永顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9[,6]5
B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 2． 已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x
∈（﹣
，
）时，f （x ）=e x
+sinx ，则（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
3． 如图，程序框图的运算结果为（ ）
A ．6
B ．24
C ．20
D ．120
4． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos
2）a n +sin
2
，则该数列的前10项和为（ ）
A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
5． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
6． 已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
7． 已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ） A ．2个 B ．3 个 C ．4 个 D ．8个
9． 已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2
，则||=（ ）
A ．1
B ．
C ．3
D ．2
10．有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
11．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
12．已知抛物线C ：y x 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题
13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
14．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
15．椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．
16．已知A （1，0），P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则
+
的最大值为 ．
17．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
18．抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：
交于A ，B 两点，C 1与C 2的
两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1的焦点，则= ．
三、解答题
19．永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x 元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y （元）与每盒蜜饯的销售价格x 的函数关系式； （2）当每盒蜜饯销售价格x 为多少时，该特产店一天内利润y （元）最大，并求出这个最大值．
20．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中． （1）求11AC 与1B C 所成角的大小；
（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11AC 与
EF 所成角的大小．
21．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）记b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和S n．
22．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．
23．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标 原点），求证：OR OS ⋅为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
24．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=
+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
永顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，(1,6)
B ，
9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用． 2． 【答案】D
【解析】解：由f （x ）=f （π﹣x ）知，
∴f （
）=f （π﹣
）=f （
），
∵当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x
+sinx 为增函数
∵＜
＜＜
，
∴f （
）＜f （
）＜f （
），
∴f（）＜f（）＜f（），
故选：D
3．【答案】B
【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是：
计算并输出循环变量n的累乘值，
∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1，
故输出S=1×2×3×4=24，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．
4．【答案】C
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．
5．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
6．【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 7． 【答案】C
【解析】解：∵点P 的直角坐标为，∴ρ=
=2．
再由1=ρcos θ，﹣
=ρsin θ，可得
，结合所给的选项，可取θ=﹣
，
即点P 的极坐标为 （2，），
故选 C ．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}， ∴集合S=A ∩B={1，3}，
则集合S 的子集有22
=4个，
故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
9． 【答案】D
【解析】解：由已知，|+2|2
=12，即
，所以||2
+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D ．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
10．【答案】B
【解析】解：①由于“若a 2+b 2
=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：（h （x ））′=x x
[x ′lnx+x （lnx ）′] =x x （lnx+1），
令h （x ）′＞0，解得：x ＞，令h （x ）′＜0，解得：0＜x ＜，
∴h （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h （）最小， 故选：B ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
12．【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82=的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
二、填空题
13．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()22
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 14．【答案】若1x <，则2421x x -+<- 【解析】
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题.
15．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a==8，可得a=4，
b2=a2﹣c2=12，可得b=2，
椭圆的短轴长为：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
16．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】﹣6．
【解析】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），
∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
18．【答案】．
【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据，得x C=，∴b=2a；
由AB 过C 2的焦点，得A （c ，），即A （c ，4a ），
∵A （c ，4a ）在C 1上，
∴16a 2
=2pc ，
又c=a ，
∴a=，
∴
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当0＜x ≤20时，y=[20+4（20﹣x ）]（x ﹣8）=﹣4x 2
+132x ﹣800，
当20＜x ＜40时，y=[20﹣（x ﹣20）]（x ﹣8）=﹣x 2
+48x ﹣320，
∴
（2）①当
，
∴当x=16.5时，y 取得最大值为289， ②当20＜x ＜40时，y=﹣（x ﹣24）2+256， ∴当x=24时，y 取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．
20．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A BC D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形，
所以11//AC AC ，从而1B C 与AC 所成的角就是11AC 与1B C 所成的角．
由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒，
即11AC 与
BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ， 由a n ＞0可得q ＞0，且a 3﹣a 2﹣2a 1=0， 化简得q 2
﹣q ﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍），
∵a 3=a 1•q 2
=4a 1=8，∴a 1=2，
∴数列{a n }是以首项和公比均为2的等比数列，
∴a n =2n
；
（Ⅱ）由（I ）知b n =log 2a n =
=n ，
∴a n b n=n•2n，
∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，
2S n=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
两式相减，得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n×2n+1，
∴﹣S n=﹣n×2n+1，
∴S n=2+（n﹣1）2n+1．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．【答案】
【解析】【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
【试题解析】（Ⅰ）函数定义域为
，
又，所求切线方程为，即
（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点，
等价于在上恰有两个不同的实根
等价于在上恰有两个不同的实根，
令则
当时，，在递减；
当时，，在递增．
故，又．
，，
即
23．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =
，c e a =
=
1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±.
直线MP 的方程为),(01
01
00x x x x y y y y ---=
-
令0=y 得101001y y y x y x x R --=,同理：1
01
001y y y x y x x S ++=，
∴2
1
2
02
1
202021y y y x y x x x S R --=
⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(42
1212
020y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==，
即OR OS ⋅为定值４. （13分）
24．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
121222222221
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.。