高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质练习 新人教A版选修11

2.2.2双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．以椭圆x 216＋y 2
9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )
A ．x 216－y 248
＝1 B ．y 29－x 2
27
＝1
C ．x 2
16－y 2
48＝1或y 29－x 2
27＝1 D ．以上都不对
[答案] C
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 2
16
－
y 2
48
＝1；当顶
点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2
27
＝1.
2．双曲线x 2
－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A ．12 B ．
22
C ．1
D ． 2
[答案] B
[解析] 双曲线x 2
－y 2
＝1的一个顶点为A (1,0)，一条渐近线为y ＝x ，则A (1,0)到y ＝x 距离为d ＝
12＝22
. 3．椭圆x 2
34＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 2
16
＝1有共同的焦点，则实数n 的值是( )
A ．±5
B ．±3
C ．25
D ．9
[答案] B
[解析] 依题意，34－n 2
＝n 2
＋16，解得n ＝±3，故答案为B ．
4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2
5＝1的( )
A ．实半轴长相等
B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
[答案] D
[解析] ∵0<k <5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c 2
＝a 2
＋b 2
得其焦距相等，选D ． 5.(2015·全国卷Ⅰ理)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2
－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两
个焦点．若MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值范围是( )
A ．(－
33，33
) B ．(－
36，3
6
) C ．(－223，22
3)
D ．(－233，23
3
)
[答案] A
[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→
<0，
∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0，
即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13
，
∴－
33<y 0<33
. 6．双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m >12
B ．m ≥1
C ．m >1
D ．m >2
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ． 二、填空题
7．双曲线x 216－y 2
9＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，
则P 点到左焦点的距离为__________ ________.
[答案] 13
[解析] 由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝1
2
(a ＋c ＋c －
a )＝c ＝5，由双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.
8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16＝1有相同的渐近线，且
C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________ ________，b ＝__________ ________.
[答案] 1 2
[解析] 利用共渐近线方程求解．
与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 2
16＝λ，即x 24λ－y 2
16λ
＝1.
由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝1
4
，
则a 2
＝1，b 2
＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.
9．(2015·天津市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2
9
＝1有相同的
焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________ ________.
[答案]
x 24
－y 2
3
＝1
[解析] 椭圆中，a 2
＝16，b 2
＝9，∴c 2
＝a 2
－b 2
＝7， ∴离心率e 1＝
7
4
，焦点(±7，0)， ∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝
7
2
，焦点坐标为(±7，0)， ∴c ＝7，a ＝2，从而b 2
＝c 2
－a 2
＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 2
3＝1.
三、解答题
10．(1)求与椭圆x 29＋y 2
4＝1有公共焦点，且离心率e ＝5
2的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为5
4
的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2
λ－4＝1(4<λ<9)，则
a 2＝9－λ，
b 2＝λ－4，
∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝5，
∵e ＝52，∴e 2
＝c 2
a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为x 2
4
－y 2
＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2
a 2－
y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)． 由题设知2b ＝12，c a ＝54
且c 2＝a 2＋b 2
，
∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.
∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36
＝1.
一、选择题
1．已知方程ax 2
－ay 2
＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D
[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a
＝1，由a 、b 异号知b
a <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，
故答案为D ．
2．(2015·济南质检)已知双曲线x 29－y 2m
＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2
－4x －5＝0上，则双
曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±3
4x
B ．y ＝±4
3x
C ．y ＝±22
3x
D ．y ＝±32
4
x
[答案] B
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m >0，∵a 2
＝9，b 2
＝m ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝9＋m ，∴c ＝9＋m ，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m 是方程x 2
－4x －5＝0的根，∴9＋m ＝5，∴m ＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3
x ，故选B ．
3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长是焦距的1
2
，则该双曲线的渐近线方程是( )
A ．y ＝±
32
x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x D ．y ＝±22x
[答案] C
[解析] 由题意可知2a ＝1
2×2c ＝c ，
则4a 2
＝c 2
＝a 2
＋b 2
，
解得b 2a 2＝3，所以b
a
＝3，
所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±3x .
4．(2015·安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2
－y 2
4＝1 B ．x 2
4－y 2
＝1
C ．y 2
4－x 2
＝1
D ．y 2
－x 2
4
＝1
[答案] C
[解析] 由双曲线的焦点在y 轴上，排除A 、B ； 对于D ，渐近线方程为y ＝±1
2
x ，
而对于C ，渐近线方程为y ＝±2x .故选C ． 二、填空题
5．(2015·三峡名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x
－2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的离心率e ＝__________ ________.
[答案]
32
[解析] 由条件知b a ＝1
2
，即a ＝2b ，
∴c 2
＝a 2
－b 2
＝3b 2
，c ＝3b ， ∴e ＝c a ＝
3b 2b ＝32
. 6．已知双曲线的中心是坐标原点，实轴在y 轴上，离心率为2，且双曲线两支上的点的最近距离为4，则双曲线的标准方程为__________ ________.
[答案]
y 2
4
－
x 2
12
＝1 [解析] ∵双曲线的实轴在y 轴上，∴焦点在y 轴上，
∵双曲线两支上的点的最近距离为4，即两顶点之间的距离为4，∴a ＝2.又∵离心率为2，∴c ＝4，
∴b 2
＝c 2
－a 2
＝12，∴双曲线的标准方程为y 24－x 2
12＝1.
三、解答题
7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9
b
2＝1.
①
又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2
＋25＝0. 所以c 2
＝25. ② 又c 2
＝a 2
＋b 2
，
③
所以由①②③可解得a 2
＝16或a 2
＝50(舍去)． 所以b 2
＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 2
9
＝1.
8.设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直
线l 的距离为
3
4
c ，求双曲线的离心率． [分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出c a
.
[解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得
l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.
由原点到l 的距离为
34c ，得ab a 2＋b
2＝34c . 将b ＝c 2
－a 2
代入，平方后整理，得
16⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c 22
－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2
c 2＝x ，
则16x 2
－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.
由e ＝c
a
有e ＝
1
x .故e ＝23
3
或e ＝2. 因0<a <b ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2
a ＝
1＋b 2
a
2>2， 所以应舍去e ＝23
3，故所求离心率e ＝2.。