用公式法进行因式分解
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是一种将多项式表达式表示为若干个更简单的乘积形式的方法。
这种分解有许多不同的方法，其中之一是公式法。
公式法是一种将多项式分解为两个不可约的因子的方法，其中一个因子为公因式，另一个则为多项式的剩余因子。
本文将详细介绍使用公式法进行因式分解的步骤和技巧。
首先，我们需要明确所给多项式的形式，并找出其中的特征和模式。
一般来说，多项式可以表达为如下形式之一：$ax^2 + bx + c$，$ax^3 + bx^2 + cx + d$，或者其它类似形式。
接下来，我们需要寻找多项式的因子。
寻找因子的方法主要有以下几种：1.公因式法：如果多项式的各项都有一个或多个公因子，那么我们可以先将这些公因子提取出来，然后再对剩余的部分进行进一步的分解。
例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以先提取出公因子2，得到$2(x^2+2x)$，然后再对括号中的部分进行分解。
2.模式法：有些多项式具有特定的模式，我们可以利用这些模式进行因式分解。
例如，多项式$x^2-y^2$具有差平方模式，我们可以将其分解为$(x+y)(x-y)$。
3.公式法：一些多项式可以通过特定的公式直接进行因式分解。
例如，二次三项式可以使用二次公式进行因式分解，三次三项式可以使用三次公式进行因式分解。
下面以一些例子来进一步说明公式法的具体步骤和技巧。
例子1：分解多项式$a^2-b^2$。
这个多项式具有差平方模式，我们可以根据差平方公式进行分解。
差平方公式表示为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是一个数，$b$是一个数。
将这个公式应用于我们的多项式，我们可以得到$(a+b)(a-b)$。
所以，多项式$a^2-b^2$可以分解为$(a+b)(a-b)$。
例子2：分解多项式$4x^2-9y^2$。
这个多项式还是具有差平方模式，我们可以将其分解为$(2x)^2-(3y)^2$，再根据差平方公式进行因式分解。
根据差平方公式，我们可以将其分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。
因式分解的公式法
因式分解的公式法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
有以下几种常用的公式法进行因式分解：
1. 公因式提取法：
当多项式的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提
取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 完全平方公式：
当一个二次多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公
式进行因式分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
3. 差平方公式：
当一个二次多项式可以表示为两个项的差的平方时，可以使
用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
4. 因式定理：
当一个多项式可以被一个因式整除时，可以使用因式定理进
行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
5. 一般情况下，可以使用试除法、短除法等方法进行因式分解。
以上是一些常用的公式法进行因式分解的方法，具体的应用需要根据多项式的形式和特点来选择相应的方法进行因式分解。
用公式法进行因式分解“五技巧”
用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解． 解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-； （2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -； （2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件． 解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法分别为：
1. 提公因式法：将多项式中的公因子提取出来，化简成为一个公因式和一个多项式的乘积。
2. 公式法：利用已知的公式，将多项式化简成为一个已知形式的多项式进行因式分解。
3. 分组法：将多项式中的各项按照某种规则分组，化简成为几个因式的和或差。
4. 根据定理进行分解：利用多项式恒等式或定理进行分解，如差平方公式、和差化积公式等。
以上四种方法可根据不同情况选取，以便更快地得到多项式的因式分解形式。
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
《用公式法进行因式分解》教案
12.5.2《用公式法分解因式》教案教学目标：• 1. 理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。
• 2.进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法。
• 3. 掌握提公因式法、公式法分解因式的综合运用。
• 4.体会换元法、类比法、整体思想、转化思想。
重点：用平方差公式和完全平方公式法进行因式分解.难点：把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式和完成平方公式分解因式 教学过程：一、创设情境 明确目标复习回顾1. 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？2. 什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么?3. 因式分解与整式乘法有什么关系？你能很快做出下面两道题吗？引出新课，确定学习目标二、引导自学 初步达标自主完成下面填空并思考：(4分钟，独立完成)（一）根据乘法公式计算：= == = （二）根据等式的对称性填空 = = = = （三）思考：１、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？２、对比（一）和（二）你有什么发现？我的发现：乘法公式反过来就是因式分解把乘法公式反过来进行因式分解的方法称为公式法。
你能用图形的面积说明这两个公式吗？三、探究新知 达成目标探究一 用平方差公式分解因式222007200740162008 1+⨯-）（2220072008 2-）（(2)(2)m m +-()()a b a b -+2()a b +2(2)m +24m -22a b -244m m ++222a ab b ++22222()()2()a b a b a b a ab b a b -=-+±+=±思考：1、因式分解时，平方差公式的左边和右边各有什么特征？2、你能用语言叙述这个公式吗？议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 ；（2）－x 2+y 2；（3）x 2+y 2 ；（4）－x 2－y 2；（5）16－b 2 ；（6）(2a)2－(3b)2;(7) 4a 2－9b 2 ;(8) (a+b)2－(a-b)2 ;(9) 9(a+b)2－16(a-b)2思考： 你是如何怎样判断一个多项式是否能用平方差公式分解？归纳：平方差公式公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b)（一）结构特点：1、左边左边有二项，是两个数的平方差的形式2、右边是右边是左边平方项的底数的和与差的积（二）判断：看多项式是否能写成两个数的平方的差的形式（三）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
用公式法进行因式分解知识点总结
12.4用公式法进行因式分解第二课时知识点：因式分解的一般步骤一.知识点解读与基础训练：（一）知识点要求1、了解因式分解的一般步骤；2、能灵活运用提公因式的方法和运用公式法进行因式分解（二）知识点解读1、因式分解的一般步骤：（1）把一个多项式因式分解时，如果多项式各项有公因式，那么先提公因式，再进一步看是否能用公式法进行因式分解；（2）因式分解必须进行到每个多项式的因式都不能分解为止。
2、注意事项：公因式的系数是负数时，将公因式提出后括号里的各项都要变号（三）对应训练把下列各式进行因式分解（1）a 3－ab 2 （2）4x 3＋4x 2＋x二、灵活应用与能力训练把下列各式进行因式分解:1、-2x 4+32x 22、3ax 2-6axy+3ay 23、 －x 2－4y 2＋4xy4、 m 2（x －y ）＋n 2（y －x ）三、实际应用与拓展训练1、基础应用 把下列各式因式分解 （1）2mx 2－4mxy ＋2my 2 （2） x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3（3）2341x x x -+ （4） a 4-b 42、拓展训练把下列各多项式进行因式分解：（1）25a 2-4(b+c)2 (2)(x+y)2+6(x+y)+9(3)50n-20n(x-y)+2n(x-y)23、实践应用：已知a b 2，ab 2，求12a 3b a 2b 212ab 3四、答案解析对应训练：a （a+b ）（a-b ） x （2x+1）2二、灵活应用与能力训练-2x 2（x+4）（x-4） 3a(x-y)2 -(x-y )2 （x-y ）（m+n ）（m-n ） (5x+2)2三、实际应用与拓展训练：1、2m(x-y)2 xy （x+y ）2 x(x-21)2 （a 2+b 2）（a+b ）（a-b ）2、（5a+2b+2c ）（5a-2b-2c ） (x+y+3)22n(x-y-5)2 3、原式=12ab(a+b)2=2。
用公式法分解因式练习题
用公式法分解因式练习题一、一元二次方程式因式分解1. 分解因式：x^2 92. 分解因式：x^2 163. 分解因式：x^2 6x + 94. 分解因式：x^2 + 8x + 165. 分解因式：x^2 10x + 256. 分解因式：x^2 + 14x + 497. 分解因式：x^2 4x + 48. 分解因式：x^2 12x + 369. 分解因式：x^2 + 20x + 10010. 分解因式：x^2 18x + 81二、一元二次多项式因式分解1. 分解因式：x^2 5x 362. 分解因式：x^2 + 7x 303. 分解因式：x^2 3x 404. 分解因式：x^2 + 9x 225. 分解因式：x^2 8x 336. 分解因式：x^2 + 11x 287. 分解因式：x^2 13x 428. 分解因式：x^2 + 15x 349. 分解因式：x^2 6x 2710. 分解因式：x^2 + 17x 32三、含有公因式的多项式因式分解1. 分解因式：2x^2 8x2. 分解因式：3x^2 + 12x3. 分解因式：4x^2 16x4. 分解因式：5x^2 + 20x5. 分解因式：6x^2 24x6. 分解因式：7x^2 + 28x7. 分解因式：8x^2 32x8. 分解因式：9x^2 + 36x9. 分解因式：10x^2 40x10. 分解因式：11x^2 + 44x四、交叉项因式分解1. 分解因式：x^2 + 5y^22. 分解因式：2x^2 + 8y^23. 分解因式：3x^2 + 12y^24. 分解因式：4x^2 + 16y^25. 分解因式：5x^2 + 20y^26. 分解因式：6x^2 + 24y^27. 分解因式：7x^2 + 28y^28. 分解因式：8x^2 + 32y^29. 分解因式：9x^2 + 36y^210. 分解因式：10x^2 + 40y^2五、综合练习1. 分解因式：x^3 272. 分解因式：x^3 + 643. 分解因式：x^4 164. 分解因式：x^4 815. 分解因式：x^6 646. 分解因式：x^6 7297. 分解因式：2x^2 188. 分解因式：3x^2 249. 分解因式：4x^2 3610. 分解因式：5x^2 50六、差平方与和平方因式分解1. 分解因式：x^2 4y^22. 分解因式：9x^2 25y^23. 分解因式：16x^2 9y^24. 分解因式：25x^2 36y^25. 分解因式：x^2 + 4y^26. 分解因式：9x^2 + 16y^27. 分解因式：4x^2 + 25y^28. 分解因式：16x^2 + 9y^29. 分解因式：25x^2 + 36y^210. 分解因式：x^2 + 49y^2七、三项式因式分解1. 分解因式：x^3 3x^2 + 2x2. 分解因式：x^3 + 4x^2 5x3. 分解因式：x^3 6x^2 + 9x5. 分解因式：x^3 8x^2 + 12x6. 分解因式：x^3 + 9x^2 13x7. 分解因式：x^3 10x^2 + 15x8. 分解因式：x^3 + 11x^2 16x9. 分解因式：x^3 12x^2 + 18x10. 分解因式：x^3 + 13x^2 19x八、多项式因式分解1. 分解因式：x^4 162. 分解因式：x^4 813. 分解因式：x^4 2564. 分解因式：x^4 6255. 分解因式：x^4 + 166. 分解因式：x^4 + 817. 分解因式：x^4 + 2568. 分解因式：x^4 + 6259. 分解因式：x^5 3210. 分解因式：x^5 243九、特殊多项式因式分解1. 分解因式：x^3 + x^2 6x2. 分解因式：x^3 x^2 + 4x3. 分解因式：x^3 + 2x^2 3x4. 分解因式：x^3 2x^2 + 5x5. 分解因式：x^3 + 3x^2 8x7. 分解因式：x^3 + 4x^2 12x8. 分解因式：x^3 4x^2 + 9x9. 分解因式：x^3 + 5x^2 16x10. 分解因式：x^3 5x^2 + 11x十、拓展练习1. 分解因式：x^2y^2 162. 分解因式：x^2 + 8xy + 16y^23. 分解因式：x^3y xy^34. 分解因式：x^4 y^45. 分解因式：x^5 + 32x6. 分解因式：2x^3 8x^2 + 8x7. 分解因式：3x^4 24x^28. 分解因式：4x^3y^2 16xy^29. 分解因式：5x^2y^2 + 20xy^210. 分解因式：6x^3 + 18x^2 24x 答案一、一元二次方程式因式分解1. (x 3)(x + 3)2. (x 4)(x + 4)3. (x 3)^24. (x + 4)^25. (x 5)^26. (x + 7)^28. (x 6)^29. (x + 10)^210. (x 9)^2二、一元二次多项式因式分解1. (x 9)(x + 4)2. (x + 10)(x 3)3. (x 5)(x + 8)4. (x + 11)(x 2)5. (x 11)(x + 3)6. (x + 14)(x 2)7. (x 14)(x + 3)8. (x + 16)(x 2)9. (x 9)(x + 3)10. (x + 17)(x 2)三、含有公因式的多项式因式分解1. 2x(x 4)2. 3x(x + 4)3. 4x(x 4)4. 5x(x + 4)5. 6x(x 4)6. 7x(x + 4)7. 8x(x 4)8. 9x(x + 4)10. 11x(x + 4)四、交叉项因式分解1. (x + 3y)(x 3y)2. 2(x + 2\sqrt{2}y)(x 2\sqrt{2}y)3. 3(x + 2\sqrt{3}y)(x 2\sqrt{3}y)4. 4(x + 3\sqrt{2}y)(x 3\sqrt{2}y)5. 5(x + 2\sqrt{5}y)(x 2\sqrt{5}y)6. 6(x + 2\sqrt{6}y)(x 2\sqrt{6}y)7. 7(x + 2\sqrt{7}y)(x 2\sqrt{7}y)8. 8(x + 2\sqrt{2}y)(x 2\sqrt{2}y)9. 9(x + 2\sqrt{3}y)(x 2\sqrt{3}y)10. 10(x + 2\sqrt{10}y)(x 2\sqrt{10}y)五、综合练习1. (x 3)(x^2 + 3x + 9)2. (x + 4)(x^2 4x + 16)3. (x 2)(x + 2)(x^2 + 4)4. (x 3)(x + 3)(x^2 + 9)5. (x 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 2x + 4)6. (x 3)(x^2 + 3x + 9)(x^2 3x + 9)7. 2(x^2 9)8. 3(x^2 8)9. 4(x^2 9)10. 5(x^2 10)六、差平方与和平方因式分解1. (x 2y)(x + 2y)2. (3x 5y)(3x + 5y)3. (2x 3y)(2x + 3y)4. (5x 6y)(5x + 6y)5. (x + 2y)(x 2y)6. (3x + 4y)(3x 4y)7. (2x + 5y)(2x 5y)8. (4x + 3y)(4x 3y)9. (5x + 6y)(5x 6y)10. (x + 7y)(x 7y)七、三项式因式分解1. x(x 1)(x 2)2. x(x + 1)(x。
用公式法进行因式分解
用公式法进行因式分解因式分解是代数中常见的问题，通过找到多项式的特定因子来将其分解为更简单的形式。
公式法是其中一种常用的方法，可以用于分解各种类型的多项式。
在本文中，我们将详细介绍如何使用公式法进行因式分解，包括一些常见情况的示例和注意事项。
首先，我们来看一下一元二次多项式的因式分解。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c，其中a，b，c为实数，且a不等于0。
我们的目标是将它分解为两个一次因子的乘积。
一元二次方程的因式分解公式为：ax² + bx + c = (mx + p)(nx + q)其中，mn = a，pq = c，mq + np = b为了说明这个公式的使用，我们举一个例子。
例如，将方程2x²+5x+3分解为两个一次因子的乘积。
解法如下：a=2，b=5，c=3我们需要找到两个因子m和n，它们的乘积等于a，也就是2、同时，我们需要找到两个因子p和q，它们的乘积等于c，也就是3、最后，我们需要找到mq + np的结果等于b，也就是5考虑到这些条件，我们可以选择m=1，n=2，p=1，q=3，并代入公式：2x²+5x+3=(x+1)(2x+3)我们可以验证一下这个结果是否正确，将两个一次因子相乘，然后展开得到原多项式。
另一个需要考虑的情况是一元三次多项式的因式分解。
一元三次方程的一般形式为ax³ + bx² + cx + d，其中a，b，c，d为实数，且a不等于0。
一元三次方程的因式分解公式不像二次情况那么直观，因为它需要考虑更多因子的组合。
我们需要使用因式分解的方法来一步一步地推导出最终结果。
我们以一个例子来说明这个过程。
考虑方程2x³+5x²-3x-2的因式分解。
我们需要找到一个因子为x-r，其中r是一个实数根。
如果这个因子是方程的根，那么代入x的值等于r，方程等式两边都应该等于0。
我们可以使用这个性质来不断尝试各种可能的实数根。
因式分解的常用方法7种
因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
运用公式法分解因式
运用公式法分解因式一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
分解因式：(x 2+4)2-16x 2.选择题1、代数式x 4－81,x 2－9,x 2－6x ＋9的公因式为（ ） A 、x +3 B 、（x +3）2 C 、x －3 D 、x 2+92、若9x 2－m x y ＋16y 2是一个完全平方式，则m=（ ） A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±243、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ） A 、3或28 B 、3和－28 C 、－23和14 D 、－23和－14 4、下列变形是因式分解的是（ ）A 、x 2+x －1=（x +1）（x －1）+x ,B 、（3a 2－b 2）2=9a 4－6a 2b 2＋b 4C 、x 4－1=（x 2+1）（x +1）（x －1）,D 、3x 2+3x =3x 2（1+x 1） 5、若81－k x 4=（9+ 4x 2）（3+2x ）（3－2x ）,则k 的值为（ ） A 、1 B 、4 C 、8 D 、166、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ）A 、91a 2+32ab ＋b 2B 、a 2－6a ＋36C 、－4x 2+12x y －9y 2D 、x 2+x ＋41 7、在有理数范围内把y 9－y 分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（ ）， A 、3， B 、4 C 、5 D 、68、下列多项式不含因式a+b 的是（ ） A 、a 2－2ab ＋b 2 B 、a 2－b 2 C 、a 2+b 2 D 、（a+b ）49、下列分解因式错误的是（ ）A 、4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2,B 、3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2C 、5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）D 、－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）10、下列分解因式正确的是（ ）A 、（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2,B 、a 2－9b 2=（a+9b ）（a －9b ）C 、4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）,D 、2x y －x 2－y 2=（x －y ）填空题11、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为 。
用公式法进行因式分解(二)
2.4用公式法进行因式分解（二）【课型】：公式定理课【学习目标】1、理解完全平方公式的结构特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。
4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．【重点】用完全平方公式分解因式．【难点】灵活应用完全平方公式分解因式．【教学方法】自主探究合作学习法【学生情况分析】本节课是在学生能够熟练应用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算的基础上进行的逆向变形，由于学生对于这两个公式掌握的比较牢固，加上学生刚学习了应用平方差公式进行因式分解，因此相信学生能够较好的完成本课的任务学习准备】多媒体课件【导学流程】一、提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2-2ab+b2引入本节的课题，明确本节的学习目标。
二、学生自学，独立探究自学任务：1、自学课本43页、44页例2。
2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。
3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。
自学检测：1、因式分解的完全平方公式的表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．2、完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．3、下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）。
4、把3题中是完全平方式的进行因式分解。
结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2（2）、（4）、（5）都不是．三、精讲点拨，拓展提高。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是
(2) x2+4x+4y2
不是
(3) x2-6x-9
不是
(4) a2-ab+b2
不是
(5) (a+b)2+2(a+b) +1 是
完全平方式的 特征：两个数 （或式子）的 平方和，加上 或减去这两数 （或式子）积 的2倍.
下列各式是不是完全平方式
1a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
课前小测：
1.选择题：
（1）下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
（2）-4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
a2-2ab+b2 = (a-b)2
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项”，且符 号相同 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍
首2 2首尾尾2
巩固概念
判断下列各式是不是完全平 方式，若不是，说一说怎样 将其变为完全平方式.
(1) a2+4a+4
学以致用
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2； (2) –x2–4y2+4xy.
解：(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) –x2–4y2+4xy
= 3a(x2+2xy+y2)
= –(x2+4y2-4xy)
=3a(x+y)2；
= –(x2-4xy+4y2)
= –[x2-2·x·2y+ Nhomakorabea2y)2]
学以致用 例：分解因式：a2+4a+4 解： a2+4a+4
=a2+2·a·2+22 = (a + 2)2
a2+2·a·b+b2 = (a + b)2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 2 a2 6a 9 3 4a2 4a 1 4 9m2 6mn n2
5 x2 1 x
= -(x-2y)2.
——利用完全平方公式进行因式分解
把下列各式进行因式分解：
(1)4x3y-4x2y2+xy3
（2）2a a2 1
学以致用
例5 把下列完全平方式分解因式：
(1) y( y 4) 4( y 1) (2) (x 2 1)2 4x 2
解 y( y 4) 4( y 1) y2 4y 4y 4 y2 4 ( y 2)( y 2)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
（1）18-2b² （2) x4 –1
概念理解
把乘法公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
反过来，就得到
形如a2+2ab+b2 或a2-2ab+b2的式子 称为完全平方式.
a2+2ab+b2 = (a+b)2
5x2 x 1 是
4
6a2 2ab 4b2 否
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
用完全平方公式分解因式
a2 2ab b2 (a b)2
议一议：说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？
(x 2 1)2 4x 2 (x2 1)2 (2x)2 (x2 1 2x)(x2 1 2x) (x 1)2 (x 1)2
例3：把下列各式分解因式
(1) x4 18 x2 81
（2）(x2＋y2)2-4x2y2
利用 完全平方公式分解因式的步骤:
1.变成a2 ±2ab+b2 的形式 2. 确定公式中的a 和 b.
注意： 1、分解因式的步骤是首先提公因式，然后 考虑用公式 2、因式分解进行到每一个多项式的因式不 能再分解为止。 3、计算中运用因式分解，可使计算简便 4、公式中的字母可以是单项式，也可以是 多项式，运用了整体思想、转化思想。
规律总结 在进行分解因式时应注
意的问题：
1.首先考虑多项式各项有没有公因式，如 果有，先提公因式法，再考虑用公式法； 2.公式中的字母可以代表数，也可以代表 一个式子；分解因式时可以把式子看作一 个整体； 3.分解因式一定要分解到每个因式都不能 再分解为止.
① x2 2xy y2 ; ② x2 2xy y2 ;
③ x2 xy y2 ; ④ x2 xy y2
。
x y ⑤ 4 2 12 xy 9 2 ⑥(ab)2 2(a b) 1
(2x)2 2g2xg3y (3 y)2 (ab)2 2g(a b)g112
思考：你是如何判断一个多项式是否能按完全平方 公式分解？说说具体的步骤。
3. 根据 a2 2ab b2 (a b)2 写出结果即可.
• 简单的记为: 1.变形式2. 定a , b 3 .写结果.
●注意: （1）平方项是负数时，应先把负号提出来，再利用 公式。 （2）最终结果要保证不能再分解为止,也就是说分解 要彻底.
我们的收获……
结合本节课内容，请从知识、 方法、数学思想、情感、经历等方面 谈谈你的收获。
4
6 4a2 12ab 9b2
学以致用
例3 把下列完全平方式分解因式：
(m+n)2-6(m+n)+9.
(m+n)2-6(m+n)+9 = (m+n)2-2 (m+n) ·3+32 =[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2
达标检测
把下列各式分解因式
(1)(x22x)22(x22x) 1
a b2 4a b 4