2021-2022学年重庆市南岸区九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版)

2021-2022学年重庆市南岸区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A 、B 、
C 、
D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案涂到答题卡上相应的位置。

1．（4分）sin30°的值是（ ）
A ．12
B ．√32
C ．1
D ．√3
2．（4分）将两个圆盘、一个茶叶桶、一个皮球和一蒙古包模型按如图所示的方式摆放在一
起，其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）关于x 的方程x 2+kx +1＝0有实数根，则k 的取值可以是（ ）
A ．k ＝﹣1
B ．k ＝0
C ．k ＝1
D ．k ＝﹣3
4．（4分）如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD ＝1：3，且△ABC
的周长为2，则△DEF 的周长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．18
5．（4分）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A ．①与④
B ．②与③
C ．①与⑤
D ．②与⑤
6．（4分）小明身高160cm ，他站立在阳光下的影子长为80cm ；他把手臂竖直举起，此时
影子长为100cm ，那么小明的手臂超出头顶的高度为（ ）
A ．20cm
B ．30cm
C ．40cm
D ．50cm
7．（4分）如图，矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝6，OA ＝4．则这
个矩形的面积为（ ）
A ．24
B ．48
C ．12√7
D ．24√7
8．（4分）一个矩形纸片的面积为30cm 2，将它的一边剪短1cm ，另一边剪短2cm ，恰好变
成一个正方形．若设正方形的边长为xcm ，根据题意可得方程（ ）
A ．（x +1）（x +2）＝30
B ．（x ﹣1）（x ﹣2）＝30
C ．（x +1）（x ﹣2）＝30
D ．（x ﹣1）（x +2）＝30
9．（4分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且DE ∥AC ，
AB BE =AC EC ，AB AC =53，则△ABC 与△DBE 的面积之比为（ ）
A ．53
B ．85
C ．259
D ．6425
10．（4分）如图，二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）图象的对称轴为直线x ＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为
（）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3D．y＝x2﹣4x+3 11．（4分）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB＝BC＝6m，AB 部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm，那么这一阶梯的台阶数最少为（）
（最后一个台阶的高度不足20cm，按一个台阶计算，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
A．36B．37C．47D．48
12．（4分）如果一个矩形的周长为12，面积为4，设它的长为x，宽为y，则x+y＝6，xy＝
4．满足要求的（x，y）是直角坐标系内双曲线y=4
x与直线y＝﹣x+6在第一象限内的交
点坐标，如图所示，如果把周长为12、面积为4的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），以下结论正确的是（）
A ．不存在这样的减半矩形
B ．存在无数个这样的减半矩形
C ．减半矩形的边长为3+√7和3−√7
D ．减半矩形的边长为1和2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置。

13．（4分）方程（x +2）（x ﹣3）＝0的根是 ．
14．（4分）如图，晚上小亮在路灯下散步，在由A 点处走到B 点处这一过程中，他在点A ，
B ，
C 三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在 点处（填A ，B ，C ）．
15．（4分）若∠A 是锐角，且cos A =35，则sin A ＝ ．
16．（4分）已知a b =c d =34（b +d ≠0），则a+c b+d 的值为 ．
17．（4分）如图，院子里有块直角三角形空地ABC ，∠C ＝90°．直角边AC ＝3m 、BC ＝
4m ，现准备修一个如图所示的矩形DEFG 的养鱼池，当矩形DEFG 面积最大时，EF 的长为 ．
18．（4分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与
坐标轴平行．反比例函数y=k
x（k≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A（
3
2
，4），且
经过小正方形的顶点B．求图中阴影部分的面积为．
三、解答题：（本大题共8个小题，第26题8分，其余每小题10分，共78分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将答案直接写在答题卡上。

19．（10分）解方程：
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）x2﹣2x＝3．
20．（10分）如图，是一个智慧教育产品的展销厅的俯视示意图，小李进入展厅后，开始自由参观，每走到一个十字道口，他可能直行，也可能向左转成向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求小李走进展厅的十字道口A后，向北走的概率；
（2）请用树状图或表格分析，小李到达第二个十字道口后向西方向参观的概率．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：
作∠ACB的角平分线，交AB于点D；作线段CD的垂直平分线，分别交AC于点E，交BC于点F；连接DE，DF；
（2）求证：四边形CEDF是菱形．
22．（10分）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地．
（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？
（2）如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；
（3）如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．
23．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A（﹣1，6）与B（4，1）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出该二次函数的图象；
（3）结合图象，写出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
24．（10分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？25．（10分）为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．
（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．
26．（8分）已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．
（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DF=√2BE；
（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．
2021-2022学年重庆市南岸区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A 、B 、
C 、
D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案涂到答题卡上相应的位置。

1．（4分）sin30°的值是（ ）
A ．12
B ．
√32 C ．1 D ．√3 【解答】解：sin30°=12．
故选：A ．
2．（4分）将两个圆盘、一个茶叶桶、一个皮球和一蒙古包模型按如图所示的方式摆放在一
起，其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：两个圆盘的主视图是长方形，茶叶桶的主视图是长方形，皮球的主视图是圆，蒙古包模型的主视图是三角形与长方形，再根据摆放位置可知选D ．
故选：D ．
3．（4分）关于x 的方程x 2+kx +1＝0有实数根，则k 的取值可以是（ ）
A ．k ＝﹣1
B ．k ＝0
C ．k ＝1
D ．k ＝﹣3
【解答】解：∵关于x 的方程x 2+kx +1＝0有实数根，
∴Δ＝k 2﹣4≥0，
∴k 2≥4，
∴k ≤﹣2或k ≥2，
故选：D ．
4．（4分）如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD ＝1：3，且△ABC
的周长为2，则△DEF 的周长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．18
【解答】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．
∴△ABC ∽△DEF ，AC ：DF ＝OA ：OD ＝1：3，
∴△ABC 的周长：△DEF 的周长＝1：3，
∴△DEF 的周长为3×2＝6．
故选：B ．
5．（4分）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A ．①与④
B ．②与③
C ．①与⑤
D ．②与⑤
【解答】解：∵图形①的三边为：2，4，2√5，图形②的三边为：2√2，2√2，4，图形③的三边为：√13，√13，4，图形①的三边为：2，3，5，图形①的三边为：3，3，3√2， ∴2√23=2√23=3√2
， ∴②与⑤相似，
故选：D ．
6．（4分）小明身高160cm ，他站立在阳光下的影子长为80cm ；他把手臂竖直举起，此时
影子长为100cm ，那么小明的手臂超出头顶的高度为（ ）
A ．20cm
B ．30cm
C ．40cm
D ．50cm 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xcm ，则
16080=x 100，
解得x ＝200，
200﹣160＝40（cm ），
故小兰的手臂超出头顶40cm ， 故选：C ．
7．（4分）如图，矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝6，OA ＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A ．24
B ．48
C ．12√7
D ．24√7
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ＝BD ， ∴AO ＝BO ＝DO ＝4， ∴BD ＝8， ∴AD =√BD
2
−AB
2
=√64−36=2√7，
∴矩形的面积＝AB ×AD ＝12√7， 故选：C ．
8．（4分）一个矩形纸片的面积为30cm 2，将它的一边剪短1cm ，另一边剪短2cm ，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm ，根据题意可得方程（ ） A ．（x +1）（x +2）＝30 B ．（x ﹣1）（x ﹣2）＝30 C ．（x +1）（x ﹣2）＝30
D ．（x ﹣1）（x +2）＝30
【解答】解：∴正方形的边长为xcm ，
∴矩形纸片的长为（x +2）cm ，宽为（x +1）cm ． 依题意得：（x +2）（x +1）＝30． 故选：A ．
9．（4分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且DE ∥AC ，AB BE
=
AC EC ，AB AC
=5
3
，
则△ABC 与△DBE 的面积之比为（ ）
A ．5
3
B ．8
5
C ．
259
D ．
6425
【解答】解：∵AB BE
=
AC EC
，
∴BE EC =
AB AC =5
3
，
∴
BE BC
=58
，
∵DE ∥AC ， ∴△BDE ∽△BAC ，
∴△ABC 与△DBE 的面积比＝（BC BE
）2=
64
25
． 故选：D ．
10．（4分）如图，二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）图象的对称轴为直线x ＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）
A ．y ＝x 2﹣2x
B ．y ＝x 2﹣4x
C ．y ＝x 2﹣4x ﹣3
D ．y ＝x 2﹣4x +3
【解答】解：由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）知，该抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（a ，0）． ∵对称轴为直线x ＝2， ∴
1+a 2
=2．
解得a ＝3；
∴该抛物线解析式是：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x²﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
故选：B．
11．（4分）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB＝BC＝6m，AB 部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm，那么这一阶梯的台阶数最少为（）
（最后一个台阶的高度不足20cm，按一个台阶计算，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
A．36B．37C．47D．48
【解答】解：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝6m，
∴BD＝AD=√2
2AB＝3√2（m），
在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，CB＝6m，
∴CE=1
2CB＝3（m），
∴BD+CE＝3√2+3≈7.23（m），
723÷20＝36.15，
则这一阶梯的台阶数最少为37，
故选：B．
12．（4分）如果一个矩形的周长为12，面积为4，设它的长为x，宽为y，则x+y＝6，xy＝
4．满足要求的（x，y）是直角坐标系内双曲线y=4
x与直线y＝﹣x+6在第一象限内的交
点坐标，如图所示，如果把周长为12、面积为4的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），以下结论正确的是（）
A．不存在这样的减半矩形
B．存在无数个这样的减半矩形
C．减半矩形的边长为3+√7和3−√7 D．减半矩形的边长为1和2
【解答】解：由题意可知x+y＝3，xy＝2，
∴y＝3﹣x．y=2 x，
由{y=3−x
y=2x整理得x
2﹣3x+2＝0，
∴Δ＝（﹣3）﹣4×1×2＝1＞0，
∴存在这样的减半矩形，故A不合题意；
∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x＝1或2，
∴y＝2或1，
∴减半矩形的边长为1和2
故B、C不合题意，D符合题意．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置。

13．（4分）方程（x+2）（x﹣3）＝0的根是x1＝﹣2，x2＝3．
【解答】解：方程（x+2）（x﹣3）＝0，
可得x +2＝0或x ﹣3＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2＝3． 故答案为：x 1＝﹣2，x 2＝3．
14．（4分）如图，晚上小亮在路灯下散步，在由A 点处走到B 点处这一过程中，他在点A ，B ，C 三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在 C 点处（填A ，B ，C ）．
【解答】解：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，在路灯下由近及远向路灯走远时，其影子应该逐渐变长，故他在点A ，B ，C 三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在C 点处． 故答案为：C ．
15．（4分）若∠A 是锐角，且cos A =3
5，则sin A ＝ 45
．
【解答】解：∵sin 2A +cos 2A ＝1，cos A =3
5， ∴sin 2A +9
25=1， ∴sin 2A =1625， ∴sin A =45， 故答案为：45．
16．（4分）已知a b
=
c d =34（b +d ≠0），则
a+c
b+d
的值为
34
．
【解答】解：因为a b
=
c d
=3
4
，
可得：a =3
4b ，c =3
4d ， 把a =3
4b ，c =3
4d 代入a+c b+d ，
可得：
a+c b+d =
34b+34
d b+d
=34
，
故答案为：34
．
17．（4分）如图，院子里有块直角三角形空地ABC ，∠C ＝90°．直角边AC ＝3m 、BC ＝4m ，现准备修一个如图所示的矩形DEFG 的养鱼池，当矩形DEFG 面积最大时，EF 的长为 2.5m ．
【解答】解：如图，过点C 作CM ⊥AB ，交DG ，AB 于N ，M ，
∵∠C ＝90°，AC ＝3m ，BC ＝4m ， ∴AB ＝5m ， ∴tan ∠A =
BC AB =4
5
， ∴CM ＝tan ∠A •AC =4
5×3＝2.4，
设DE ＝xm DG ＝EF ＝ym ，则MN ＝xm ，CN ＝（2.4﹣x ）m ， ∵DG ∥AB ∴
CN CM
=
DG AB
即：
2.4−x 2.4
=y 5
整理得：y =−
2512x +5 ∴S ＝xy ＝x （−25
12x +5）=−25
12（x −6
5）2+3（0＜x ＜2.4）， ∵﹣1＜0，
∴当x =6
5时，S 最大， 此时y =−2512×6
5+5＝2.5， ∴EF ＝2.5m ．
故答案为：2.5m ．
18．（4分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数y =k
x
（k ≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A （3
2
，4），且
经过小正方形的顶点B ．求图中阴影部分的面积为 40 ．
【解答】解：∵反比例函数y =k
x （k ≠0）的图象经过点A （3
2
，4），
∴k =3
2×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y =6x
，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B 点的坐标为（m ，m ）， ∵反比例函数y =6
x
的图象经过B 点， ∴m =6
m ， ∴m 2＝6，
∴小正方形的面积为4m 2＝24，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，且A （3
2，4），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（4，4）， ∴大正方形的面积为4×42＝64，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝64﹣24＝40． 故答案为：40．
三、解答题：（本大题共8个小题，第26题8分，其余每小题10分，共78分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将答案直接写在答题卡上。

19．（10分）解方程： （1）x 2﹣x ﹣1＝0； （2）x 2﹣2x ＝3．
【解答】解：（1）∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x =−b±√b 2
−4ac 2a =1±√52
，
∴x 1=
1+√52，x 2=1−√52
； （2）∵x 2﹣2x ＝3， ∴x 2﹣2x ﹣3＝0， ∴（x ﹣3）（x +1）＝0， 则x ﹣3＝0或x +1＝0， 解得x 1＝3，x 2＝﹣1．
20．（10分）如图，是一个智慧教育产品的展销厅的俯视示意图，小李进入展厅后，开始自由参观，每走到一个十字道口，他可能直行，也可能向左转成向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求小李走进展厅的十字道口A 后，向北走的概率；
（2）请用树状图或表格分析，小李到达第二个十字道口后向西方向参观的概率．
【解答】解：（1）小李走进展厅的十字道口A 后，向北走的概率为1
3；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小李到达第二个十字道口后向西方向参观的结果有3种，
∴小李到达第二个十字道口后向西方向参观的概率为3
9
=
1
3
．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：
作∠ACB的角平分线，交AB于点D；作线段CD的垂直平分线，分别交AC于点E，交BC于点F；连接DE，DF；
（2）求证：四边形CEDF是菱形．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：设CD交EF于点O．
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝ED，CF＝FD，
在△COE和△COF中，
{∠ECO =∠FCO
CO =CO ∠COE =∠COF
， ∴△COE ≌△COF （ASA ）， ∴CE ＝CF ，
∴AE ＝DE ＝DF ＝CF ， ∴四边形CFDE 是菱形．
22．（10分）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km /h 的平均速度行驶4h 到达目的地，并按照原路返回甲地．
（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v 与行驶的时间t 有怎样的函数关系？ （2）如果要在3h 返回甲地，求该司机返程的平均速度；
（3）如图，是返程行驶的路程s （km ）与时间t （h ）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km /h 的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．
【解答】解：（1）由题意可得：两地路程有：60×4＝240（km ）， 故汽车的速度v 与时间t 的函数关系为：v =240
t ； （2）由题意可得：3v ＝240， 解得：v ＝80．
答：返程时的平均速度为80km /h ．
（3）休息后所用时间为：（240﹣70）÷85＝2（h ）， ∴所用时间为1+30
60+2＝3.5（h ）， ∴司机返程所用的总时间为3.5h ．
23．（10分）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +1的图象经过点A （﹣1，6）与B （4，1）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出该二次函数的图象；
（3）结合图象，写出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）将（﹣1，6），（4，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{6=a −b +11=16a +4b +1
， 解得{a =1b =−4
， ∴y ＝x 2﹣4x +1．
（2）如图，
（3）∵y ＝x 2﹣4x +1＝（x +2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
24．（10分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，
这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．
（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意，得：y ＝100﹣2（x ﹣60）＝﹣2x +220，
∴y ＝﹣2x +220；
（2）设利润为W ，
则W ＝（x ﹣40）y ＝（x ﹣40）（﹣2x +220）＝﹣2x ²+300x ﹣8800，
令W ＝2400，
则﹣2x 2+300x ﹣8800＝2400，
解得：x ＝70或x ＝80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
（3）W ＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x ＝75时，W 有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．
25．（10分）为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度
为2m 的标杆．
（1）如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
（2）如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．
【解答】解：（1）由题意得：
∠ABC ＝∠DCE ＝∠FEG ＝90°，
在Rt △DCE 中，CE =CD tan30°=2√33=2√3m ， ∵∠DEC ＝∠AEB ，
∴△DEC ∽△AEB ，
∴DC
AB =EC
EB ，
∴2AB =2√3EB ，
∵∠FGE ＝∠AGB ，
∴△FGE ∽△AGB ，
∴
FE AB =EG GB ， ∴
2AB =44+EB ， ∴2√3EB =44+EB
， ∴EB ＝（8√3+12）m ，
∴2AB =√3
8√3+12，
∴AB ＝8+4√3≈14.92m ，
答：旗杆AB 的高度为14.92米；
（2）由（1）得：
△DEC ∽△AEB ，
∴
DC AB =EC EB ， ∴2
AB =x
EB ，
由（1）得：
△FGE ∽△AGB ，
∴
FE AB =EG GB ， ∴
2AB =y y+EB ， ∴x
EB =y y+EB
， ∴EB =xy y−x ， ∴2
AB =x
xy y−x ，
∴AB =2y y−x ，
答：旗杆AB 的高度为2y
y−x m ．
26．（8分）已知四边形ABCD 是正方形，点F 为射线AD 上一点，连接CF 并以CF 为对角
线作正方形CEFG ，连接BE ，DG ．
（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；
（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DF=√2BE；
（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG；
（2）证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T，
∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∴DT=√2DG，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DT=√2DG，
由（1）可知：BE＝DG，
∴CD﹣DF=√2BE；
（3）DC+DF=√2BE，理由如下：
如图2，过点G作GT⊥DG交DC的延长线于T，
∵∠CDF＝∠CGF＝90°，∴点D，点F，点G，点C四点共圆，∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠CDG＝∠T＝45°，
∴DG＝TG，
∴△DTG是等腰直角三角形，
∴DT=√2DG，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠CGT，
又∵DG＝GT，GF＝GC，
∴△DFG≌△TCG（SAS），
∴DF＝CT，
∴DC+DF＝DT=√2DG，
∴DC+DF=√2BE．。