河北省深州中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析

深州中学高二第二学期期末考试试题数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
求得集合{0,1}A =，根据A B ⊆，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合2
{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.已知复数3i
z i
=
+（i 为虚数单位），则z =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，复数i(3i)13||i
(3i)(3i)101010z -==+===+-.故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.将函数()sin f x x π=的图象向右平移
1
2
个单位长度后得到()g x 的图象，则（ ）
A. ()cos g x x π=-
B. ()cos g x x π=
C. 1()sin 2g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D. 1()sin 2g x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数平移，左加右减的原则，可直接得出结果. 【详解】因为将函数()sin f x x π=的图象向右平移1
2
个单位长度后得到()g x 的图象， 所以1()sin cos 22g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. 故选A
【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移问题，属于基础题型.
4.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点(,0)a 到渐近线b y x a =的距离为2
b ，则双曲
线C 的离心率是（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A 【解析】
2b d =
=
，所以12a c =，即2c
e a
==，故选A 。

5.已知函数33
,0()log ,0
x f x x
x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩，若()3f a =，则实数a =（ ） A. -1 B. 27
C.
1
27
或1 D. -1或27
【答案】D 【解析】 【分析】
分别讨论0a <和0a >两种情况，结合函数解析式，即可求出结果.
【详解】当0a <时，()3f a =，得3
3a
-
=，解得1a =-，符合题意； 当0a >时，由()3f a =，得3log 3a =，解得27a =，符合题意. 综上可得1a =-或27a =. 故选D.
【点睛】本题主要考查分段函数，由函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可，属于基础题型.
6.在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A. 24 B. 36
C. 48
D. 60
【答案】C 【解析】 【分析】
先设等差数列的公差为d ，根据题中条件求出924a =，进而可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，
因为3691215120a a a a a ++++=，由等差数列的性质得924a =，
所以12181133(11)(17)a a a d a d -=+-+()11921628248a d a d a =+=+==. 故选C
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型.
7.已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ）
A. [8,)-+∞
B. 998,
,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 998,
,22⎡
⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
D.
(8,)-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先由a b ，求出9
2x =，由a 与b 的夹角为锐角，得到92
x ≠，再根据向量数量积大于0，即可求出结果.
【详解】若a b ，则418x =，解得9
2
x =. 因为a 与b 的夹角为锐角，∴92
x ≠
. 又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-. 又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫
∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选B
【点睛】本题主要考查由向量夹角为锐角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
8.函数2()22cos f x x x -的单调递增区间为（ ） A. 2,2()63k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z
B. ,()36k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦Z
C. ,()63k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z
D. ,()33k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z
【答案】C 【解析】 【分析】
先将函数解析式化简整理，得到
()2sin 216f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，根据
222()2
62
k x k k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈Z ，即可求出结果.
【详解】因为2()22cos 2cos 21f x x x x x =-=--2sin 216x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，
所以222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈Z ，所以()6
3
k x k k π
π
ππ-
+≤≤
+∈Z .故选C.
【点睛】本题主要考查求三角函数的单调区间，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 12π
B. 14π
C. 18π
D. 24π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据给定的三视图，得到该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，利用体积公式，即可求解.
【详解】由三视图，可得该几何体是一个组合体，其中上面是一个半圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是3；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， 所以该几何体的体积是2
211
24231823
V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π. 故选C.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是
A. []26，
B. []48，
C.
D.
⎡⎣
【答案】A 【解析】
分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点
()()
A 2,0,
B 0,2∴--,则AB =点P 在圆2
2x 22y -+=（）上
∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =
=
故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为
则[]221
2,62
ABP
S
AB d =
=∈ 故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。

11.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m α⊥，m β⊥，则//αβ；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//m β，则αβ⊥；④若//m α，//n β，//αβ，则//m n .其中正确的命题是（ ） A. ②③ B. ①③
C. ②④
D. ①④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若//m α，//n β，//αβ，则//m n 或m 与n 为异面直线或m 与n 为相交直线，故④错；若//m β，则存在过直线m 的平面r ，平面r 交平面β于直线l ，//l m ，
又因为m α⊥，所以l α⊥，又因为l ⊂平面β，所以βα⊥，故③对. 故选B.
【点睛】本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.
12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则
(2018)(2019)f f +的值为（ ）
A. -3
B. 0
C. 3
D. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数()f x 的周期，即可求出结果. 【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-.
又(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期为4的周期函数，
所以(45042)(45043)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f f ⨯++⨯+=++=. 又(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)3f f f =-=-=-， 因此(2018)(2019)3f f +=-. 故选A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线2ln 2
x y x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．
【答案】3202
x y --= 【解析】
【分析】
先对函数求导，求出在点(1,(1))f 的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.
【详解】因为2ln 2
x y x =+，所以1y x x '
=+，
所以1112x y ==+='. 又因为1
(1)2
f =
， 所以切线方程为1
2(1)2y x -=-，即3202
x y --=. 故答案为3
202
x y --
= 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
14.若实数,x y 满足不等式组2200x y x y +≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则3z x y =+的最小值是__________．
【答案】1 【解析】 【分析】
根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解3y x z =-+在y 轴截距的最小值；根据图象可知当3y x z =-+过()0,1时，截距最小，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
将3z x y =+变为：3y x z =-+
则求z 的最小值即为求3y x z =-+在y 轴截距的最小值 由图象平移可知，当直线3y x z =-+过点(0,1)时，截距最小
则：min 3011z =⨯+= 本题正确结果：1
【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为在y 轴截距最小的问题，属于基础题.
15.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．” 【答案】8100 【解析】
因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为19214400，所以北面共有14400
108=8100192
⨯
人，故填8100.
16.已知数列{}
n a 的
前n 项和为n S ，首项11a =且1210n n a a +--=，若(1)2n
n S n λ-
≤+对
*n ∀∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．
【答案】[3,8]- 【解析】 【分析】
先由1210n n a a +--=得到数列{1}n a +是以112a +=为首项，公比为2的等比数列，求出
其通项公式，再得到122n n S n +=--，根据题意，再得到1
(1)22n n n λ+-≤+-对*
n ∀∈N 恒成立，分别讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，即可求出结果. 【详解】因为1210n n a a +--=，所以112(1)n n a a ++=+，
∴数列{1}n a +是以112a +=为首项，公比为2的等比数列，
∴12n
n a +=，21n n a =-.
因此()12122212
n n n
S n n +-=-=---.
所以(1)2n n S n λ-≤+对*n ∀∈N 恒成立，可化为1(1)22n n n λ+-≤+-对*n ∀∈N 恒成立.
当n 为奇数时，(
)
1
min
22n n λ+-≤+-，所以 3λ-≤，即3λ≥-；
当n 为偶数时，(
)
1
min
2
2n n λ+≤+-，解得8λ≤.
综上，实数λ的取值范围是[3,8]-. 故答案为[3,8]-
【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于常考题型.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且cos cos cos 23
b C
c B a B +=.
（1）求B ； （2
）若b =
，c =，a b >，求ABC ∆的面积.
【答案】(1) 6
B π
=；
(2) ABC S ∆=
. 【解析】
试题分析：（1）
把边角关系转化为角的关系为sin cos A A B =
，
从而有cos B =即6
B π
=
.（2）
利用余弦定理有271222
a =+-⨯⨯
，解得5a =，
.
解析：（1）
因为
cos cos cos 23
b C
c B a B +=，
所以sin cos 3A A B =，而s i n 0A ≠，
故cos 2
B =
，所以6B π=.
（2）由2222c o s b a c a c B =+-，得271222a =+-⨯，化简得2650a a -+=，
解得5a =，或1a =（舍去），所以1sin 2ABC S ac B ∆==
.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，
AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.
（1）证明：PB 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）7
. 【解析】 【分析】
（1）先连接BD 交AC 于O 点，再根据线面平行的判定定理，即可证明出结论成立； （2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面PAD ，得到CD PD ⊥，再由勾股定理得到AE CE ⊥，设点D 到平面AEC 的距离为h ，根据111
332
AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，即可求出结果.
【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，
90ABC ADC ∠=∠=，AC AC =，
所以Rt ABC Rt ADC ≅，AB AD =. 又AO 为BAD ∠的平分线， 所以AO BD ⊥，且O 为BD 中点.
又因为E 为PD 的中点，所以OE PB .
因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB 平面AEC .
（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，
所以2AD =，CD =由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥， 因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥. 在Rt PAD △中，2PA =，2AD =，
所以PD =AE ED ==
在Rt CDE △中可得EC =222AC AE EC =+， 所以AE CE ⊥.
所以12AEC S ∆=
=1
22
ACD S ∆=⨯⨯=. 设点D 到平面AEC 的距离为h ， 则
111
332
AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，
解得
7h =
=【点睛】本题主要考查线面平行的证明，以及点到面的距离，熟记线面平行，线面垂直的判定定理以及性质，即可求解，属于常考题型.
19.APEC 是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年
APEC 会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC
会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，
[40,45]）
.
（1）求选取的
市民年龄在[30,35)内的人数；
（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC 会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率. 【答案】（1）30人；（2）7
10
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图，先求出年龄在[30,35)内的频率，进而可求出人数；
（2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为123,,A A A ，第4组的2名志愿者分别为12,B B ，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】（1）由题意可知，年龄在[30,35)内的频率为
1(0.010.070.040.02)50.3P =-+++⨯=，
故年龄在[30,35)内的市民人数为1000.330⨯=.
（2）易知，第4组的人数为0.210020⨯=，故第3，4组共有50名市民， 所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组
305350⨯=；第4组20
5250
⨯=. 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名志愿者分别为123,,A A A ，第4组的2名志愿者分别为12,B B ，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，
()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.
其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被选中的有：()11,A B ，()12,A
B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为
7
10
. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求频数，以及古典概型的概率问题，会分析频率分布直方图，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点(1,0)K -，过点K 的直线l 与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的方程及12y y ⋅的值；
（2）若点A 关于x 轴的对称点为D ，证明：存在实数(0,1)t ∈，使得(1)KF tKB t KD =+-. 【答案】（1）2
4y x =，4；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据准线上点的坐标，得到12
p
-
=-，求出p ，即可得到抛物线方程；设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，即可求出12y y ⋅； （2）先由（1）得124y y m +=，由点A 关于x 轴
对称点为D ，得到()11,D x y -，根据题
意，证明直线BD 恒过定点(1,0)，再令((0,1))DF tDB t =∈，由KF KD DF =+，即可推出结论成立.
【详解】（1）解：因为抛物线的准线与x 轴交于点(1,0)K -，
所以12
p
-
=-， 解得2p =.
所以抛物线C 的方程为2
4y x =. 设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠，
联立214x my y x =-⎧⎨=⎩
整理得2440y my -+=，其中(
)
2
1610m ∆=->， 即21m >. 故124y y ⋅=.
（2）证明：由（1）知124y y m +=， 因为点A 关于x 轴的对称点为D ， 所以()11,D x y -，
则直线BD 的方程为()21
2221
y y y y x x x x +-=
--，
得()()()21
222111y y y y x x my my +-=
----，
得()()21
2221y y y y x x m y y +-=
--，
得()
()22214m
y y x x m y y -=
--，
即222
2144y y y x y y ⎛
⎫-=- ⎪-⎝⎭
. 令0y =，得2
2221404y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
，
得222
22122121224144444
y y y y y y y y y x y --+=-⋅====，
所以直线BD 恒过定点(1,0). 所以点(1,0)F 在线段BD 上， 所以不妨令((0,1))DF tDB t =∈. 因为KF KD DF =+， 所以KF KD tDB =+， 所以()KF KD t KB KD =+-， 所以(1)KF t KD tKB =-+.
所以存在实数(0,1)t ∈，使得(1)KF tKB t KD =+-，命题得证.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.
21.已知函数()ln x
f x ax x
=
-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当0x >时，213ln 4x x e x
>
-. 【答案】(1) 函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞ (2)见解析 【解析】
分析：（1）把0a =代入，取导函数()()
2
ln 1
'ln x f x x -=，因而判断导数的符号即可判断单调
区间。

（2）将函数变形，构造函数()2
ln m x x x =，求导函数()()'2ln 2ln 1m x x x x x x =+=+。

构造函数()23
4x x h x e =-，则()()2'x
x x h x e
-=-，根据导函数的单调性求其最值，即可证明不等式。

详解：函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞，
（1）函数()()
2
ln 1
'ln x f x x -=
，
当0x e <<且1x ≠时，()'0f x <；当x e >时，()'0f x >，
所以函数()f x 的单调递减区间是()0,1，()1,e ，单调递增区间是(),e +∞.
（2）问题等价于22
3
ln 4
x x x x e >-.
令()2
ln m x x x =，则()()'2ln 2ln 1m x x x x x x =+=+，
当1
2x e -=时，()2
ln m x x x =取最小值1
2e
-
. 设()23
4x x h x e =-，则()()2'x
x x h x e
-=-. ()h x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.
∴()()2max 43
24
h x h e ==
-， ∵221433142442e e e e ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭ ()()2223823216044e e e e e e
-+--==>， ∴()()min
max m x h x >，∴22
3
ln 4
x x x x e >-，
故当0x >时，231
ln 04x
x x e +
->. 点睛：本题考查了导数单调性、导数不等式证明等综合应用，在高考中导数是重点、难点，综合性强，对分析解决问题能力要求很高，属于难题。

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212x t y =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原
点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆1C 的极坐标方程
为2sin ρθ=.
（1）求直线l 的普通方程与圆1C 的直角坐标方程；
（2）设动点A 在圆1C 上，动线段OA 的中点P 的轨迹为2C ，2C 与直线l 交点为,M N ，且直角坐标系中，M 点的横坐标大于N 点的横坐标，求点,M N 的直角坐标. 【答案】(1) 1C 的直角坐标方程是222x y y +=.直线l
1
02
y -+
=.
(2) 1111,,4242⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）消去参数t 后可得l 的普通方程，把2sin ρθ=化成22sin ρρθ=，利用互化公式可得
1C 的直角方程.
（2）设点(,)P x y ，则()2,2A x y ，利用A 在椭圆上可得2C 的直角方程，联立直线的普通方程和2C 的直角坐标方程可得,M N 的直角坐标. 【详解】解：（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=， 将互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代上式，得222x y y +=， 故圆1C 的直角坐标方程是222x y y +=.
由21
2x t
y =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
，得12y =+
102y -+=. 所以直线l
1
02
y -+=. （2）设点(,)P x y .
由中点坐标公式得曲线2C 的直角坐标方程为2
2
1124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭.
联立2
21021124y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得14142x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，或1412x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩. 故点,M N
的直角坐标是1111,,4242⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是
222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=
⎪⎩
．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R . （1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；
（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]- 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式可得min ()|3|f x a =+=2，即可得出a 的值.
（2）不等式()|5|f x x ≤+在[]0,1上恒成立等价于||2x a -≤在[]0,1上恒成立，故
||2x a -≤的解集是[]0,1的子集，据此可求a 的取值范围.
【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-. （2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.
由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+.
据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则20
21a a -≤⎧⎨+≥⎩
，解得12a -≤≤.
所以实数a 的取值范围是[1,2]-.
【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。