同济第五版配套矩阵教案

定义 1 ：
m ⨯ n 个数 a (i = 1,2, , m ; j = 1,2, , n) 排成 m 行 n 列
⎢a
a ⎥⎥ = ⎢ 21 ⎣a
n1 a n2
a ⎦
第二章 矩阵及其运算
课 题
§2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
教学内容
矩阵的概念；
矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成；
教学目标
教学重点
教学难点
掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
矩阵乘法
教 学 手
段、措施 讲授课（结合多媒体教学）
§2.1 矩阵
（对教学内容及欲 达目的、讲授方法
矩阵是线性代数的主要内容之一，是处理许多实际问题的重要
加以说明） 数学工具。

也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。

一 授课内容：
组织教学
矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、 三角阵、对角阵、单位阵的概念）
矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。

二 授课过程与说明
1．矩阵的概念
引入：某工厂要购进 4 种原料 F1, F2, F3, F4 若知道
A1,A2,A3 生产这 4 种原料，到哪买这 4 种原料呢，对价格进 行比较
F1 F2 F3 F4
A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3 行 4 列表 A3 4 7 5 4
在实际问题中经常遇到由 m ⨯ n 个元素构成的数表
ij
矩阵与行列式的区
矩形数表
别？
⎡ a a
a ⎤
11 12
1n a
22 2n
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ nn 矩阵是数表，行列
式是数值或代数 和；矩阵的行与列
称为一个 m ⨯ n 矩阵。

不等，但行列式的
( )
m ⨯n 或 a
⎣b n ⎦
⎢a a ⎥⎥ ⎣ ⎦ ⎣b 41 b 42 ⎦
其中 b 为第 中产品的单价， b 为第 j 种产品单价重量。

⎩0， 从i 市到j 市没有单向航线
一般用大写黑体字母表示：记为 A 、B 、C 。

为了表示行和列， 行与列相等。

也可简记为 A ij
m ⨯n 矩阵中数 a (i = 1,2, ; j = 1,2, )
ij
称为矩阵的第 i 行第 j 列元素。

注意：
m=n 时是方阵，此时矩阵称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。

⎡b ⎤ ⎢b 1 ⎥
n=1 称为列矩阵或列向量 B = ⎢ 2 ⎥ 。

⎢ ⎥ ⎢ ⎥
m=1 称为行矩阵或行向量
A = [a , a , a ]。

1
2
n
定义 2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对
应位置上的元素均相等。

则称两个矩阵相等。

记为 A=B 。

把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。

例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
⎡a 11 A = ⎢ 21 ⎢a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a
23 a 33
a ⎤ 14
24
a 34 ⎥
其中 a 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量。

ij
这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵
⎡b b ⎤ ⎢b 11 b 12 ⎥ B = ⎢ 21 22 ⎥
⎢b b ⎥ ⎢ 31 32 ⎥
i
i1 i 2
例2 四个航线中的单向航线
①
④
② ③
⎧1, 从i 市到j 市有一条单向航线
a =⎨
ij
⎣1 0 1 0⎦
⎢ a + b
a +
b ⎥⎥ = ⎢ 21 ⎣a m 1 + b
m 1 a m 2 + b m 2
a +
b ⎦
⎢ k a 11 ka ⎥⎥ k 与矩阵 A 的乘积。

即 kA= k a = ⎢ ⎢
⎥ ⎣ka
m 1 ka
ka ⎦
A
则图可用矩阵表示为
⎡0 1 1 1⎤ A = (a ) = ⎢1 0 0 0
⎥⎥
ij ⎢0 1 0 0⎥
⎢ ⎥
§2.2 矩阵的运算
一、
矩阵的加法：
定义 1：A+ B=（ a ）
ij
m ⨯n
+（ b ）
ij
m ⨯n
= （ a + b ） ij ij
m ⨯n
⎡ a + b
a +
b a + b ⎤ 11 11 12 12
1n 1n a + b
21 22 22 2n
2n
⎢
⎥
⎢ ⎥ mn
mn
可行的条件：是同
两个同行（m 行）、同列（n 列）的矩阵相加等于对应位置上的元 型矩阵，方法是对
素相加（行与列不变）
应位置上的元素相 由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算 加。

其和与原矩阵 律
同型
1、 交换律 A+ B = B+ A
2、 结合律（A+ B ）+C= A+ (B+C)
3、 有零元 A+0=A
4、 有负元 A+(-A)=0
A -
B = A + (- B )
二、
数与矩阵的乘法
定义 2、给定矩阵 A=（ a ）
ij
m ⨯n
及数 k,则称（k a ） ij
m ⨯n 为数
⎡ ka
ka ka ⎤
12
1n ka
21
22 2n
ij ⎢ ⎥
m 2
mn
由定义可知 – =(-1) ⨯ A A –B = A+(-B)
用数乘以 矩阵中 数乘矩阵满足以下的运算律 的每一个元素 1、结合律：(kl)A =k(l A )=l(k A) 2、交换律：kA =Ak
数乘矩阵与数乘行 3、分配律：k （A+ B ）=kA+k B 列式的区别所在！！
例1、 设
A = ⎢1 5 7 9⎥⎥
B = ⎢5 1 9 7⎥⎥ ⎣ ⎣ ij
= ∑ a b
(i=1,2````m;j=1,2```n)
例 3，设 A=  2 2 4⎪⎭ ⎝ ⎭
例 4 设 A= ⎛3
4⎫ ⎪ B = ⎪ 求 AB ，BA
A=  ⎪ B =  1 ⎪⎭
2 2 ⎪⎭
- 1
设 A= ⎛1
2⎫ ⎪ B = ⎪ C= ⎪ A C =B C 但
⎡3 - 1 2 0⎤
⎡7 5 - 2 4⎤
⎢
⎢2 4 6 8⎥⎦
⎢
⎢3 2 - 1 6⎥⎦
求满足关系式 A+2X =B 的矩阵 X （3A —2B ）
三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ a ）
ij
m ⨯s
B =（ b ） s ⨯ n
则乘积 AB=C=( c )
ij
m ⨯n
定义说明，如果矩
c
ij
= a b + a b + + a b
i1 1j i2 2 j is sj
阵 A 的列数等于矩 阵 B 的行数，则 A
s
k =1
ik kj
一般称 AB 为 A 左乘 B
与 B 的乘积 C 中的 第 i 行第 j 列的元 素，等于矩阵 A 的 第 i 行元素与矩阵 B
矩阵乘法可行的条件是 A 的列数与矩阵 B 的行数相同。

方法： 的第 j 列对应元素
A 中的第行与
B 中的第列对应元素乘积之和
乘积的和。

并且矩
例 2 设 A=（ a ）
ij
3⨯s ，B =（ b ）
ij
4⨯l
， ( c ) ij
m ⨯6 且 AB=C ， 阵 C 的行数等于矩
阵 A 的行数，矩阵
确定 s, m , l 的值
⎛1 1 2⎫ ⎝
⎛ 1 - 3 2 ⎫
⎪
B = 1 1 0 ⎪ 求 AB 是否可
- 1 1 - 1⎪
C 的列数等于矩阵
B 的列数
以求 BA
⎛ 2 - 4⎫
⎝5 7⎭ ⎝- 5 3 ⎭
⎛ 1 - 1⎫ ⎛ 2 2 ⎫
求 AB ⎝ ⎝
通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的）
AB=0 A,B 不一定为 0
1， AB 不等于 BA 即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可 交换
2， AB=AC, B 不等于 C 例如
⎛1 0⎫ ⎛1 1⎫ ⎝0
3⎭ ⎝0 4⎭ ⎝0 0⎭
方阵乘法
矩阵的乘法满足以下运算律
1， (AB)C=A(BC)
2， (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 3， k (AB)=(kA)B=A(kB) （k 为常数）
矩阵的乘法总让我 们联想是否满足数 的乘法的运算律。

⎛ a a a ⎫ ⎛1 0 0⎫ a 21 ⎪ 0 0 1⎪
a a ⎝ 31 ⎭
⎝ ⎭ 1 λ n 阶方阵
⎪ 主元之外都是 0 λ ⎭
⎝
λ
1 1 ⎭
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例 5
11 12 13
⎪ ⎪ A= a a
a ⎪ E= 0 1 0⎪ 求 EA 解 EA=A 22 23
32 33
此时 AE 是否可行？只有当 E 为 3 阶方阵时， 只有单位阵可 与任何矩阵可交换 矩阵的幂：
怎样定义矩阵的
幂？
( AB)k = ?
什么时候有：
( AB)k = A k B k ?
A 1 = A, A 2 = A 1 A 1, , A k +1 = A k A 1,
A k A l = A k +l ,( A k )l = A kl ,
介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵)
1，对角阵
⎛ λ
⎫ ⎪
2 ⎪ ⎪ n
称为对角阵，一般它与任意 n 阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵
相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。

再进一步特殊化就是 λ = λ
i
2、数量矩阵
对于任意常数 λ ，n 阶方阵
⎛ λ ⎫
⎪
λ = ⎪ 叫数量矩阵。

它与任意 n 阶方阵相乘可 ⎪ ⎪ ⎝
λ ⎭
交换，以数量矩阵乘以一个矩阵 B 相当于数 λ 乘以矩阵 B
3,单位阵
当 λ =1 时数量阵就是单位阵，即
⎛ 1
⎫ ⎪
⎪ 记为 E ⎪ ⎪ ⎝
对角阵、数量阵、
单位阵的行列式是
显然 E 在矩阵乘法中的作用与数 1 在数的乘法中的是相同的即 多少？（上三角阵， AE=EA 。

一般称 n 阶的方阵 E 为单位矩阵。

即主元是 1，非主元 下三角阵，自己定 是零
义）
例 6：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。

n 个未知
量 m 个方程的方程组
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系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵
n个未知量m个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形AX=B AX=0
方程组可表示为AX=B.此式为方程组矩阵型。

齐次方程组可表为AX=0
四，转置矩阵
定义4：将m⨯n矩阵A的行与列互换所得的n⨯m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为A T
转置矩阵有如下性质：
1(A T)T=A
2,(A+B)T=A T+B T
3.(kA)T=kA T
4.(AB)T=B T A T
五．方阵的幂与方阵的行列式
对于幂了解，重点掌握行列式
定义5：由n阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA或A。

定理2—1设A,B是同阶方阵则AB=A B此定理可推广到有限
小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。

记忆定理2-1，转置的性质。