§2.5.2向量在物理中的应用举例学案
2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例（导学案）
学习目标：一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关
系抽象成数学模型，另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。
重点：如何将物理量之间的关系抽象成数学模型.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度、功进行相关的分解与计算.
难点：将物理中的有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
学习案
一、新课内容
探究一：
结论：
探究二
θ为何值时，最小，最小值是多少？
能等于吗？为什么？
例题一：已知三个力同时作用于某物体上一点，为使
物体保持平衡，再加上一个力,则=（）
A.（-1，-2）
B.（1，-2）
C.（-1，2）
D.（1，2）
例题二：用力推动一物体水平运动距离为且与水平面的夹角为，则对物体所做的功为
（）
A. B. C. D.
二、即学即练
人骑自行车的速度为，风速为,则逆风行驶的速度大小为（）
A. B.+ C. D.
三、课堂小结
复习案
四、课后作业
如图，在细绳处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为.
（1）求,随角θ的变化而变化的情况；
（2）当时，求角θ的取值范围.
G
五、课后反思。
2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例一、教学分析向量与物理学密切相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念. 向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.二、教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.三、重难点教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学过程：新课导入：探究（一）：向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？探究（二）：向量在运动学中的应用思考1：一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？五、课堂总结：利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.六、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. P.113 A组4 B组2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学2.5.2向量在物理中的应用举例教案(新人教A版必修4)
2.5.2 向量在物理中的应用举例一、教学目标：1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 2．过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
本题的关键选择适当AECF的学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法二、教学重点难点：重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：四、教学内容安排：五、教学资源建议（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）.（2）引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.六、教学方法与学习指导策略建议（1）重视问题的形成过程利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.（2）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（3）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（4）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识。
人教新课标版数学高一必修四教案 2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道2cos2||||||212cos1θθGFG⇒=通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos2θ的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+AB=DB,∴DB=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-2v1,这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v|=202km/h.答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.① 由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.②联立①②解得|v |=.2gh mmM 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2,即子弹的速度大小约为gh mM 2.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=30cos ||OA =2335=10 km/h.答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量; ④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s. 作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.。
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
高中数学必修四教案-2.5.2 向量在物理中的应用举例(3)-人教A版
向量在物理中的应用举例【教学目标】1．通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用。
【教学重点】运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算。
【教学难点】将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。
【教学过程】一、复习引入：1．讲解2．你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗？（1）问题的转化：把物理问题转化为数学问题；（2）模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象。
思考：1．“行驶最短航程”是什么意思？2．怎样才能使航程最短？.,2,,62:),,1(的轨迹方程求点若上的一点是直线点直线已知PAPRAlRxylA=-=三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤：（1）问题的转化：把物理问题转化为数学问题；（2）模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；（4）问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象。
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三、重点难点
教学重点 :1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算
.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法 .
教学难点 :将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题
.
四、教学设想
（一）导入新课
思路 1.(章头图引入 )章头图中 ,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法
.①通过抽象、概括 ,把物理现象转化为与之相关的向量问
题 ;②认真分析物理现象 ,深刻把握物理量之间的相互关系 ; ③利用向量知识解决这个向量问题 ,并获得这个
向量的解 ;④利用这个结果 ,对原物理现象作出合理解释 ,即用向量知识圆满解决物理问题 .教学中要善于引
,速度的合成与分解的物理模型 ,掌握利用向量方法研究物理中相关问
2．过程与方法：
明了向量在物理中应用的基本题型 ,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识
.
3．情感态度与价值观：
通过对具体问题的探究解决 ,进一步培养学生的数学应用意识 ,提高应用数学的能力 .体会数学在现实生
活中的重要作用 .养成善于发现生活中的数学 ,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的 内在联系的良好习惯 .
度 ,∠ AOC=3°0 ,| OB |=5 km/h.
因为 OACB 为矩形 ,所以 |OA |=| AC | ·cot30 °=| OB | ·cot30 °=53≈8.66 km/h,
| OA | 5 3
|OC |=
=
=10 km/h.
cos30 3
2
答 :水流速度为 8.66 km/h, 船的实际速度为 10 km/h. 点评 : 转化为数学模型 ,画出向量图 ,在直角三角形中解出 .
2.5.2向量在物理中的应用举例导学案(含答案)
2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，会用向量知识解决一些物理问题.自学探究预习教材P111—P1121、向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 到同一作用点上.2、向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.3、向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos ,W F S F S =⋅，功是一个实数，它可正，也可负.⑵在解决问题时要注意数形结合.例 题例1、课本P112例4变式：在水流速度为h km /34的河水中，一艘船以h km /12的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际航行速度的大小与方向。
例2、某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
课堂检测1、某人骑自行车的确速度为1v ，风速为2v ，则逆风行驶的速度在大小为（ ）. A ．12v v - B ．12v v + C ．12||||v v + D ．12||||v v 2、初速度0v ,发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与0v 之间的关系式（t 是飞行时间）为（ ） A ．0||y v t = B ．201||sin ||2y v t g t θ=⋅-C ．0||sin y v t θ=⋅D ．0||cos y v t θ=⋅ 3、已知一物体在共点力1F =)2lg ,5(lg ),2lg ,2(lg 2=F 的作用下产生位移)1,5lg 2(=s 则共点力对物体做的功W 为（ ）A. lg2B. lg5C. 1D. 24、作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =________________5、力21F 、F 共同作用在某质点上，已知221F 1F N 12F N,5F 与且==互相垂直，则质点所受合力为_________。
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
人教A版高中数学必修四 2-5-2向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例-----学案一、学习目标1.通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型；2.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．二、自主学习1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是____________．(4)功即是力F与所产生位移s的__________．三、合作探究探究1.力向量问题例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．回顾归纳利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．探究2.速度向量问题例2在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．回顾归纳速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．探究3.恒力做功问题例3已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．回顾归纳 1.物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.四、学以致用训练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？训练2一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．训练3已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．五、自主小测1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为() A．|F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．6．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________________________________．7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．参考答案 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．]3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg 2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.]4．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．]5．向东南方向航行3 2 千米6．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10 J. 7．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则 |F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ.∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．。
高中数学必修4公开课教案252向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例整体设计教学分析用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的根本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比拟,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基此题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的根本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比方力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面假设干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用例如例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法那么,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图 1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完本钱例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法那么、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 2cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下根底.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体表达.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1.令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v .∵DA +AB =DB ,∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +AC =DC ,∴DC =v -2v 1, 这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,河水流速为2 km/h,那么经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,两个力的大小和方向,那么合力的大小为 N;假设在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,那么F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |= 30cos ||OA =2335=10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基此题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s.作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和答复相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.。
2.5.2向量在物理中的应用举例学案【人教版】高中数学必修
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算. 教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例 3. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1) 为何值时，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等于|G |吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？.,0|,23|,231),2(,|,|,)2,1(),1,0(),0,1(.30000212102121021的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例t Q P PQ Q P t Q P e e e e Q Q e e e e P P e e ⊥=++--++-== 课堂练习1，在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．2，如图,用两根分别长的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上,平衡后G 点距屋顶的距离恰好为,求A 处受力的大小.3，河水从东向西流，流速为2，一轮船以2垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速（精确到0 .1）4，某人在静水中游泳,速度为⑴如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进?速度大小为多少?⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?5，在很大的湖的岸边（可视湖岸为直线），停放着一艘例 10.在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 角，速度为2.5km/h,同时岸上有一人，从同一地点开始追赶赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h ，问此人能否追上小船；若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:1, 150N 2, 200N3 sm 22,与水流成45度角 4,8与水流成30度角；与水流成233arcsin π+h km 245, 15度 5210m m 和5m /m s /m s /m s 43km/h 4km/h 43km/h AG。
高中数学 第二章 2.5.2 向量在物理中的应用举例学案4
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用：(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量m v 是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．[基础自测]1．思考辨析(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)用力F 推动一物体水平运动s m ，则力F 对物体所做的功为|F ||s |.( ) [解析] (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(2)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合． (3)错误．力F 对物体所做的功为F ·s . [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________J.300 [W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J)．]3．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC 2→|＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.2 [∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴AB →·AC →＝0，AB →⊥AC →，∴△ABC 是直角三角形，BC 为斜边， ∴|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB |AB →|＋AC |AC →|·BC →＝0且AB |AB →|·CA |AC →|＝12，则△ABC的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．[思路探究] (1)先由平行四边形法则分析AB→|AB →|＋AC→|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB→|AB →|·CA →|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C [(1)由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB→|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12， 又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴AD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，x －－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.]母题探究：1.将本例1(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0， ∴CB →·(AB →＋AC →)＝0， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例1(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1”，求证：AF ⊥DE .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，则中点E (3,0)，F (6,3)， ∴AF →＝(6,3)，DE →＝(3，－6)， ∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE . [规律方法]向量法证明平面几何中AB ⊥CD 的方法：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝x 1，y 1，CD →＝x 2，y 2，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .用向量法证明平面几何中AB ∥CD 的方法：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →)；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝x 1，y 1，CD →＝x 2，y 2利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .,以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程.【导学号：84352265】[思路探究] 设Px ，y ，R x 0，y 0→依据RA →＝2AP →找x ，y 与x 0，y 0的关系→由点R 在直线l 得y 0＝2x 0－6→消x 0，y 0得x 与y的关系即为所求[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程． [规律方法] 用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.[跟踪训练]1．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 则DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1,1)，E (－3，－1)， DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，所以CN →·AB →＝0， 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， 所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．[1．向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．(1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如图251所示．图251①求F 3的大小． ②求F 2与F 3的夹角.【导学号：84352266】[思路探究] (1)求出合力、位移的坐标表示 →利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3 →用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1,4)，则F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40.] (2)①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 3. ②设F 2与F 3的夹角为θ， 因为F 3＝－(F 1＋F 2)，所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2， 所以3·2·cos θ＝－1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4， 所以cos θ＝－32， 所以θ＝56π.[规律方法] 向量在物理中的应用：求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题. [跟踪训练]2．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．[当 堂 达 标·固 双 基]1．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )【导学号：84352267】A ．梯形B ．邻边不相等的平行四边形C ．菱形D ．两组对边均不平行的四边形B [因为AD →＝(8,0)，BC →＝(8,0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．]3．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设终点为B (x ，y )，则(x －1，y －1)＝(8,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9,1)．]4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为________．3 [设所用时间长短为t ，则 AB →＝t v ，即(3,6)＝t (1,2)，所以t ＝3.]5．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .【导学号：84352268】[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)． 设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a ，所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .。
2.5.2 向量在物理中的应用举例
2．5.2 向量在物理中的应用举例知识点一向量的线性运算在物理中的应用(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．知识点二向量的数量积在物理中的应用物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．知识点三向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．概念理解：1．功是力F与位移S的数量积．( )2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( )3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( )类型一向量的线性运算在物理中的应用利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．1、在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．2、一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？3．河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h，求小船的实际航行速度．类型二向量的数量积在物理中的应用1、质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离．(g＝9.8N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？2、已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F 做的功为。
2019高中数学 第二章 2.5.2 向量在物理中的应用举例学案4
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用：(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量m v 是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．[基础自测]1．思考辨析(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)用力F 推动一物体水平运动s m ，则力F 对物体所做的功为|F ||s |.( ) [解析] (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(2)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合． (3)错误．力F 对物体所做的功为F ·s . [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________J.300 [W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J)．]3．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC 2→|＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.2 [∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴AB →·AC →＝0，AB →⊥AC →，∴△ABC 是直角三角形，BC 为斜边， ∴|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎭⎪⎪AB |AB →|＋AC |AC →|·BC →＝0且AB |AB →|·CA |AC →|＝12，则△ABC的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．[思路探究] (1)先由平行四边形法则分析AB→|AB →|＋AC→|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB→|AB →|·CA →|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C [(1)由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB→|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12， 又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴AD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，x －－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.]母题探究：1.将本例1(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0， ∴CB →·(AB →＋AC →)＝0， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例1(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1”，求证：AF ⊥DE .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，则中点E (3,0)，F (6,3)， ∴AF →＝(6,3)，DE →＝(3，－6)， ∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE . [规律方法]向量法证明平面几何中AB ⊥CD 的方法：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝x 1，y 1，CD →＝x 2，y 2，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .用向量法证明平面几何中AB ∥CD 的方法：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →)；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝x 1，y 1，CD →＝x 2，y 2利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .,以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程.【导学号：84352265】[思路探究] 设Px ，y ，R x 0，y 0→依据RA →＝2AP →找x ，y 与x 0，y 0的关系→由点R 在直线l 得y 0＝2x 0－6→消x 0，y 0得x 与y的关系即为所求[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程． [规律方法] 用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.[跟踪训练]1．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 则DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1,1)，E (－3，－1)， DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，所以CN →·AB →＝0， 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， 所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．[1．向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．(1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如图251所示．图251①求F 3的大小．②求F 2与F 3的夹角.【导学号：84352266】[思路探究] (1)求出合力、位移的坐标表示 →利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3 →用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1,4)，则F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40， 即三个力的合力所做的功为－40.] (2)①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 3. ②设F 2与F 3的夹角为θ， 因为F 3＝－(F 1＋F 2)，所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2， 所以3·2·cos θ＝－1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4， 所以cos θ＝－32， 所以θ＝56π.[规律方法] 向量在物理中的应用：求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题. [跟踪训练]2．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m ，水流速度的大小是每分钟20 m ，如果一小船从岸边O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解] 如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC .依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40， ∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．[当 堂 达 标·固 双 基]1．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]2．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )【导学号：84352267】A ．梯形B ．邻边不相等的平行四边形C ．菱形D ．两组对边均不平行的四边形B [因为AD →＝(8,0)，BC →＝(8,0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．]3．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设终点为B (x ，y )，则(x －1，y －1)＝(8,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9,1)．]4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为________．3 [设所用时间长短为t ，则 AB →＝t v ，即(3,6)＝t (1,2)，所以t ＝3.]5．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .【导学号：84352268】[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)． 设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a ，所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .。
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§2.5.2向量在物理中的应用举例
【预习目标】
1.知识与技能
能够把简单的物理问题转化为向量问题，用向量方法解决；会用向量结论解释简单的物理现象；注意体会如何将物理之间的关系抽象成数学模型以及如何利用数学模型来解释物理中的现象。
2.过程与方法
通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
3.情感、态度、价值观
通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.
【预习任务】
1.阅读教材p 111例3，思考下列问题:
①两个人共提一个旅行包或在单杠上做引体向上运动，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？
②若两只手臂的拉力分别为F 1→、F 2→，物体的重力为，那么三个力F 1→、F 2→、之间有
什么关系？
③假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F 1→|、|F 2→|、θ之间的关系如何？
④上述结论表明，若重力一定，则拉力的大小是夹角θ的函数，在物理背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？
⑤|F 1→|有最大值或最小值吗？|F 1→|与||能相等吗？为什么？
2.阅读教材p 112例4，思考下列问题:
①如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v →的大小是多少？
②如果船沿与上游河岸成600的方向行驶，那么船的实际速度v →的大小是多少？
③船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？
【典型例题】
例1.两个粒子a, b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为s a →=(4, 3),
s b →=(2, 10). ① 写出此时粒子b 相对粒子a 的位移s →； ② 计算s →在s a →方向上的投影。
例2.两个力F 1→=i →+j → , F 2→=4i →－5j → 作用于同一质点，使该质点从A （20，15）移动到
B （7，0），其中i →、j →分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量. 求：
① F 1→，F 2→分别对该质点做的功.
②F 1→，F 2→的合力对该质点做的功
【预习检测】
1. 已知作用在某质点上的力F 1→和F 2→，它们的合力为F →，若|F 1→|=6 N ，|F →|=10N ，且
F 1→⊥F 2→，则F 2→的大小为 。
2.一条向正东方向流淌的河，河水流速为3m ／s,若一条小船以3 3 m ／s 的速度向正北方向航行，则该船的实际速度是 ，航向与水流方向所成的角是 .
3 .如图，用两根绳子把质量为1kg 的物体M 吊在水平杆子AB 上，∠ACM=1500, ∠BCM=1200,求A 处所受力的大小.（绳子重量忽略不计，g=10N/km ）
4 点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v →=(4,-3). 设开始时点P 的坐标是
（-10，10），求5s 后点P 的坐标.
5 .某质量为G 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面的滑动摩擦系数u =
33，当绳子与地面所成角是多大时，拉力最小.
【预习反思】。