福建省南安一中2012-2013学年高一数学下学期期末试卷新人教A版

南安一中2012～2013学年度下学期期末考
高一数学科试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设集合{}
2|N x x x =≤，则N =( )
A ．{}0,1
B ．[]0,1
C ．()0,1
D ．[)0,1
2. 在等差数列{}n a 中，若45715,15a a a +==，则2a 的值为 （ ）
A ．3-
B ．0
C ．1D.2
3.为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30o
，测得塔基B 的俯角为45o
，那么塔AB 的高度是( ) A
．20(1m +
B
．20(1m C
．20(1m +D ．30m 4. 函数f x ax ax ()=+-2
1在R 上满足f x ()<0，则a 的取值X 围是 （） A ．(],0-∞B ．(),4-∞-C ．()4,0-D ．(]4,0- 5. 给出下列结论，其中判断正确的是 ( )
A ．数列{}n a 前n 项和2
21n S n n =-+，则{}n a 是等差数列
B ．数列{}n a 前n 项和1n S =，则1n a =
C ．数列{}n a 前n 项和21n
n S =-，则{}n a 不是等比数列 D ．数列{}n a 前n 项和2
78n S n n =-，则1001385a =
6. 目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）
A ．3,12min max ==z z
B ．,12max =z z 无最小值
C ．z z ,3min =无最大值
D ．z 既无最大值，也无最小值
7. 已知数列{}n a 满足3311log log ()n n a a n N *
++=∈，且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．5-
B ．15-
C ．5D.
15
8. 在0,0a b >>的条件下，三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2
22
2b a b a +≤+
③b a b
a a
b +≥+22，其中正确的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9. ABC △中，a =，b =sin 2
B =
，则符合条件的三角形有 （ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D.0个 10.数列{}
n a 的通项公式是n a =n 项和为3，则项数n 的值为 ( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
11. 设m R ∈，若0x >时,均有[]2(1)1(1)0m x x mx ----≥恒成立，则m =（ ）
A ．
1625 B.45 C.94 D.32
12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且()f x 在[]3,2--上是减函数，,αβ
是锐角三角形的两个内角，则(sin )f α与(cos )f β的大小关系是( ) A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ<
C ．(sin )(cos )f f αβ=
D ．(sin )f α与(cos )f β的大小关系不确定 二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13. 已知01,11x y <<-<<，则x y -的取值X 围是.
14. 已知数列{}n a 满足112,1
n n n
a a a n +==
⋅+，n N *∈，则10a 的值为. 15. 在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，
其位置在Q 点，且90o
POQ ∠=，再过一分钟，该物体位于R 点，且30o
QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为________．
16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题中所有正确命题．．．．
的 编号是.
①若2
ab c >，则3
C π
<
；②若()2a b c ab +<，则2
C π
>
；
③若2a b c +>，则3
C π
<；④若22222
()2a b c a b +<，则3
C π
>
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足256,n a n n n N *=--∈. （1）数列中有哪些项是负数？
（2）当n 为何值时，n a 取得最小值？并求出此最小值．
18．（本小题满分12分）已知ABC △中，2
cos 22A b c
c
+=
，请判断ABC △的形状.
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，999S =. （1）求n a 及n S ； （2）若数列{}n b 满足2
41
n n b a =
-，n N *
∈，证明数列{}n b 的前n 项和n T 满足1n T <.
20．（本小题满分12分）如图,A B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45o
，B 点北偏西60o
的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南
偏西60o
且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里
/小时，求该救援船到达D 点需要多长时间？
21．（本小题满分12分）某商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．．
. （1）根据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件．，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新
和营销策略改革，并提高定价到．．．．．x 元. 公司拟投入2
1
(600)6x -万元．．
作为技改费用，
投入50万元．．
作为固定宣传费用，投入1
5x 万元．．
作为浮动宣传费用. 试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件．．时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项1133
,,521
n n n a a a n N a *+=
=∈+． （1）求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列； （2）记12
111
n n
S a a a =
+++
，若101n S <，求最大正整数n 的值； （3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1m s n a a a ---成
等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.
南安一中2012～2013学年度下学期期末考
高一数学科试卷参考答案
一、选择题：（5×12=60）
二、填空题：（4×4=16） 13．()1,2-； 14．
1
5
； 15； 16．①③.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足256,n a n n n N *=--∈. （1）数列中有哪些项是负数？
（2）当n 为何值时，n a 取得最小值？并求出此最小值． 解：（1）由2560n n --<，解得16n -<<,…………2分
又n N *
∈，∴1,2,3,4,5n =.…………5分 ∴数列中的12345,,,,a a a a a 是负数. …………6分 （2）∵22549
56(),24
n a n n n n N *=--=--
∈,…………8分 ∴当23n n ==或时，…………10分
此时n a 取得最小值2312a a ==-…………12分
18．（本小题满分12分）已知ABC △中，2
cos 22A b c
c
+=
，请判断ABC △的形状. 解： ∵2
cos
22A b c c +=，∴cos 122A b c
c
++=
，…………4分 有222cos 2b c a b
A bc c
+-=
=，…………8分 即2
2
2
a b c +=，∴ABC △是直角三角形. …………12分
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，999S =. （1）求n a 及n S ； （2）若数列{}n b 满足2
41
n n b a =
-，n N *
∈，证明数列{}n b 的前n 项和n T 满足1n T <. 解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .
∵25a =，999S =，∴119(28)
5,
992
a d a d ++==…………2分
解得 2,31==d a ………………4分
∴12+=n a n ,n n S n 22
+=,n N +∈. ………………6分
（2）设241
n n b a =
-,n N *
∈； ∵12+=n a n ， ∴ )1(412+=-n n a n ∴4111
4(1)(1)1
n b n n n n n n =
==-+++………………9分
123n n T b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+= 111
11(1)()()223
1n n -+-+
+-+=1
111
n -<+……12分
20．（本小题满分12分）如图,A B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45o
，B 点北偏西60o
的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南
偏西60o
且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里
/小时，求该救援船到达D 点需要多长时间？
解：由题意知5(33)AB =+，906030o o o DBA ∠=-=，904545o o o DAB ∠=-=，
∴180(4530)105o o o o
ADB ∠=-+=，…………2分 在DAB ∆中，由正弦定理得，
sin sin DB AB
DAB ADB
=
∠∠ ∴sin 5(33)sin 45sin sin105
o
o
AB DAB DB ADB ∠+==∠…………4分 ＝5(33)sin 45sin 45cos 60cos 45sin 60o
o o o o
++25(33)22123
2222
+⋅
=⋅+⋅ 10(33)
10313
+=
=+．…………6分
又30(9060)60,203o o o o
DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=+-==， (8)
分
在DBC ∆中，由余弦定理得，
2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠
221
(103)(203)21032039002
=+-⋅⋅⋅=…………10分
∴30CD =，又航行速度为30海里/小时， ∴该救援船到达D 点需要1小时. …………12分
21．（本小题满分12分）某商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．．
. （1）根据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件．，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新
和营销策略改革，并提高定价到．．．．．x 元.公司拟投入2
1(600)6
x -万．元．
作为技改费用，投入50万元．．
作为固定宣传费用，投入1
5x 万元．．
作为浮动宣传费用. 试问：当该商品明年
的销售量a 至少应达到多少万件．．时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
解：（1）假设每件定价为x 元，依题意，有[]8(25)0.2258x x --⨯≥⨯，…………2分
整理得2
6510000x x -+≤，解得2540x ≤≤.…………5分
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高位40元. …………6分 （2）依题意，25x >时，不等式211
25850(600)65
ax x x ≥⨯++-+有解，………8分
即25x >时，15011
65
a x x ≥
++有解，
∵
1501106x x +≥=，…………10分 当且仅当30x =时，等号成立.∴10.2a ≥
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.…………12分
22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项1133
,,521
n n n a a a n N a *+=
=∈+． （1）求证：数列11n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
为等比数列；
（2）记12
111
n n
S a a a =
+++
，若101n S <，求最大正整数n 的值； （3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列，且1,1,1m s n a a a ---成
等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由. 解：（1）因为
112133n n a a +=+，所以1111
1(1)3n n
a a +-=-…………2分 又因为
1110a -≠，所以110()n
n N a *-≠∈，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
为等比数列. ………4分
（2）由（1）可得
11211()33n n a --=，所以11
2()13
n n a =+，
1
212
11
1111111332()21133
3313
n n n n
n S n n n a a a +-=
+++
=+++=+=+--，………6分
若101n S <，则1
11013n
n +-
<，所求最大正整数n 的值为100.…………8分 （3）假设存在满足题意的正整数,,m s n ，
则2m n s +=，2
(1)(1)(1)m n s a a a --=-，………9分
因为332n n n a =+，所以2333(1)(1)(1)323232
m n s
m
n s --=-+++，…………11分 化简得，3323m
n
s
+=，因为332
323m n m n s ++≥=，…………13分
当且仅当m n =时等号成立，又,,m s n 互不相等， 所以满足题意的正整数,,m s n 不存在. …………14分。