理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法

专题十三 推理与证明
第三十九讲 数学归纳法
解答题
1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*
N ．
证明：当n ∈*
N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1
122
n n n n x x x x ++-≤
； （Ⅲ）1211
22
n n n x --≤≤．
2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ，e 为自然对数的
底数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n +与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11
b a ，1212b b
a a ，123123
b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令112()n
n n c a a a =L ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <． 3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0)x f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．
（Ⅰ）求()()
122222
f f πππ+的值；
（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()(
)
1444n n nf f -πππ+=成立．
4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p
+>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p
c a 11>，p
n n n a p
c a p p a -++-=
111， 证明：p n n c
a a 1
1>>+．
5．（2014
重庆）设1
11,(*)n a a b n N +==+∈
（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*
n N ∈成立？证明
你的结论．
6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)r
f x rx x r =-+-(0)x >，其中为有理数，且01r <<.
求()f x 的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，
则12121122b b a a a b a b ≤+；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．
证明你所推广的命题． 注：当为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.
7．（2011湖南）已知函数3()f x x =，()g x x =+
（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{n a }（*
n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数
M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．。