江西省于都县三中2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

江西省于都县三中2025届高三适应性调研考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2
(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．0或2
B ．2
C ．0
D ．1或2
2．设函数()21010
0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1
234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）
A ．(]0101，
B ．(]099，
C ．(]0100，
D ．()0+∞，
3．函数()2x
x e f x x
=的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知双曲线22
2
14x y b -=（0b >30x y ±=，则b =（ ）
A ．23
B 3
C ．
32
D ．35．已知双曲线C ：2
214
x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，
且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1
B ．2-
C ．1-
D ．2
6．若集合{}
A=|2x x x R ≤∈，，{
}
2
B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤
B ．{}2|x x ≤
C ．{}2|0x x -≤≤
D ．∅
7．设全集U =R ，集合{}
2A x x =<，{
}
2
30B x x x =-<，则(
)U
A B =（ ）
A ．()0,3
B ．[)2,3
C ．()0,2
D ．()0,∞+
8．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n β
C ．若m α⊥且m β，则αβ⊥
D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n
9．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <
D ．b a >
11．已知抛物线()2
20y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）
A ．22
B 2
C 2
D ．22-
12．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A 337
--B 337
-+ C ．4- D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，23AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，设AD mAC =，则实数m 的取值范围是__________. 14．设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____． 15．若幂函数()
a f x x 的图象经过点
)
1
22
，，则其单调递减区间为_______．
16．已知抛物线2
1:4
C y x =
的焦点为F ，其准线与坐标轴交于点E ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，若32EF EA EB =+，则直线l 的斜率k =________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数f (x )=e x -x 2 -kx （其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k 的取值范围；
18．（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为3
. （1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19．（12分）对于正整数n ，如果(
)*
k k N
∈个整数1
2
k
a a a ⋯，，
，满足1
21k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，
且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，
，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，
，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，
，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.
(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，
，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
20．（12分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()3
1,g x x ax =
- ()1x h x e =-．
（1）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围； （2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数； （3）求证：
1010953000
10002699
e <<（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 21．（12分） [选修4
5：不等式选讲]
已知a b c d ,,,都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222
111115
a b c d a b c d
+++
++++． 22．（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如表： AQI []0,50
(]50,100
(]100,150
(]150,200
(]200,250
(]250,300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数
6
14
18
27
25
10
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为091002201002501480250300x y x x ≤≤⎧⎪
=≤⎨⎪≤⎩
，
，＜，＜，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
111111
63612126
，，，，，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. （i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；
（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件. 考点：纯虚数 2、B 【解析】
画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，
31
110
x ≤<，计算得到答案. 【详解】
()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
，，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且
31
110
x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎭
-
⎝+-=-. 故选：B .
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 3、A 【解析】
根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】
解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ， 当0x >时，2()x
x x e f x xe x
==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 4、A 【解析】
根据双曲线方程22
214x y b
-=（0b >）
0y ±=得到b a =. 【详解】
因为双曲线22
214x y b
-=（0b >）
，
所以2a =0y ±=，
所以
2
b b
a ==
所以b =故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5、D 【解析】
由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B =.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，
联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝-2
254
m
m -②，y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】
双曲线C ：2
214
x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 2（5，0）
，设直线l 的方程x ＝my+5，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±
2y ，∴m≠±2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B =，∴y 1＝﹣3y 2① 由225{
440
x my x y =+--=，得(
)
2
2
42510m y my -++=
∴△＝（25m ）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，
∴y 1+y 2＝2254
m
m -
-②，y 1y 2＝
214m -③， 联立①②得22
25204
m y m -=-
>-，联立①③得2
221304y m -=<-， 2254m y m ∴=-，2
221123y m =-即：2
22151234m m m ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭
，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ． 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题． 6、C 【解析】
试题分析：化简集合
故选C ．
考点：集合的运算． 7、B 【解析】
可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】
{}
()2300,3B x x x =-<=，{}2A x x =<，则
[)2,U
A =+∞，因此，()[)2,3U A
B =.
【点睛】
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 8、C 【解析】
因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂
β也成立，故不正确；答案C 中的直线m
可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ． 9、B 【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得
，所以
.
故选B 【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 10、C 【解析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C. 【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 11、A 【解析】
先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率
解：抛物线()2
20y px p =>经过点(M
(2
22p =⨯，2p =，
()
1,0F ，MF k =，
故选：A 【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 12、D 【解析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与
函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，
()cos 11x +≤，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数
()y f x =有且只有一个零点.
综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
设3AB t =，2AC t =，BAD CAD α∠=∠=，由BAD CAD BAC S S S +=△△△，用面积公式表示面积可得到6
cos 5
m α=，利用0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，即得解. 【详解】
设3AB t =，2AC t =，BAD CAD α∠=∠=， 由BAD CAD BAC S S S +=△△△得：
111
32sin 22sin 32sin 2222
t mt t mt t t ααα⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 化简得6
cos 5
m α=，
由于0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 故60,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
故答案为：60,5⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题. 14、
2
e 【解析】
计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2t
e t =，导数S ′()2
12t e t t
-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值. 【详解】
∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2
t e ），
又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2
t e ，
设R （r ，0），则k 2
20
t t e te t r
-==-，∴r ＝t 1t -，
即R （t 1
t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t
=，
又S （1，f （1））即S （1，e t
），∴△PRS 的面积为S 2t
e t
=，
导数S ′()2
12t e t t
-=
，由S ′＝0得t ＝1，
当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2
e ． 故答案为：
2
e ．
【点睛】
本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15、(0,)+∞ 【解析】
利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】 解：幂函数()
a f x x 的图象经过点1(2,)2
，
则1(2)2
a
=
， 解得2a =-；
所以2
()f x x -=，其中()
(),00,x ∈-∞+∞；
所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 16、24
±
【解析】
求出抛物线焦点坐标，由32EF EA EB =+，结合向量的坐标运算得2A B x x =-，直线l 方程为1y kx =+，代入抛物线方程后应用韦达定理得A B x x +，A B x x ，从而可求得,A B x x ，得斜率k ． 【详解】
由32EF EA EB =+得2FA BF =，即2A B x x =-
联立241
x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=4,4A B A B x x k x x ∴+=⋅=-
解得A B x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
44A B x x k +==±
．
故答案为：4
±． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(22ln 2,)k ∈-+∞；（2）见解析 【解析】
（1）求出()2x
f x e x k '=--，记()2x
g x e x =-，问题转化为方程()g x k =有两个不同解，求导，研究极值即可得
结果 ；
（2）由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，则可求出极大值()()1112
11x f x x e x =-+，
记2
()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，求导，求单调性，求出极值即可. 【详解】
（1）()2x
f x e x k '=--，由()02x
f x e x k '=⇒-=，
记()2x g x e x =-，()2x
g x e '=-，
由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，
ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，
由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞；
（2）解法一：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，
所以()f x 的极大值为()()
()111111122
1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 记2
()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则(
)
()22t
t
h t te t t e '=-+=-，
因为(,ln2)t ∈-∞，所以20t e ->，
所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，0ln 2t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增， 所以()(0)1f t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1.
解法二：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，
所以()f x 的极大值为()()
()111111122
1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 因为110x ->，111x
e x ≥+，所以()()()1111111
f x x x x 2≥-++=.
即函数()f x 的极大值不小于1. 【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.
18、（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析. 【解析】
（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得列联表； （2）根据列联表计算2K ，比较后可得；
（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法． 【详解】 解：（1）
（2）由于()2
2606182214 3.348 2.70640203228
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.
（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况. 【点睛】
本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质．考查学生的数据处理能力．属于中档题． 19、 (Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2
n k =
，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明
见解析，2n =，4n = 【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2
n k =
，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.
(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2
n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为1
2
n k -=；
综上所述：n 为偶数，k 最大为2
n k =，n 为奇数时，k 最大为1
2n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.
当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；
当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故
n n f g <.
综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20、（1）(],1-∞；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0），求得导数，讨论a ＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a 的范围；（2）求得F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的导数和二阶导数，判断F'（x ）的单调性，讨论a≤﹣1，a ＞﹣1，F （x ）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，令1
10
x =；由（2）知，当a=﹣1时，3113x
e x x >++对x ＜0恒成立，令1
-10
x =，结合条件，即可得证． 【详解】
（Ⅰ）解：令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0）， 则
，
①若a≤1，则
，H'（x ）≥0，H （x ）在[0，+∞）递增，
H （x ）≥H （0）=0，即f （x ）≤h （x ）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1； ②若a ＞1，H′（x ）=e x ﹣
在[0，+∞）递增，H'（x ）≥H'（0）=1﹣a ，且1﹣a ＜0，
且x→+∞时，H'（x ）→+∞，则∃x 0∈（0，+∞），
使H'（x 0）=0进而H （x ）在[0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增， 所以当x ∈（0，x 0）时H （x ）＜H （0）=0，
即当x ∈（0，x 0）时，f （x ）＞h （x ），不满足题意，舍去； 综合①，②知a 的取值范围为（﹣∞，1]． （Ⅱ）解：依题意得
，则F'（x ）=e x ﹣x 2+a ，
则F''（x ）=e x ﹣2x ＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x ）=e x ﹣x 2+a 在（﹣∞，0）递增， 所以F'（x ）＜F'（0）=1+a ，且x→﹣∞时，F'（x ）→﹣∞； ①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x ）＜F'（0）=1+a≤0，
故F （x ）在（﹣∞，0）递减，所以F （x ）＞F （0）=0，F （x ）在（﹣∞，0）无零点； ②若1+a ＞0，即a ＞﹣1，则使，
进而F （x ）在递减，在
递增，，
且x→﹣∞时，，
F （x ）在
上有一个零点，在
无零点，
故F （x ）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a ＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x ＜0恒成立，
令，则，所以；
故有．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 21、见解析 【解析】
试题分析：把不等式的左边写成()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
形式，利用柯西不
等式即证．
试题解析：证明：∵()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
2
1?1?1?1?1111a b c d a b c d a b c d ≥++++++++
()2
1a b c d =+++=，
又()()()()11115a b c d +++++++=，
∴22221
11115
a b c d a b c d +++≥++++ 考点：柯西不等式 22、（1）
23
114
；（2）（i ）详见解析；（ii ）会超过；详见解析 【解析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i ）写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii ）由（i ）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9
月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果. 【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P （ξ＝2）21614320738C C C ==，P （ξ＝3）363
201
57
C C ==， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率 为
7123
3857114
+=； （2）（i ）()()201
001001005P X P x ==≤≤=
=， ()()707
22010025010010P X P x ==<≤==，
()()101
148025030010010
P X P x ==<≤==，
X 的分布列如下：
（ii ）由（i ）可得： E （X ）＝015
⨯+220710⨯
+14801
10
⨯=302（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E （X ）， 即30E （X ）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，
可得：()1110632P Y ==
+=， ()1111220612123P Y ==++=，()1
14806P Y ==，
E （Y ）＝016⨯+22013⨯+14801
6
⨯=320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元）， 由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成 经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 【点睛】
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。