 j
c − zz
M ′ a mj
0
检验数 σ j 求
' bi' bl ' θ = min ' a im+k > 0 = ' 单纯形表结构 i a im+k a lm+k cj → 2 1 0 0 C0
单纯形表
- Z x1基变量XB m xm+1.... xn x2 ...x 非基变量XN 0 1 a1m+1 ...a1n a2m+1 ...a2n 0 1E N 单位阵 非基阵 ....... ...... 0 1 amm+1...amn 1 c c 0... c cm+1 cn σ m 1 2
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法的计算步骤
确定换入基的变量。选择 ,对应的变量xj作为换入变量,当有一个以上检验数大于0时,一般选择最大的一个检验数,即： ,其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ,选最小的θ对应基变量作为换出变量。
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
商务 图标元素
单纯形法的计算步骤
用换入变量xk替换基变量中的换出变量,得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解,并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5 重复3 、4 步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
bi /ai2,ai2>0
40
10
换出行
将3化为1
5/3
1
18
0
1/3
0
1/3
10
1
－1/3
其中：M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值,可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
→
→
→
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯性法小结:
PPT常用编辑图使用方法
1.取消组合
2.填充颜色
3.调整大小ຫໍສະໝຸດ 商务 图标元素30
30
0
5/3
0
－4/3
乘以1/3后得到
1
0
3/5
－1/5
18
0
1
－1/5
－2/5
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。
它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。
单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。
标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。
2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。
起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。
初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。
3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。
如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。
4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。
选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。
5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。
离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。
6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。
由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。
7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。
单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。
进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。
在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。
为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。
总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。
虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
第七(八)讲 单纯形法的计算步骤
单纯形表的特点:
基变量对应的约束方程系数矩阵为单位矩阵I; 基变量对应的检验数均等于0; 基可行解不同,反映在原表中该基可行解对应的基B 不同.
0
0 0 -z
x3
x4 x5
8
16 12
1
4 0 2
2
0 4 3
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
4
3
cj CB 0 0 3 0 XB x3 x4 x5 2 b 2 8 16 3 12
2 x1 1 4 0
3 x2 0 2 0 1 4 0 3
0 x3 1 1 0 0 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
2 x1 1 4 0 0 2 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 -4 0 0 -2
0 x4 0 1 0
0 x5 -1/2 0 2 2 1/4 -3/4 1/4
θi 2
4 4 12
2 0
0 3
0
cj CB XB b
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
0 x5 0 -1/2 2 1 2 0 1/4 0 1/4
θi
2
0 3 -z
x1 x5 x4
x2
2 4 8 4
2 3
1 0 0 0
0 0 1 0
1 0 -4 -2
0 1/2 -3/2 -2
0 1/4 1/2 1
0 -1/8 -1/8 0
4 12
由上表可知该线性规划问题的最优解为：X*=(4,2,0,0,4)T 此时最优值 z=14 注：检验数的计算也可以通过行初等变换得到。
' b i' bl ' θ min ' a ik 0 ' i a ik a lk
单纯型法的计算步骤
3.2 单纯形法的计算步骤由于单纯形)12.2(的目标函数和约束函数中含有基变量和非基变量,为了设计出方便,有效的计算方法,我们将简化单纯形的表达形式,称其为单纯形表格。
比如,下述单纯形:2136x x --=η114x s -= 21223x x s --=的简化单纯形表格如下(参见表3.2)。
这种格式使得我们非常容易识别基变量,我们只要将仅表:简单单纯形表有1个"1"的列(1s 和2s )为基变量。
1.3.2 标准最大化线性规划的单纯型法为了设计标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表,我们首先将它的等价问题)11.2(改写为:max ∑∑=+=⨯+=mi i n nj j jx x c110η..t s ⎪⎩⎪⎨⎧++=≥==++=∑m n n n j x m i b xx a j i i n nj j ij ,...,1,,...,2,1,0,...,2,1,1 )16.2(那么标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表被表示为(参见表4.2): 表:标准最大化线性规划的初始单纯形表其中:j c ,n j ,...,2,1=为原问题目标函数的系数,},...,2,1{m n n n B +++=为基变量下标集合,},...,2,1{n N =为非基变量下标集合,B x 为基变量,B c 为基变量在原问题目标函数系数,B b 为基变量的解,那么初始基可行解为),...,,0,...,0(10m b b x =,η为对应初始目标函数值。
我们将解释表6.2中j sac 和j imp 行的计算方法和经济涵义。
由于标准最大化线性规划问题可被看成是利用m 种资源生产n 种产品,决策变量j x 在线性规划约束条件中的系数ij a 可以被理解为,为了生产一件产品j ),...,2,1(n j =需要消耗原材料i ),...,2,1(m i =的数量;决策变量j x 在目标函数中的系数j c 是一件产品j 的利润;松弛变量i n x +则表示第i 种原材料的剩余量。
2.4单纯形法计算步骤
0
3
x5
x2
4
2
0
0 0
0
1 0
-2
1/2 -3/2
1/2
-1/8 -1/8
1
0 0
j
• 因为所有检验数都小于等于零，所以此时取得最 优解为 T 3 X 4, 2, 0, 0, 0 ,
§2.4 单纯形法的计算步骤
• 例2.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
T
• Step 2 因检验数都大于零，且P1、P2有正分 量存在，所以转入下一步； • Step 3 max{ 1 , 2 } max{2, 3} 3 2 , 对应的变量
x2为换入变量； bi 12 8 min ai 2 0 min , , 3 i 4 2 ai 2
θi
2/1 16/4
3
x2
3
0 2
T
1 0
0 0
0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/4 -3/4
-
j
X
1
0, 3, 2,16, 0 ,
§2.4 单纯形法的计算步骤
Page 16
• 4）取x1、x4、 x2为基变量，列出新的单纯形表。
cj cB 2 0 XB x1 x4 b 2 8 2 x1 1 0 3 x2 0 0 0 x3 1 -4 0 x4 0 1 0 x5 -1/2 2
§2.5 单纯形法的进一步讨论
几种判别准则的汇总，表1-9。
标准型 检验数 cj-zj zj-cj max z=CX AX=b,X≥0 ≤0 ≥0 min z=CX AX=b,X≥0 ≥0 ≤0
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
1.4单纯形法的计算步骤
−z
x1
x2
L xm
xm+1
L xn L L a1n a2n M
0 1 0 L 0 a1,m+1 1 L 0 a2,m+1 0 0 M M M M 0 0 0 L 1 am,m+1 cm+1 1 c1 c2 L cm … -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ +c
基变量 0
-z
3.确定主元素 3.确定主元素 确定 1.计算检验数， 1.计算检验数，由它 计算检验数 确定为换入变量
计算θ 2. 计算θ，由它确定为 换出变量
（2）以[4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， [4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， 为主元素进行旋转运算或迭代运算
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θ 2 4 -
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 2 1/4 1/4
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 1 0 0
θ 4 12
c j→ CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0 x5 0 θ
表 1-5
-3/2
(4) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。 最后一行的所有检验数都已为负或零。 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解
x1 x2
+ a1m+1xm+1 +L+ a1nxn = b1 + a2m+1xm+1 +L+ a2nxn = b2 O xm + amm+1xm+1 +L+ amnxn = bm
线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）
C4单纯形计算步骤
运筹学
讨论区 orppt07@ orppt123456 李健 lijian@ 北京化工大学经济管理学院
上节内容回顾
一．线性规划与单纯形法
xi bi
j m 1
a x
ij
n
n
j
(i 1, 2,
m)
(1-24)
将(1-24)代入(1-20),目标函数变成
z ci bi
i 1 m j m 1
(c c a )x
j i 1 i ij
m
j
(1-25)
，j m 1, 令z0 ci bi， j c j ci aij
§4.2 标准LP的单纯形计算步骤
例2 请用单纯型表求解下LP
max z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 16 4 x1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 4x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 s.t. 4x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
§4.1 单纯形表
cj
cB
0 0 0
i 1 i 1
m
m
,n
解目标规划的单纯形法
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
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解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x 1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x2 x3 x4 4 x 1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x2 x 3 1 x j 0 , j 1, 2 , ,5
系数矩阵中不存在单位矩 阵，无法建立初始单纯形 表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
max Z 3 x 1 2 x 2 x 3－ Mx Mx
Page 7
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
6 7
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4 x 1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x2 x3 x7 1 x j 0 , j 1, 2 , ,7
L
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
bi min a ik 0 a ik
单纯形法的计算步骤
③
Page 4
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
Page 1
单纯形法的计算步骤
Page 2
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
j
检验数
1 c 1 ( c 3 a 11 c 4 a 21 ) 3 ( 0 2 0 1 ) 3
0 x5 0 1 0
-M x6 1 0 0
→ →
0 -M -1 x6 x5 x3
-6 -3 2 5-6M －6/5 3/5 －2/5 5↑
0 1 0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
1 0 0 0
3/5 8/3 —— —— 31/3 ——
2 -M -1 x2 x5 x3
3/5 31/5 11/5
单纯形法的计算步骤
换入列
将3化为1
cj cB 0 基变量 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1
Page 5
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 θi
0
x4
j
30
1
3
3
4
0
0
1
40 10
换 出 行
乘 以 1/3 后 得 到Biblioteka 0 4x3x2
j
30 10
18 4
3 4
x1
x2
j
3 x1 -4 1 2 3-2M 3 8 1
j
2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
-1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x4 -1 0 0 -M -1 0 0 -M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5
j
→
2 3 -1
x2 x1 x3
13 31/3 19/3
j
0 1 0 0
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯性法小结:
建 立 模 型 两 个 求 解 图 解 法、 三个 以上 单纯 形法 不 处 理 xj′ ≥0 xj″ ≥0 xj≥0 xj无 约束 令xj = xj′ xj″ 令 xj’ = - xj 不 处 理 约束条 件两端 同乘以 -1 加 松 弛 变 量 xs 加 入 人 工 变 量 xa 减 去 xs 加 入 xa 不 处 理 xj ≤ 0 bi ≥0 bi < 0 ≤ 个 数 取 值 右 端 项 等式或 不等式 = ≥ 极大或极小 maxZ
单纯形法的计算步骤
3）进行最优性检验
如果表中所有检验数 止。否则继续下一步。
Page 3
，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停 0 j
4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入
变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一 个检验数，即： max{ j | j 0 } ，其对应的xk作为 k 换入变量。 变量作为换出变量。
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于 给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下 表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB 0 -M -M XB x6 x5 x7 b 4 10 1
j
Page 8
-M x7 0 0 1 θi 4 5 1
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x 1 4 x 2 2 x 1 x 2 40 x 1 3 x 2 30 x1 , x 2 0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x 1 4 x 2 2 x 1 x 2 x 3 40 x 1 3 x 2 x 4 30 x1 , x 2 , x 3 , x4 0
5/3 1/3 5/3 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 0 0 3/5 －1/5 －1
－1/3 1/3 －4/3 －1/5 －2/5 －1
0
18 30
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x 1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x2 x1 x 2 2 x3 2 x1 2 x2 x 、x 、x 2 3 1 x3 4 10 x 3 1 0
Page 9
新加变量 系数 xs xa
minZ
令 z′=- Z minZ =－ max z′
0
-M
单 纯 形 法