爱交朋友的分式方程应用题

爱交朋友的分式方程应用题
分式方程应用题是初中数学学习中的一个重点和难点，在中考中屡见不鲜．你是否知道，分式方程应用题其实很爱交朋友，让我们一块见识它的真面目吧！
一、与一元一次方程应用题交朋友
例1（2013年娄底市）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一辆车，租用哪辆车合算？
分析：（1）两车运送垃圾，可看成两车完成一项工程．应利用“甲车12趟运送的垃圾量＋乙车12趟运送的垃圾量＝1”这个相等关系列方程求；（2）租车费用＝运送次数×每趟运费，要确定租用哪辆车合算，应利用“甲车12趟运送的费用＋乙车12趟运送的费用＝4800元”这个相等关系列方程先求两车每趟的运费各是多少元．
解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟．依题意，得
1212
+=．
1
x x
2
解之并检验，x＝18．这时，2x＝36．
答：甲车单独运完此堆垃圾需运18趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运36趟．
（2）设甲车每趟的运费为a元，则乙车每趟的运费为（a－200）元．依题意，得()
+-=．
12122004800
a a
解之，a＝300．这时，a－200＝100．
因为18×300＝5400，36×100＝3600，
所以单独租用乙车费用更少．
答：若单独租用一辆车，租用乙车合算．
二、与一元一次不等式应用题交朋友
例2（2013年眉山市）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？
（2）若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
分析：（1）应利用“乙工厂加工生产240顶帐篷的时间－甲工厂加工生产240顶帐篷的时间＝4天”这个相等关系列方程求；（2）应利用“完成生产任务时，甲的生产成本＋乙的生产成本≤60万元”这个不等关系列不等式求．
解：（1）设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬．依题意，得
240240
-=．
4
x x
1.5
解之并检验，x＝20．这时，1.5x＝30．
答：甲工厂每天可加工生产30顶帐蓬，乙工厂每天可加工生产20顶帐蓬．
（2）设应安排甲工厂加工生产a 天，则甲工厂可加工生产30a 顶帐篷，乙工厂可加工生产（550－30a ）顶帐篷．依题意，得
550303 2.46020
a a -+⋅≤． 解之，a ≥10．
答：至少应安排甲工厂加工生产10天．
三、与二元一次方程应用题交朋友
例3（2013年贺州市）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
分析：（1）应利用“1500元购进的篮球个数＝900元购进的足球个数”这个相等关系列方程求；（2）要确定有几种购买方案，只需确定符合要求的购买情况有几种可能．应利用“购买篮球的费用＋购买足球的费用＝1000元”这个相等关系列方程求购买篮球的个数和购买足球的个数．
解：（1）设篮球单价为x 元，则足球单价为（x －40）元．依题意，得
150090040
x x =-． 解之并检验，x ＝100．这时，x －40＝60．
答：篮球单价为100元，足球单价为60元．
（2）设恰好用完1000元，可购买篮球a 个和购买足球b 个．依题意，得
100601000a b +=．
解之，a ＝3105b -．
因为a 、b 都是正整数，
所以b ＝5时，a ＝7；b ＝10时，a ＝4；b ＝15时，a ＝1．
答：符合要求的购买方案有三种，它们分别是：①购买篮球7个，购买足球5个；②购买篮球4个，购买足球10个；③购买篮球1个，购买足球15个．
四、与一元一次不等式组应用题交朋友
例4（2013年昆明市）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生．在购买时发现，每本笔记本可以打九折．用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
分析：（1）应根据“用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量－打折前购买的数量＝10本”这个相等关系列方程求；（2）应根据“购买90件奖品的总金额不低于360元，且不超过365元”这两个不等关系列不等式组先确定能够购买笔记本件数的取值范围．
解：（1）设打折前每本笔记本的售价是x 元，则打折后售价为0.9x 元．依题意，得 360360100.9x x
-=． 解之并检验，x ＝4．
答：打折前每本笔记本的售价是4元．
（2）设可以购买笔记本a 本，那么可以购买笔袋（90－a ）件．依题意，得 ()()()(
)()()40.960.990360,40.960.990365.a a a a ⨯⋅+⨯⋅-⎧⎪⎨⨯⋅+⨯⋅-⎪⎩≥≤ 解之，2679
≤a ≤70． 因为a 为正整数，
所以a ＝68、69、70．这时，90－a 相应地＝22、21、20．
答：符合要求的购买方案有三种，它们分别是，方案1：购买笔记本68本，笔袋22个；方案2：购买笔记本69本，笔袋21个；方案3：购买笔记本70本，笔袋20个．。