2007年全国重点中学高考数学模拟创新试题选编--联考

3(广州市2007届高三四校（广附 七中 十六中 育才）第二次联考)
(9)已知三边长分别为4、5、6的ABC ∆的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离都相等，则三棱锥ABC P -的体积是（ ） A 、8 B 、10 C 、20 D 、30
（10）已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，x t x f ≤+)(恒成立，则实数m 的最大值是（ ）。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 （13）如图所示的流程图是将一系列指令 和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉 你下一步到哪一个框图．阅读 右边的流程图，并回答下面问题： 若01,,,m
m
m m a m b m c m
<<===，
则输出的数是 ．
（14）以知圆的直径C cm AB ,13=是圆周上一点（不同于B A ,点），
==⊥BD cm CD D AB CD 则，于,6 .
（15）点N M ,分别是曲线2sin =θρ和θρcos 2=上的动点，则MN 的最小值是 。

（19）(本题满分14分)已知函数()2
f
x x m x n =
++的图像过点()13，，且
()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对
称。

()()()1113f x f x f -+=--=，
（Ⅰ）求()f x 与()x g 的解析式； （Ⅱ）若()()x g x F =—()f x λ在[-1，1]上是增函数，求实数λ
的取值范围；
5(2006-07年度省通州高级中学九校联考适应性训练)
7．有A 、B 、C 、D 、E 、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。

若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 （）
(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 42
10. 若x ∈R ，n ∈N *
，定义：M n x =x (x +1)(x +2)…(x +n -1),例如M 3
-5=(-5)·
(-4)(-3)= -60,则函数f (x )= 7
32005
cos
2006
x M x - （ ） A.是偶函数不是奇函数 B.是奇函数不是偶函数
C .既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
16．给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是_____. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)
21． 设数列{}n a 是首项为6，公差为1的等差数列；n S 为数列{}n b 的前n 项和，且
22n S n n =+
（1）求{}n a 及{}n b 的通项公式n a 和n b ；
（2）若,(),n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数
，问是否存在*
k N ∈使(27)4()f k f k +=成立？若存
在，求出k 的值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数n ，
不等式
120111(1)(1)(1)n
a b b b -≤+++…恒成立，
求正数a 的取值范围。

11(2007年4月上海市部分重点中学高三年级联合考试)
20．（本题满分14分）
某水库年初的存水量为a （a ≥10000），其中污染物的含量为P 0，该年每月降入水库的
水 量与月份x 的关系是|7|20)(--=x x f （1≤x ≤12，x ∈N ），且每月流入水库的污水量r ， 其中污染物的含量为P （P ＜r ），又每月库水的蒸发量也为r （假设水与污染物能充分混合， 且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）. （1）求第x 个月水库含污比g(x )的表达式（含污比库容总量
污染物含量
=
）；
（2）当P 0=0时，求水质最差的月份及此月份的含污比.
21．（本题满分16分）
已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. （1）求双曲线C 的方程；
（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2
的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.
（3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及
AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围. 22．（本题满分18分） 已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足：
)()()(y x f y f x f +=⋅
（1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ；
（2）设当0<x 时，都有)0()(f x f >，证明)(x f 在()+∞∞-,上是减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合{}
)lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞
→ 中的最大元素和最
小元素。

3(广州市2007届高三四校（广附 七中 十六中 育才）第二次联考)
9B 10D
（13）b （14）cm cm 94或 （15）1
(19) 解：⑴由题意知：a 1b 0==，，()2
22'f x x x
∴=+
设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P （x,y ）, 则00x x y y =-=-，， ……………………4分 因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上，
()2222,,27'y x x y x x g x x x ∴-=-∴=-+∴=-+⋯⋯
⑵()()
()()222
22121x x x x x x x λλλ=-+-+=-++-F
()(]
11-F x 在，上是增函且连续，()()()21210λλ=-++-≥'F x x 恒成立……9分
即(]12
11λ-≤=--++在，上恒成立111x x x
，………………..10分 由
(]-+2
1-111x
在，上为减函数，………………..12分 当=x 1时取最小值0，………………..13分
故(]
λλ≤-∞0014'所求的取值范围是，,
另解：()[]1,1F x -在上是增函数，()()()[]'22221,1F x x λλ∴=--+--在上非负
()()(
)()()22220221220λλλλ--+-≥⎧⎪∴⎨---+-≥⎪⎩，解得0λ≤
5(2006-07年度省通州高级中学九校联考适应性训练)
7分两类：①甲运B 箱，有221224142
1C C C C ∙∙∙种；②甲不运B 箱，有2
2
2324C C C ∙∙。

∴不同的分配方案共有22122414
2
1C C C C ∙∙∙+2
22324C C C ∙∙=42（种），选（D ）。

10 B
16 ①②④_
21． （1）1(1)615n a a n d n n =+-=+-=+
1分
又当1n =时，113b S ==
当2n ≥时,2212(1)2(1)21n n n b S S n n n n n -=-=+----=+ 上式对1n =也成立， ∴*21()n b n n N =+∈， 总之，5,21n n a n b n =+=+
4分
（2）由已知5,()21,n n f n n n +⎧=⎨
+⎩为奇数,
为偶数,
∴当k 为奇数时，27k +为偶数,
由(27)4()f k f k +=，得2(27)14(5)k k ++=+, ∴35
235,2
k k ==
（舍去） 6分 当k 为偶数时，27k +为奇数，
由(27)4()f k f k +=，得(27)54(21)k k ++=+，
即728,k =，∴4k =适合题意。

总之，存在整数4k =，使结论成立
8分
（3）将不等式变形并把5n a n =+代入得：
1231111
)(1)(1)(1)n a b b b b ≤
++++…
设12111())(1)(1)n g n b b b =
+++…
∴121111(1))(1)(1)n g n b b b ++=
+++…
∴
1(1)124)()
23n g n n g n b n +++=+=
+ (25)(23)
242
n n
n +++
<
=+
∴
(1)
1()
g n g n +>，即(1)()g n g n +>
∴()g n 随n 的增大而增大，min 1()(1))3g n g ==
+=
∴015
a <≤
14分
11(2007年4月上海市部分重点中学高三年级联合考试)
20．解：（1）第x 月水库含污染物P 0+P x ，库容总量=)()2()1(x f f f a ++++ ……2分 当,13)(,)(61x x f N x x +=∈≤≤时
此时库容量=a +14+15+…+（13+x ）=2
2272)1314(2a
x x x x a ++=⋅+++ ……4分
当,27)(,)(127x x f N x x -=∈≤≤时
此时，库容总量= a +99+20+19+…+（27－x ）=2
84
2532-++-a x x ……6分
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤-++-+∈≤≤+++=),127(84
25322),61(22722)(2020N x x a x x P P N x x a
x x P P x g x
x
…………8分
（2）∵P 0=0，a ≥10000，当1≤x ≤6时，27
22)(++=
x
a x P
x g
易证)2,0(272a x
a
x 在++
上是减函数，且恒大于零， ∴]6,1[)(在区间x g 上是增函数 ∴当x =6时，a
P
x g 219812)(max +=……10分
当7≤x ≤12时，53
8422)(+-+-=
x
a x P
x g
易证5384
2+-+
-x
a x 在（0，+∞）上是减函数，且恒大于零. ∴]12,7[)(在区间x g 上是增函数………12分
当x =12时，a
P
x g +=
20412)(max
∵a ≥10000，a
P
a P 21981220412+>+
∴水质量最差的是12月份，其含污比为
a
P
+20412 …………14分
21．解：（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0
∵该直线与圆 1)2(22=-+y x 相切，
∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±= …………2分
故设双曲线C 的方程为122
22=-a
y a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(
∴1,222
2
==a a ，∴双曲线C 的方程为12
2
=-y x ………4分 （2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1|
若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1|
根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ① …………8分 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,）
则⎩⎨⎧=+=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=y
y x x y y x x T T
T T 22
2,222即 代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )2
2
(1
2
2≠
=+x y x ……10分 （3）由022)1(1
1
2
22
2=---⎩⎨
⎧=-+=mx x m y x mx y 得 令22)1()(22---=mx x m x f
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根.
因此21012
01202
2
<<⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
>--<->∆m m m m
解得 又AB 中点为)11
,1(2
2m m m --
∴直线L 的方程为)2(2
21
2
+++-=x m m y …………14分 令x =0，得817
)41(22
2
22
22+
--=
++-=
m m m b
∵)2,1(∈m ∴)1,22(8
17
)4
1(22
+-∈+
--m ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞ …………16分 22．解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(=∴≠=⋅f f f f f
0)]2
([)2()2()(,0)2(2
>=⋅=∴≠x f x f x f x f x
f …………4分 （2）∵当0<x 时，都有)0()(f x f >1=…………6分
∴当21x x <，即021<-x x 时，有)0()(21f x x f >-1=，…………8分 即)()
(1
)(,1)()(22121x f x f x f x f x f =->
∴>-⋅ ()1)0()()(22==-⋅f x f x f
∴)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。

…………10分
（3）∵)(x f 在()+∞∞-,上是减函数，{n S }是递增数列∴数列{})(n S f 是递减数
列。

…………14分 ∴集合
{}
)lim (,),(,),(),(2
1
n
n n
S f S f S f S f ∞
→ 中的最大元素为
2
2
)1()2
1
()(1=
=
=f f S f ，最小元素为。