吉林省长春市宽城区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

吉林省长春市宽城区19-20学年九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.关于x的方程(x+m)2=n，下列说法正确的是()
A. 有两个解x=±√n
B. 当n≥0时，有两个解x=±√n−m
C. 当n≥0时，有两个解x=±√n−m
D. 当n≤0时，方程无实根
(x+3)2−4的图像的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能2.设二次函数y=−1
4
是()
A. (1,−4)
B. (3,2)
C. (−3,2)
D. (−7,−4)
3.9.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是()
A. (x−4)2=9
B. (x+4)2=9
C. (x−8)2=16
D. (x+8)2=57
4.已知△MNP如图，则下列四个三角形中与△MNP相似的是()
A.
B.
C.
D.
5.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanC=()
A. 1
3B. 3 C. 1
2
D. 2
6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为()
A. 36°
B. 72°
C. 108°
D. 144°
7.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，
BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为()
A. 16
B. 12
C. 10
D. 8
8.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示，则关于x的不等式ax2+
bx+c>0的解集是()
A. x<2
B. x>−3
C. −3<x<1
D. x<−3或x>1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.2×sin60°+tan30°=______．
10.若一元二次方程2x2−2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．
11.已知点A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y=2(x−3)2+5上的两点，如果x1>x2>4，那么
y1______y2.(填“>”、“=”或“<”)
12.如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=3，点F为CD的中点，EF⊥BF交
AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG的长为______．
13.如图，半径为5的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧
上一点，则∠OBC的正弦值为______ ．
14.若二次函数y=(m+1)x|m|+4x−16的图象开口向下，则m=_____．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
15.用配方法解方程：3x2+6x−1=0．
16.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长
为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°．
17.如图，学校要围一个面积为48平方米矩形花圃，花圃的一边利用10米长
的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成，求花圃的AB边的长应为多少米？
18.已知：二次函数的图象过点A(2,−3)，且顶点坐标为C(1,−4).
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当−1<x<2时，y的取值范围．
19.如图 ①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=
42∘．
(1)求∠CEF的度数;
(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图 ②所示，点H，
B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长(结果保留两位小数).(参考数据：sin42∘≈0.67，cos42∘≈0.74，tan42∘≈0.90)
20.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双
肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得
200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
21.如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E，弦AG⊥弦BC于点F，AG
与CD相交于点M．
(1)求证：BD⏜=GB⏜；
(2)若弧AC⏜=80°，⊙O的半径为6，求CG⏜+AD⏜的弧长和．
22.【阅读理解】
如图1，在△ABC中，AD平分，求证：AB
BD =AC
CD
．
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作
BE//AC交AD的延长线于点E，构造△EBD∽△ACD，达到证明AB
BD =AC
CD
的目的．
(1)请完成小明的证明过程．
【应用结论】
(2)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=√5
5
，AB=12．
①求线段BD的长度．
②求线段CD的长度和sin2α的值．
小明分析：由(1)知AC
CD =AB
BD
，设CD=t，则AC=AB
BD
t，解Rt△ABC可得结论．请你写出解答．
23.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，D、E分别为边
AB、AC的中点，连结DE，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度
沿折线AD−DE−EA向中点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以
PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段QC上，设点P的运动时
间为t秒(0<t<12)．
(1)当点P在线段AC上运动时，求线段PE的长(用含t的代数式表示)．
(2)当点N落在AC边上时，求t的值．
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t的函数
关系式．
(4)当点N与点E不重合时，作直线NE，直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比
为1：2时t的值．
24.如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(−1,0)，B(3,0)，交y轴与C(0,3)，D为抛物线上的顶点，直线y=x−1
与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物
线与点Q．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)求线段PQ的最大值；
(3)设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0)．
解：在方程(x+m)2=n中，
∵(x+m)2≥0，
∴当n≥0时，方程才有意义，
即有两个解x=±√n−m，
当n=0时，解为x1=x2=−m，
则A，C，D错误．
故选B．
2.答案：C
解析：
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k).由二次函数解析式可求得抛物线的对称轴，则可求得答案．(x+3)2−4，
解：∵y=−1
4
∴对称轴为x=−3，
∵点M在直线l上，
∴M点的横坐标为−3，
故选：C．
3.答案：B
解析：
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程常数项移到右边，两边加上一次项一半的平方16，配方得到结果，即可做出判断．
解：方程x2+8x+7=0，
变形得：x2+8x=−7，
配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9，
故选B ．
4.答案：D
解析：
本题主要考查的是等腰三角形的性质以及相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.由△MNP是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断即可．
解：∵△MNP为等腰三角形，且底角为75°，
∴顶角为30°，
D选项中的图与△MNP的两边对应成比例且夹角相等
∴两个三角形相似．
故选D．
5.答案：C
解析：解：如图所示：
tanC=AD
CD =4
8
=1
2
，
故选：C．
根据正切的概念计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边c的比叫做∠A的正切是解题的关键．6.答案：B
解析：
本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，连接AO，DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
解：如图，连接AO，DO，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=2
5
×360°=144°，
∴∠ABD=1
2∠AOD=1
2
×144°=72°，
故选B．
7.答案：A
解析：
根据线段中点的概念求出AD、AF，根据三角形中位线定理求出DE、EF，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
解：
∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴AD=1
2AB=3，AF=1
2
AC=5，DE=1
2
AC=5，EF=1
2
AB=3，
∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+FA=3+5+5+3=16，故选A．
解析：
本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想求解是此类题目的特点．根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(−3,0)(1,0)，
∴关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是−3<x<1．
故选C．
9.答案：4√3
3
解析：
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
根据特殊角的三角函数值，可得答案．
解：原式=2×√3
2+√3
3
=
4√3
3
故答案为：4√3
3
．
10.答案：m≤1
2
解析：解：∵方程有实数根，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×2×m=4−8m≥0，
解得：m≤1
2
．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
解析：解：∵y=2(x−3)2+5，
∴a=2>0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2(x−3)2+5对称轴为直线x=3，
∵x1>x2>4，
∴y1>y2．
故答案为：>
根据二次函数的性质得到抛物线y=2(x−3)2+5的开口向上，有最小值为5，对称轴为直线x=3，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以x1>x2时，y1>y2．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a>0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b
，在对称轴
2a
左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
12.答案：4√13
7
解析：
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，有一定的难度．延长BF、AD交于M，根据矩形性质求出CD、DF、CF，证△EDF∽△FCB求出DE，根据勾股定理求出CE，证△DFM∽△CFB，求出DM，证△EGM∽△CGB，即可求出答案．
解：延长BF、AD交于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=2√3，∠ADC=∠BCD=90°，
∵F为CD中点，
∴CF=DF=1
CD=√3，
2
∴∠EFB=90°，
∴∠FBC+∠BFC=90°，∠BFC+∠DFE=90°，∴∠DFE=∠CBF，
∵∠EDF=∠FCB=90°，
∴△EDF∽△FCB，
∴DE
CF =DF
CB
，
∴DE
√3=√3
3
，
∴DE=1，
由勾股定理得：EC=√DE2+DC2=√1+(2√3)2=√13，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴△DFM∽△CFB，
∴DF
CF =DM
CB
，
∵DF=CF，
∴BC=DM=3，∵AD//BC，
∴△EGM∽△CGB，
∴EG
CG =EM
CB
，
√13−EG =4
3
，
EG=4√13
7
．
故答案为4√13
7
．
13.答案：1
2
解析：解：连结AC、AO，如图，
∵⊙A的半径为5，点C坐标为(0,5)，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OBC=1
2
∠OAC=30°，
∴sin∠OBC=sin30°=1
2
．
故答案为1
2
．
连结AC、AO，如图，易得OA=OC=AC，则△OAC为等边三角形，所以∠OAC=60°，再根据圆周
角定理得到∠OBC=1
2
∠OAC=30°，然后利用特殊角的三角函数值求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了特殊角的三角函数值．
14.答案：−2
解析：
本题主要考查的是二次函数的定义与性质，掌握二次函数的定义和性质是解题的关键．
由二次函数的定义可知|m|=2，由抛物线的开口向下可知m+1<0，从而可求得m的值．
解：∵二次函数y=(m+1)x|m|+4x−16的图象开口向下，
∴{|m|=2
m+1<0
,
解得：m=−2，
故答案为−2．
15.答案：解：先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以3，得
x2+2x=1
3
，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1=1
3
+1
配方得(x+1)2=4
3
，
开方得x+1=±2√3
3
，
解得x1=2√3
3−1,x2=−2√3
3
−1．
解析：本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以3，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
16.答案：解：(1)如图①所示，△
ABM即为所求；
(2)如图②所示，△CDN即为所求；
(3)如图③所示，四边形EFGH即为
所求；
解析：(1)直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
(2)直接利用三角形面积求法得出答案；
(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
此题主要考查了作图−应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．17.答案：解：设AB边的长为x米，则BC边的长为(20−2x)米，
x(20−2x)=48
解得x=4或x=6．
∵20−2x≤10，
∴x≥5，
∴x=6，
答：AB边的长应为6米．
解析：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类题目的关键．
设AB边的长为x米，则BC边的长为(20−2x)米，利用矩形的面积公式列出方程求解即可．18.答案：解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x−1)2−4，
把A(2,−3)代入得a⋅(2−1)2−4=−3，
解得a=1，
所以二次函数的解析式为y=(x−1)2−4=x2−2x−3；
(2)当y=0时，x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
则抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−4)，如图，
当−1<x<2时，y的取值为−4≤y<0．
解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
(1)由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a(x−1)2−4，然后把A(2,−3)代入求出a的值即可；
(2)先求出抛物线抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，再利用描点法画出抛物线．然后根据二次函数图象易得当−1<x<2时，y的取值范围．
19.答案：解：(1)∵∠CGD=42∘，∠C=90∘，
∴∠CDG=90∘−42∘=48∘，
∵DG//EF，
∴∠CEF=∠CDG=48∘．
(2)∵点H，B的读数分别为4，13.4，
∴HB=13.4−4=9.4，
∴BC=HBcos42∘≈9.4×0.74≈6.96．
答：BC的长约为6.96．
解析：
本题主要考查了解直角三角形，三角形中锐角三角函数的应用，平行线的性质.解题关键是利用直角三角形的性质，平行线的性质及直角三角形中锐角三角函数求解即可．
(1)先由直角三角形中两个锐角的和为90°，可求得∠CDG的度数，再由DG//EF，内错角相等，可求得∠CEF的度数．
(2)在直角三角形中，先求得HB的长度，再由锐角三角形边角关系，利用锐角三角函数可求得BC 的长度．
20.答案：解：(1)w=(x−30)⋅y
=(−x+60)(x−30)
=−x2+30x+60x−1800
=−x2+90x−1800，
w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800(30≤x≤60)；
(2)根据题意得：w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225，
∵a=−1<0，∴函数w有最大值，
当x=45时，w有最大值，最大值是225．
(3)当w=200时，−x2+90x−1800=200，
解得x1=40，x2=50，
由题意得：x≤42，
∵50>42，x2=50不符合题意，舍去，∴x=40，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
解析：本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
(1)每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润，据此列出函数关系式即可；
(2)将(1)中的二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
(3)根据题意将w=200代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解可得答案，注意检验是否符合题意．
21.答案：(1)证明：∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠DCB+∠B=90°，∠GAB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠GAB，
∴BD⏜=BG⏜；
(2)∵AC⏜的度数是80°，
∴∠B=40°，
∴∠DCB=50°，
∴∠GMC=40°，
∴∠ACD+∠CAG=40°，
∴CG⏜+AD⏜的弧长和=80π×6
180=8π
3
．
解析：(1)根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠DCB=∠GAB，根据圆周角定理证明结论；
(2)根据三角形的外角性质得到∠ACD+∠CAG=40°，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
22.答案：(1)证明：如图，过点B作BE//AC交AD延长线于点E，
∴∠DBE=∠C，∠DAC=∠E，
又∠BDE=∠CDA，
∴△BDE∽△CDA，
∴BD
CD =BE
AC
，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠E，∴BE=AB，
∴BD
CD =AB
AC
；
(2)解：①在R t△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα=√5
5
，AB=12，
∴sinα=BD
AD =1
√5
，可设BD=x，ad=√5x，
由勾股定理得，x2+122=(√5x)2，解得：x=6，
故所求线段BD的长度为6；
②由(1)知AC
CD =AB
BD
=12
6
=2，
设CD=t(t>0)，则AC=2t，
在R t△abc中，AB2+BC2=AC2，
∴(6+t)2+122=(2t)2，
解得：t1=−6<0，舍去；或t2=10，∴CD=10，AC=20
∴sin2α=BC
AC =6+10
20
=4
5
．
解析：(1)如图，过点B作BE//AC交AD延长线于点E，根据平行线的性质得到∠DBE=∠C，∠DAC=
∠E，由于∠BDE=∠CDA，推出△BDE∽△CDA，得到BD
CD =BE
AC
，由于AD平分∠BAC，于是得到∠BAD=
∠DAC=∠E，等量代换得到结论；
(2)①在R t△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα=√5
5，AB=12，于是求得sinα=BD
AD
=
√5
，可设
BD=x，ad=√5x，由勾股定理得，即可得到结果；②由(1)知AC
CD =AB
BD
=12
6
=2，设CD=t(t>0)，
则AC=2t，在R t△abc中，AB2+BC2=AC2，根据勾股定理得到CD=10，AC=20于是求得sin2α=
BC AC =6+10
20
=4
5
．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
23.答案：解：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，D、E分别为
边AB、AC的中点，
∴AD=1
2AB=3，DE=1
2
BC=4，
当点P在线段EA上运动时，PE=t−AD−DE=t−7(7<t<12)；
(2)分两种情况：
①当0<t≤3时，如图2，
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴AP
AB =PN
BC
，
∴t
6=PN
8
，
∴PN=4
3
t，
∵四边形PNQM是正方形，
∴PN=PB=4
3
t，
∵AP+PB=AB，
∴t+4
3
t=6，
∴t=18
7
，
②当3<t≤7时，如图3，
∵PE=PQ=BD=3，
∵DP+PE=DE，
∴t−3+3=4，
∴t=4，
综上所述，当点N落在AC边上时，t的值是18
7
秒或4秒；
(3)分三种情况：
①当18
7
≤t≤3时，如图4，S=PB2=(6−t)2=t2−12t+36；
②当3<t≤4时，如图5，S=PQ2=32=9；
③当7≤t<12时，如图1，
由题意得：PE=t−7，
∴AP=5−(t−7)=12−t，
∵PQ//AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PQ
AB =CP
AC
，
∴PQ
6=10−(12−t)
10
，
∴PQ=3(t−2)
5
，
∵△PNF∽△CBA，
∴FN
PN =AB
BC
，
∴FN
3(t−2)
5=6
8，
∴FN=3
4×3(t−2)
5
，
S=PQ2−1
2PN⋅NF=[3
5
(t−2)]2−1
2
×3
5
×3
4
×3
5
(t−2)2=9
40
t2−9
10
t+9
10
；
(4)分两种情况：
①当S△EFC：S四边形ABFE=1：2时，即S△EFC：S△ABC=1：3，∴S△ABC=3S△EFC，
过E作EG⊥BC于G，
∴1
2×6×8=3×1
2
×3×FC，
∴FC=48
9=16
3
，
由(2)得：PK=4
3t，同理得：AK=5
3
t，
∴KN=PN−PK=6−t−4
3t=6−7t
3
，KE=5−5t
3
，
∵KN//FC，
∴KN
FC =KE
EC
，
∴KN⋅EC=KE⋅FC，
∴5(6−7t
3)=16
3
×(5−5t
3
)，
t=6
5
；
②如图7，当S △AEK ：S 四边形BKEC =1：2时，即S △AEK ：S △ABC =1：3，
∴S △ABC =3S △AEK ， ∴12×6×8=3×12×4×AK ， ∴AK =4，
由(3)知：FN =9(t−2)
20，
∴FM =MN −FN =
3(t−2)5−9(t−2)
20=3(t−2)20， ∵sin∠C =
FM FC ， ∴FC =3(t−2)53
5=t−2
4，
∴EF =5−FC =
22−t 4， ∵FN//AK ，
∴FN
AK =EF
AE ，
∴FN ⋅AE =EF ⋅AK ，
∴5×
9(t−2)20=4×22−t 4， ∴t =106
13；
综上所述，t 的值为65或10613．
解析：(1)根据P 点的运动路径和速度可得：当点P 在线段EA 上运动时，PE =t −AD −DE ，可得PE 的长；
(2)分两种情况：①当0<t ≤3时，如图2，根据AP +PB =AB ，列方程可得t 的值；
②当3<t ≤7时，如图3，根据DP +PE =DE ，列方程可得t 的值；
(3)分三种情况：
①当18
7≤t ≤3时，如图4，S 就是正方形的面积；②当3<t ≤4时，如图5，S 就是正方形的面积；③当7≤t <12时，如图1，可利用面积差得S 的值即可；
(4)分两种情况：
①当S △EFC ：S 四边形ABFE =1：2时，即S △EFC ：S △ABC =1：3，先求得FC =4，由KN//FC ，得KN FC =KE EC ，
列方程可得t 的值；
②如图7，当S △AEK ：S 四边形BKEC =1：2时，即S △AEK ：S △ABC =1：3，同理得AK =4，由FN//AK ，得FN AK =EF AE ，列方程可得t 的值．
本题是四边形的综合题，主要考查了相似形的综合应用、正方形的性质、直角三角形的性质、三角函数等知识，难度较大．解题的关键是根据题意正确画出图形，此外要注意分类讨论思想在解题中的运用，分类时做到不重复，不遗漏．
24.答案：解：(1)设抛物线解析式为y =a(x +1)(x −3)，
把C(0,3)代入得a ⋅1⋅(−3)=3，解得a =−1，
∴抛物线解析式为y =−(x +1)(x −3)，即y =−x 2+2x +3；
∵y =−(x −1)2+4，
∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,4)；
(2)设Q(x,−x 2+2x +3)，则P(x,x −1)，
∴PQ =−x 2+2x +3−(x −1)
=−x 2+x +4
=−(x −12)2+17
4，
当x =12时，线段PQ 的长度有最大值17
4；
(3)作EH ⊥PQ 于H ，如图，设Q(x,−x 2+2x +3)，则P(x,x −1)，
∵EP =EQ ，
∴QH =PH ，
∵OC =3，E 为线段OC 的三等分点，
∴E(0,1)或(0,2)，
当E 点坐标为(0,1)时，则H(x,1)，
∴−x 2+2x +3−1=1−(x −1)，
整理得x 2−3x =0，解得x 1=0，x 2=3(舍去)，此时P 点坐标为(0,−1)；
当E 点坐标为(0,2)时，则H(x,2)，
∴−x 2+2x +3−2=2−(x −1)，
整理得x 2−3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2，此时P 点坐标为(1,0)或(2,1)，
综上所述，P点坐标为(1,0)或(2,1)或(0,−1)．
解析：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
(1)设交点式y=a(x+1)(x−3)，然后把C点坐标代入求出即可得到抛物线解析式；在把一般式配成顶点式得到D点坐标；
(2)设Q(x,−x2+2x+3)，则P(x,x−1)，则PQ=−x2+2x+3−(x−1)，然后利用二次函数的性质解决问题；
(3)作EH⊥PQ于H，如图，设Q(x,−x2+2x+3)，则P(x,x−1)，根据等腰三角形的性质得QH=PH，讨论：当E点坐标为(0,1)时，则H(x,1)，则−x2+2x+3−1=1−(x−1)；当E点坐标为(0,2)时，则H(x,2)，则−x2+2x+3−2=2−(x−1)，然后分别解关于x的方程即可得到对应的P点坐标．。