2020学年新教材高中数学第5章统计与概率5.3.3古典概型课时21古典概型练习(含解析)新人教B版必修第二册

课时21 古典概型
知识点一样本点个数的计算错误！未指定书签。

1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．
知识点二古典概型的判断错误！未指定书签。

3.下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案 D
解析A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.
4．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案③
解析①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；
②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
知识点三古典概型概率的计算错误！未指定书签。

5.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8
个，故所求事件的概率P＝
8 15
.
6．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝6
12＝
1
2
，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻
整数的概率为12
. (2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A ＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，
(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点，由古典概型的概率计算公式知P (A )＝616＝38
，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为38
. 7．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A ，B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E ，F 表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω＝{AD ，AE ，AF ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF }，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“性别相同”包含的样本点有AD ，BD ，CE ，CF ，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P ＝49
. (2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω＝{AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF }，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB ，AC ，BC ，DE ，DF ，EF ，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P ＝615＝25
. 易错点 对样本空间列举不全致误
错误！未指定书签。

8.任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，
共18个．因此点数之和为奇数的概率为1836＝12
. (2)点数之和为偶数的概率为1－12＝12.
一、选择题
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有样本点的个数只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率P (A )＝k n
. 其中所有正确说法的序号是( )
A ．①②④
B ．①③
C ．③④
D ．①③④
答案 D
解析 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( ) A.19 B.16 C.14 D.13
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，
(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为1236＝13
. 3．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率
是( )
A.13
B.16
C.18
D.14
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2
个，所以所求概率P ＝26＝13
. 4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b 1，b 2，b 3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；
(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；
(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；
(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；
(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；
(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．
其中田忌获胜的只有一种情形，即(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16
.故选D.
5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.38
B.58
C.316
D.516
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个
样本点发生的可能性是相等的，其中“|a －b |≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概
率为1016＝58
. 二、填空题
6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案 13
解析 设一、二等奖分别用A ，B 表示，另一张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB }，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB ，BA ，共2个，故所求的概
率P ＝26＝13
. 7．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案 23
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，
(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为46
＝23
. 8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．
答案 12
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三
位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为1224＝12
. 三、解答题
9．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A ：两个骰子点数相同，事件B ：点数之和小于7，事件C ：点数之和小于11，求P (A )，P (B )，P (AB )，P (A ＋B )，P (C )．
解 用数对(x ，y )表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A ＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，
(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P (A )＝636＝16
. B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，包含15个样本点，所以P (B )＝1536＝512. AB ＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，所以P (AB )＝336＝112
.
A ＋
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，包含18个样本点，所以P (A ＋B )＝1836＝12
. 因为事件C 的对立事件C －表示“点数之和等于或大于11”，所以C －＝{(5,6)，(6,5)，
(6,6)}，P (C －)＝336＝112
. 所以P (C )＝1－P (C －)＝1－112＝1112
. 10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个；
②若xy ≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．
因为S 中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n ＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy ≤3”为事件A ，
则事件A 包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516
. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .
则事件B 包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P (B )＝616＝38
. 事件C 包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P (C )＝516.因为38>516
， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。