湖北2018届高考冲刺模拟考试数学(理)试题(三)含答案

湖北2018届高考冲刺模拟考试数学（理）试题（三）含答案
湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（三）
文科数学试题
本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一.选择题
1．若集合M ={（x ，y ）|x +y =0}，N ={（x ，y ）|x 2+y 2=0，x ∈R ，y ∈R }，则有（ ）
A ．M ∪N =M
B ．M ∪N =N
C ．M ∩N =M
D ．M ∩N =∅
2i 为虚数单位），则复数
Z ）
A ．i B. i - C.1 D. 1-
3．下列命题中，真命题是
A ．
0x R ∃∈，使得00x e ≤
B
C ．2
,2x
x R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件
4．某程序框图如图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．
7
5
则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
6．在满足条件
210
31070x y x y x y --≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
的区域内任取一点(,)M x y ，则点(,)
M x y 满足不等式
22
(1)1x y -+<
的概率为（ ） A
B
C
D 7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为
12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）
A. 1.6
B. 1.8
C. 2.0
D.2.4
8，12()2,()0f x f x ==，若12||x x -的
，则()f x 的单调递增区间为（ ）
9．定义在Ｒ上的连续函数()f x 满足2
()()f x f x x +-=，且0x <时，'()f x x <恒成立，则
）
A
B
C
D ．(,0)-∞
10．已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥，则m =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知三棱柱111ABC
A B C -的侧棱垂直于底面，，4AB =，2AC =
，60BAC ∠=︒，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为( )
A ．8π
B
C ．2π
D 12．若A
、B 是抛物线2
y x =上关于直线30x y -
-=对称的相异两点，则||AB =
A ．3
B ．4
C
D
二.填空题
13．若向量,a b 满足||||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为 . 14．某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备。

现采用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为20的样本参加新设备培训，培训结束后进行结业考试。

已知各年龄段培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示：
若随机从年龄段[20，30）
和[40，50）的参加培训工人
中各抽取1人，则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为 .
15．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，
的最大值为 .
16．若关于x 的方程1(2)ln 0k x e x --⋅=在(1,)+∞上有两个不同的解，其中e 为自然对数的底
数，则实数k 的取值范围是 .
三.解答题
17．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 2cos a B c b A
=-.
(Ⅰ)求角A ；
(Ⅱ)若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=，37
AM =
求ABC ∆的面积.
18．为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的
随后，该小组采用分层抽样的
方法从这n 份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人． (Ⅰ) 现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；
(Ⅱ) 若有99%的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n 至少为多少？ 参考数据：
，其中n a b c d =+++．
19．如图，在三棱柱ABC −
111A B C 中，侧面1
1ABB A 是矩形，∠BAC =90°，
1AA ⊥BC ，1AA =AC =2AB =4，且1BC ⊥1AC ．
(Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；
(Ⅱ)设D 是11AC 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得DE ∥平
面1ABC ．若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．
20．已知长轴长为4，点F 是椭圆的右焦点. (Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)是否在x 轴上的定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A B 、两点.设点E 为点B 关于x 轴的
对称点，且A F E 、、三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.
21在点(,())a f a 处的切线过点(0,4)．
(Ⅰ)求实数a 的值，并求出函数()f x 单调区间；
(Ⅱ)若整数k 使得在(1,)
x ∈+∞上恒成立，求k 的最大值．
22，直线3:(52x t l t y t =+⎧⎨=-⎩为参数）．
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(Ⅱ)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求.
23
(Ⅰ)若0a =，解不等式()()f x g x ≥；
(Ⅱ)若存在x R ∈，使得不等式()2()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．
高三模拟试卷答案
．A 解：N ={（x ，y ）|x 2+y 2=0，x ∈R ，y ∈R }，∴{(0,0)}N M =⊆，则M ∪N =M ，故选A 。

2．C
的虚部为1，故选C 。

3．D 解：①对x R ∀∈都有0x
e >，∴A 错误；
∴B
错误；③当2x =时，2
2x x =，∴C 错误；④1,1a b >>⇒1ab >；而当2a b ==-时，1
ab >成立，1,1a b >>不成立，∴D 正确。

4．A 解：第一次进入循环体时1,1S k ==；第二次进入循环时3,2S k ==；第三次进入循环
时11,3S k ==，第四次进入循环时11
112100,4S k =+>=，故此时输出4k
=，故选A 。

5．D ，∴c a b
>>，故选D 。

6．B 解：作平面区域
B 。

7．A 【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：
则6.1=x ，故选A 。

8． B 解：由12()2,()0f x f x ==，且12||x x -的最小值为
∴2T ωπ=⇒=，
，故可求得()f x 的单调递
B 。

9．Ａ ，则()()0()g x g x g x +-=⇒为奇函数，
又0x <时'()0()g x g x <⇒在(,)-∞+∞上递减，
即：()(1)g x g x ≥-，从而
A 。

10．D 解：由
112,0,3(2)m m m S S S m -+=-==≥可知12,3m m a a +==，设等差数列{}n a 的公差
为d ，则1d =，∵0m S =，∴12m a a =-=-，则3n a n =-，∴325m m -=⇒=，故选D 。

1．C 解：已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面， 4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，，∴BC AC ⊥
C.
2．C 解：设点11(,)A x y ，22(,B x y ），依对称性可知1AB k =-，由点差法可得121y y +=-，设AB
中点为00(,)M x y ，
代入对称轴方程可
∴直线AB 的方程为
20x y +-=，与抛物线方程联立知：220y y +-=，∴121,2y y ==-
，
C 。

3
解：设a 与b 的夹角为θ，∵||||2a b ==，()22
4cos 2a a b θ⋅-=⇒-
=，
4 解：由频率分布直方图可知，年龄段[20，30），[30，40），[40，50)，[50,60]的人数
的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，所以年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]应抽取人数分别为6，7，4，3.
若随机从年龄段[20，30）和[40，50）的参加培训工人中各抽取1人，则这两人培训结
5解：设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为1b 、2b ，椭圆的长半轴长和双曲线实
半轴长分别为1a 、2a ，则2
2
2
121
23910
b b a a
c =⇒+=，
6解：若方程
存在两个不同解，则0k ≠，1x >，设
()(2)ln g x x e x =-，在(1,)+∞上单调递增，且'()0g e =，∴()g x 在
(1,)e 上单调递减，(,)e +∞上单调递增，∴min ()()g x g e e ==-，∵(1)(2)0g g e ==，
∴
()0g x <在(1,2)
e 上恒成立，∴若方程存在两个不同解，
7．解：（1）因为
()cos 2cos a B c b A
=- ，由正弦定理得：
()sin cos 2sin sin cos A B C B A
=-
即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=, sin 2sin cos C C A = …………....4分
在ABC ∆中，
sin 0C ≠，所以
…………....6分
（237
AM
=
解得： 69c c ==-或（舍） ……....10分
所以ABC ∆的面积
………....12分 8．(Ⅰ) 记重点分析的5人中喜爱看该节目的为,,a b c ，不爱看的为,d e ，从5人中随机抽取2
人，所有可能的结果有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种， ……
....3分
…………....4分
(Ⅱ)∵进行重点分析的5份中，喜欢看该节目的有3人，故喜爱看该节目的总人数为；设这次调查问卷中女生总人数为a ，男生总人数为b ，,*a b N ∈，则由题意可得22⨯列联表如下：
……....8分
∴正整数n 是25的倍数，设25n k =，*k N ∈，则
……………....10分
，∵*k N ∈，∴2k =，故50n =。

……………....12分
9．【解析】(1)在三棱柱ABC −
111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∴1AA ⊥AB ，……....1分
又1AA ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴1A A ⊥平面ABC ，∴1A A ⊥AC ．…………....2分 又
1A A =AC ，∴1AC ⊥1AC ．又1BC ⊥1AC ，1BC ∩1AC =1C ，
∴
1AC ⊥平面
1ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．……….…………....4分
(2)解法一 当E 为
1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图1，取1A A 的中点F ，连接
EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥1AC ，
又EF ∩DF =F ，AB ∩
1AC =A ，∴平面EFD ∥平面1ABC ，则有DE ∥平面
1ABC ．.…………....6分
设点E 到平面1ABC 的距离为d ，∵AB AC ⊥，且
1AA ⊥AB ，∴AB ⊥平面11A ACC ， ∴1AB AC ⊥，∴ …………....9分
∵
1A A AC ⊥，AB AC ⊥，∴AC ⊥平面11A ABB ，
∵11//AC AC
，∴11AC ⊥平面11A ABB ， …………....10分
.………....12分
解法二 当E 为
1BB 的中点时，连接DE ，如图2，设1AC 交1AC 于点G ，连接BG ，DG ，
∵
，∴四边形DEBG 为平行四边形，
则DE ∥BG ，又DE ⊄平面
1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，则DE ∥平面1ABC ．
求点E 到平面1ABC 的距离同解法一．
20．（1） 24a =，∴2a =，点
有：23b =
…………....4分
（2）存在定点(4,0)D 满足条件：设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，联立消x 有
222
(34)63120m y mt y t ++⋅+-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)E x y - ，且0∆> ……....6分 由A F E 、、三点共线有：
2112(1)(1)0x y x y -+-=
⇒12122(1)()0my y t y y +-+= ………....8分
，4t = …………....11分
∴存在定点(4,0)D 满足条件. ………....12分
2．(1)()f x 的定义域为(0,)+∞
，∴x a =处的切线斜率
为
……....2分 又∵切线过(0,4)，代入上式解得1a =，∴可得()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． ………....4分
（2）∵(1,)x ∈+∞时，
……...6分
记()ln
4x x x ϕ=--，有0>，∴()x ϕ在
(1,)+∞单调递
增 ……….…………....7分 ∴
，由于33
327e <=，可得
，故(5.5)0ϕ<
又2(6)2ln6ln ln6e ϕ=-=-2ln 2.5ln 6ln 6.25ln 60>-=->
由零点存在定理可知，存在0(5.5,6)x ∈，
使得0()0x ϕ=，即00ln 40x x --=① ….…………....9分
且0(1,)x x ∈时，'()0g x <，0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >　
故0(1,)x x ∈时，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()g x 单调递增
……
....11分 故k 的最大值为7． ....12分
22．（1）曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程
2110x y +-=.…………....4分
（2）曲线C 上任意一点到直线l 的距离为305=，其中α为锐角，且
....8分 当sin()1θα+=-时，最大值为；当sin()1θα+=时，最小值为……10分
23．（1）当0a =，由
()()f x g x ≥得，两边平方得(32)(2)0x x ++≥，所以所
....5分 （2）由()2()f x g x ≥，得；即存在x R ∈，使得
，所以2a ≤。

………....10分。