十年高考理科数学真题 专题四 三角函数与解三角形 十一 三角函数的综合应用及答案(强烈推荐)

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用
2019年
1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
2010-2018年
一、选择题
1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，
当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．（2016年浙江）设函数2
()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期
A ．与b 有关，且与c 有关
B ．与b 有关，但与c 无关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin()6
y x k π
ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有
A ．(sin 2)sin f x x =
B ．2
(sin 2)f x x x =+ C ．2
(1)1f x x +=+ D ．2
(2)1f x x x +=+
5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边
BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为
A B C D
6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2015湖南）已知函数230
()sin(),()0,f x x f x dx π
ϕ=-=⎰
且
则函数()f x 的图象的一条
对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6
x π= 二、填空题
8．（2016年浙江）已知2
2cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点
个数是 ． 10．（2014陕西）设2
0π
θ<
<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，
，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．
11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若6
π
ϕ=
，点P 的坐标为（0，
33
2
），则ω= ；
（2）若在曲线段¼
ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ．
三、解答题
12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为
此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
N
M P
O
A
B C
D
(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为
cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中
部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中
部分的长度．
14．（2015山东）设2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02
A
f =，1a =，
求△ABC 面积的最大值．
15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足
函数关系：ππ
()103cos
sin 1212
f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
16．（2014陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，
． （I ）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．
17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个
对称中心为(
,0)4
π
，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标
不变），在将所得图像向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(
,)64
x ππ
∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．
专题四三角函数与解三角形
第十一讲三角函数的综合应用
答案部分
2019年
1.解析解法一：
（1）过A作AE BD
⊥，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8
DE BE AC AE CD
=====.'
因为PB⊥AB，
所以
84
cos sin
105
PBD ABE
∠=∠==.
所以
12
15
4
cos
5
BD
PB
PBD
===
∠
.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，联结AD，由（1）知2210
AD AE ED
=+=，
从而
2227
cos0
225
AD AB BD
BAD
AD AB
+-
∠==>
⋅
，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1
PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯
=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆
O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为3
4
. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43
-， 直线PB 的方程为425
33
y x =-
-
. 所以P （−13，9），2
2
(134)(93)15PB =-+++=.
因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-剟.
在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q
（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4(13)17PQ =+-=+.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+
2010-2018年
1．C
【解析】由题意可得d =
=
=
=
（其中cos ϕ=
，sin ϕ=
，∵1sin()1θϕ--≤≤,
d ≤
1=+
∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于2
1cos2()sin sin sin 2
x
f x x b x c b x c -=++=
++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；
c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．
注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．
3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，
所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4
x π=
或
54
π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2
x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，2
12x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．
5．B
【解析】由于(0)2,()1()()424
f f f f ===<πππ
，故排除选项C 、D ；当
点P 在BC
上时，()tan )4
f x BP AP x x =+=π
≤≤．不难发现()
f x 的图象是非线性，排除A ．
6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,
]2x π
∈时，1
()sin cos sin 22
f x x x x ==；当(
,]2x π
π∈时，1
()cos sin sin 22
f x x x x =-=-，故选C ． 7．A
【解析】由
22330
1sin()cos()|cos cos 02x dx x ππ
ϕϕϕϕϕ-=--=
+=⎰
，
得tan ϕ=
()3
k k Z π
ϕπ=
+∈，所以()sin()()3
f x x k k Z π
π=-
-∈，
由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=-
-与sin()3
y x π
=-的图象的对称轴相同，
令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为
5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56
x π
=
，选A ． 8
1
【解析】22cos sin 2)14
x x x π
+++
，所以 1.A b ==
9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．
10．
12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴2
2sin cos cos θθθ=，∵(0,)2
πθ∈， ∴1
tan 2
θ=．
11．（1）3；（2）4
π
【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+
，当6πϕ=，点P 的坐标为（
0，
cos 36πωω=
∴=； （2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为
πω，由图知222T AC π
π
ωω
===， 122
ABC S AC π
ω=
⋅=V ，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段¼
ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()
sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ωϕωϕ'=
==+-+=⎰
，
由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224
ABC S P S π
π
=
==V ． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．
θ
H
E K
G
N
M P
O A
B
C D
过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，
则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，
CDP ∆的面积为1
240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2
θθθθθ⨯⨯-=-．
过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6
πθ∈． 当0[,
)2
π
θθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，
所以sin θ的取值范围是1[,1)4
．
答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为
1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1
[,1)4
．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-
8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2
π
θθ∈．
设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,
)2
π
θθ∈，
则2
2
2
()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6
θ=
，
当0(,)6
π
θθ∈时，()>0f θ′
，所以()f θ为增函数； 当(
,)62
ππ
θ∈时，()<0f θ′
，所以()f θ为减函数， 因此，当π
6θ=时，()f θ取到最大值．
答：当π
6
θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，
所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =
-=，从而3
sin 4
MAC ∠=
． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11
116sin PQ AP MAC
=
=∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.
过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，
所以1KG =
6214
242
-=
，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠.
因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-.
在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=. 因为02βπ<<
，所以24
cos 25
β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠
42473(35)525255
=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =
22
20sin P NEG
Q =∠.
答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)
12()sin 222
x f x x π
++=-
x x 2sin 21212sin 21+-= 2
1
2sin -=x ．
由ππ
ππ
k x k 22
222
+≤
≤+-(Z k ∈)，可得ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
4
4
(Z k ∈)；
由
ππ
ππ
k x k 22
3222
+≤
≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤
≤+434(Z k ∈)；
所以)(x f 的单调递增区间是]4
,
4
[ππ
ππ
k k ++-（Z k ∈）
； 单调递减区间是]43,
4[
ππ
ππ
k k ++（Z k ∈）
． （Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1
sin 2
A ∴=，
由题意A 是锐角，所以 cos 2
A =
． 由余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=，
可得2
2
12b c bc =+≥
323
21
+=-≤
∴bc ，且当c b =时成立．
2sin 4bc A ∴≤
．ABC ∆∴面积最大值为4
3
2+．
15．【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123
f t t t t ππππ
--+--+， 又240<≤t ，所以373
12
3
ππ
π
π
<
+
≤
t ，1)3
12sin(1≤+≤-π
πt ， 当2=t 时，1)312sin(
=+ππt ；当14=t 时，1)3
12sin(-=+π
πt ；
于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)3
12sin(210)(π
π+-=t t f ，
所以11)312sin(
210>+-ππ
t ，即1
sin()1232
t ππ+<-， 又240<≤t ，因此6
1131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温.
16．【解析】（1）Q c b a ，，
成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=
sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q
()sin sin 2sin A C A C ∴+=+
（2）Q c b a ，，成等比数列，2
2b ac ∴=
由余弦定理得2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--=
=== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 22
12a c ac
+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）
2211112222
a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）
即1cos 2B ≥
，所以B cos 的最小值为1
2
17．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=
又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4
π
，(0,)ϕπ∈
故()sin(2)04
4
f ππ
ϕ=⨯
+=，得2
π
ϕ=
，所以()cos 2f x x =
将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()sin g x x =
（Ⅱ）当(
,)64x ππ
∈时，1sin 2x <<
1
0cos 22
x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．
问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64
ππ
内是否有解
设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(
,)64
x ππ
∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(
,)64x ππ
∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64
ππ
内单调递增
又1
()06
4
G π
=-
<，()042G π=
> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(
,)64
ππ
内存在唯一零点0x ，
即存在唯一的0(
,)64
x ππ
∈满足题意． （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=
当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x
a x
=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x
h x x
=-
，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况
22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0
h x '=，得2x π=或32
x π
=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表
当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞
故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在
(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在
(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=
综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。