信号与系统——傅里叶变换和系统的频域分析

[
f1(t)
c12
f
2(t )] 2
dt
令 2 0，则误差能量
c12
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最2 小
15 15
1
c12
t
2
t1
[t2
t1
f1 (t )
c12
f2 (t )]2
dt
0
1
t2 t1
t2 t1 c12
f12 (t )dt 2
t2 t
f1(t )
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7 7
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三
角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级
数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言
：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都
可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的
直流系数
1 a0 T
t0 T f (t )dt
t0
余弦分量系数
2
an T
t0 T t0
f (t)cos(n1t)dt
正弦分量系数
2
bn T
t0 T t0
f (t)sin(n1t)dt
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狄利赫利条件：
在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即
为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已
成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
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8 8
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的 加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频 率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导 出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
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2 2
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了 “热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了 傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决 为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的 优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表
示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦
的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续
从数202学1/4/上22 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
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6
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表示 一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这 种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
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一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差，如 下式：
V1 c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12 V2
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V1 Ve
V2
c12 V2
未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发 表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方 式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即比
他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已
成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思 想和数学成就。
f 2* (t )dt
t2 t1
f1* (t )
f 2 (t )dt
0
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24 24
§四 用完备正交集表示信号
2
t2
1 t1
f t2
t1
2 (t)dt
n
cr
2
K
r
r 1
lim 2 0
n
f (t ) cr gr (t ) r 1
t2 t1
f
f2 (t )dt
2c12
t2 t1
f
2 2
(
t
)dt
0
解得
c12
t2 t1
f1(t
)
f2
(t
)dt
t2 t1
f
2 2
(t
)dt
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16 16
正交条件
若 c12=0 ， 则 f1(t)不包含f2(t)的分量， 则称正交。
正交的条件：
t2 t1
f1(t )
21 21
在（t1,t2）区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
f (t ) c1 g1(t ) c2 g2 (t ) cn gn (t )
n
cr gr (t ) r 1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci
t2
t1
f (t )gi (t )dt
t2 t1
. 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 1t }
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28 28
一、三角函数的傅里叶级数:
f (t) a0 (an cos n1t bn sinn1t) n1
直流 分量
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n =1
基波分量
1
2
T
n>1
谐波分量
n1
29 29
这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证
明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的
求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展
，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广
了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及
纯粹数学的其他领域。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认
2 (t )dt
n
cr 2Kr
r 1
t2 t1
g
2 r
(t
)dt
Kr
帕斯瓦尔(Parseval)方程
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25 25
另一种定义：在正交集 gi (t )之 外再
没有一有限能量的x(t)满足以下条件
t2 t1
x(
t
)
gi
(t )dt
0
三角函数集 cos n1t n
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4 4
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期
信号都可用正弦函数级 数表示”
1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
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5 5
傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )
自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究 ，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣
布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-L.
拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文
中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观 点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从
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9 9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
z e sT e( j)T
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10 10
§4.1 信号分解为正交函数
s
in
n1t
n
e 复指数函数集
jn1t
n
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26 26
其它正交函数系
沃尔什函数集 勒让德多项式 切比雪夫多项式
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27 27
§4.2 周期信号的频谱分析
周期信号可展开成正交函数线性组合的 无穷级数：
. 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t}
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20 20
三、 正交函数集
n个函数 g1(t), g2 (t),gn构(t成) 一函数集，
如在区间 (t1, t2 )内满足正交特性，即
t2
t1
gi
(t
)g
j
(t)dt
0
(i j)
t2 t1
g
2 i
(t
)dt
Ki
则此函数集称为正交函数集
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0
1
2
[0 sin tdt ( sin t)dt]
f(t)
4
所以：
c12
1
0
2
t
4
f (t) sin t
1
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19
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19
例：试用正弦sint 在（0，2π）区间内来表示余 弦cost.
2
显然
cost sin tdt 0
0
所以 c12 0
说明cost 中不包含 sint 分量， 因此cost 和 sint 正交。
法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。
t0T f (t) dt t0
一般周期信号都满足这些条件.
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31 31
三角函数是正交函数
t0 T
t0
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3 3
主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
f2 (t )dt
0
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17 17
例：
f
(t)
1 1
(0 t ) ( t 2 )
试用sint 在区间（0，2 π）来近似 f(t)。
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f(t)
c12
1
2
0
t
1 18 18
2
解：
f (t) sin tdt
c12 0 2 sin 2tdt
1 t2 t1
t2 t1
f
2 (t )dt
n r 1
cr
2
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23 23
复变函数的正交特性
f1(t) c12 f2(t)
c12
t2 t1
f1
(t
)
f
* 2
(t
)dt
t2 t1
f2
(t
)
f
* 2
(t
)dt
两复变函数正交的条件是
t2 t1
f1 (t )
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13 13
V Vx Vy V Vx Vy Vz
Vy
V
Vz
V
Vx
二维正交集
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二、 正交函数
f1(t ) c12 f2 (t) (t1 t t2 )
2 1
(t2 t1)
t2 t1
第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
2021/2402/12/24/22
1 1
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
g
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2
t1
f (t )gi (t )dt
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22
在最佳逼近时的误差能量
2
1 t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr
2
K
r
r 1
归一化正交函数集：
t2 t1
gi2
(t
)dt
1
ci
t2 t1
f
(t
)gi
(t
)dt
2
V1 Ve
V2
c12 V2
12 12
c12V2
V1 cos
V1V2 cos
V2
V1.V2 V2
c12
V1.V2 V22
c12 表示 V1 和 V2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0, c12 1
随夹角增大，c12减小；
当 90o , c12 0， V1 和 V2相互垂直