上海市嘉定二中2024届高一上数学期末统考试题含解析

上海市嘉定二中2024届高一上数学期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知x 是实数，则“6x ≥”是“24120x x +-≥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()4f x f x +=，且()()0f x f x --=，当20x -≤<时，()2x
f x -=，则()2018f 等于 A.
14
B.
12
C.2
D.4
3．命题：2Z,1x x ∃∈=-的否定是（ ）
A.2Z,1x x ∀∈≠-
B.2Z,1x x ∀∈=-
C.2Z,1x x ∃∈≠
-
D.2Z,1x x ∃∉≠
-
4．已知函数1()()x
x
f x e e
=-，则下列判断正确的是 A.函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B.函数()
f x 偶函数，且在R 上是增函数
C.函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数
D.函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数
5．化简sin θθ= （ ） A.π
2sin()6θ-
B.π
2sin()3θ-
C.π
2sin()6
θ+
D.π
2sin()3
θ+
6．对于函数()f x 定义域中任意的1x ，2x ，当1202
x x π
<<<
时，总有①
()()1212
0f x f x x x ->-；
②()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
都成立，则满足条件的函数()y f x =可以是（） A.10x y = B.lg y x = C.2y
x
D.cos 2y x =
7．满足不等式2cos 10x +>成立的x 的取值集合为（） A.2222,33x k x k k ππππ⎧⎫-
<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z B.22,3
3x k x k k π
π
ππ⎧⎫
-
<<+
∈⎨⎬⎩
⎭
Z C.422,3
3x k x k k π
π
ππ⎧⎫+
<<+
∈⎨⎬⎩⎭Z D.522,6
6x k x k k π
π
ππ⎧⎫-
<<+
∈⎨⎬⎩
⎭
Z 8．已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在上是增函数，若，则不等式
的解集为（ ）
A.{x |x >2}
B.
C.{
或x >2}
D.{
或x >2}
9．已知偶函数f (x )在区间[)0+，
∞单调递增，则满足1
(21)()3
f x f -<的x 取值范围是（ ） A.12(,)33
B.12[,)33
C.12(,)23
D.12[,)23
10．函数()2log 10f x x x =+-的零点所在区间为( ) A.()5,6 B.()6,7 C.()7,8
D.()8,9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．计算7log 2
37log 27lg 25lg 47
log 1++++=______.
12．已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为____________
13．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()(2)f x f x =+；③当01x ≤<时，
()21x f x =-，则135
()(1)()(2)()222
f f f f f ++++＝________.
14．用二分法求函数f(x)＝3x
－x －4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x
－x －4＝0的一个近似解为________(精确到0.01) 15．已知m ∈R ，若存在定义域为R 的函数()y f x =满足：对任意0x ∈R ，()0013
1010x x f
x m --+=+，则m =___________.
16．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
41
x f x a =-
+为奇函数 （1）求实数a 的值，判断函数()f x 的单调性并用定义证明； （2）求关于x 的不等式3
2sin 35
f x π⎛⎫⎛⎫-
> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的解集 18．已知集合{}
{
}
2
31,2150A x a x a B x x x =-≤≤+=--≥ （1）当2a =-时，求(
)R
A
B ；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”充分条件，求实数a 的取值范围
19．已知圆C 的方程为：222
2242x y mx my m +-+=-
（1）求圆C 的圆心所在直线方程一般式；
（2）若直线:40l x y -+=被圆C 截得弦长为m 的值；
（3）已知定点P ，且点,A B 是圆C 上两动点，当APB ∠可取得最大值为90︒时，求满足条件的实数m 的值
20．已知函数1
()2sin ,3
6f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.
（1）求()0f 的值； （2）设10,0,
,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛
⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭()6325f βπ+=，求()sin αβ+的值. 21．已知函数()x
x
f x e e -=-(x R ∈且e 为自然对数的底数）.
（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明 (2)证明函数()f x 在(),-∞+∞是增函数
(3)若不等式2
1
()()02
f x t f x -+-≥对一切x R ∈恒成立，求满足条件的实数t 的取值范围
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
【解题分析】解一元二次不等式得2x ≥或6x ≤-，再根据集合间的基本关系，即可得答案； 【题目详解】
24120x x +-≥⇒2x ≥或6x ≤-，
∴6x ≥⇒2x ≥或6x ≤-，反之不成立，
∴“6x ≥”是“24120x x +-≥”的充分不必要条件，
故选：A . 2、D
【解题分析】由()()4f x f x +=得()()()2018504422f f f =⨯+=， 又由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数， 所以()()()
22224f f --=-==
选D 3、A
【解题分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案. 【题目详解】因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“2Z,1x x ∃∈=-”的否定为“2Z,1x x ∀∈≠-”.
故选：A. 4、A
【解题分析】求出()f x 的定义域，判断()f x 的奇偶性和单调性，进而可得解. 【题目详解】()f x 的定义域为R ，且()()x
x 1f x e f x e
-=-=-； ∴()f x 是奇函数；
又x
y e =和x
1y ()e
=-都是R 上的增函数；
()x x 1
f x e ()e
∴=-是R 上的增函数
故选A
【题目点拨】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题 5、D
【解题分析】利用辅助角公式化简即可.
【题目详解】sin +θθ
1sin 22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=⨯⎭
θθ cos sin sin cos 323⎛⎫+ ⎪=⨯⎝⎭
ππθθ
2sin 3πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选：D 6、B
【解题分析】根据函数()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是增函数，且是上凸函数判断. 【题目详解】由当1202
x x π
<<<
时，总有
()()1212
0f x f x x x ->-，
得函数()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是增函数， 由()()121
2
2
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
， 得函数()f x 是上凸函数，
10x y =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上是增函数是增函数，是下凸函数，故A 错误；
lg y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数是增函数，是上凸函数，故B 正确；
2y
x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数，是下凸函数；故C 错误；
cos 2y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数，故D 错误.
故选：B 7、A
【解题分析】先求出一个周期内不等式的解集，再结合余弦函数的周期性即可求解. 【题目详解】解：由2cos 10x +>得：1cos 2
x >- 当[],x ππ∈-时，2233
x ππ-
<< 因为cos y x =的周期为2π 所以不等式的解集为2222,33x k x k k ππ
ππ⎧⎫-
<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z 故选：A. 8、C
【解题分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为
，进而可求得结果.
详解】依题意，不等式
，
又在
上是增函数，所以
， 即
或
，解得
或
.
故选：C. 9、A
【解题分析】由偶函数性质得函数在(,0]-∞上的单调性，然后由单调性解不等式 【题目详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，
所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小， 因为()1
21(3
f x f -<）， 所以1213
x -<，解得：1233x <<.
故选：A 10、C
【解题分析】要判断函数()2log 10f x x x =+-的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间(),a b 上零点，则()f a 与()f b 异号进行判断 【题目详解】
()27log 77100f =+-<，()28log 88100f =+->，
故函数()2log 10f x x x =+-的零点必落在区间()7,8 故选C
【题目点拨】本题考查的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间(),a b 上()f a 与()f b 异号，则函数在区间(),a b 上有零点
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、7
【解题分析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解. 【题目详解】解：7log 2
37log 27lg 25lg 47
log 1++++
()3lg 2542=+⨯+
52=+ 7=.
故答案为：7. 12、7-
【解题分析】对x ，y 的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出 【题目详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x +y=4，此时两条直线不平行； 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x ﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
当m ≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=34m +-x+534m -，y=25x m -++8
5m
+，
∵两条直线平行，∴3245m m +-=-+，534m -≠8
5m
+，解得m=﹣7 综上可得：m=﹣7 故答案为﹣7
【题目点拨】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题
131
【解题分析】利用周期性和奇偶性，直接将3
5(),(2),()22
f f f 的值转化到[)0,1x ∈上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果
【题目详解】依题意知：函数()f x 为奇函数且周期为2， 则(1)(1)0f f +-=，(1)(1)f f -=，即(1)0f = .
1351111
()(1)()(2)()()()(0)()()(0)12222222
f f f f f f f f f f f ++++=+-++=+= 【题目点拨】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用 14、56
【解题分析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56. 15、-2
【解题分析】由已知可得()()()
(
)000013
11200210
1012010x x x x x f
x m g ---+--+=+=+=++为偶函数，即
()()0022f x m f x m +=-+++，令01x =，由()()13f m f m +=+，可得()13m m +=-+，计算即可得解.
【题目详解】对任意0x ∈R ，()00130
1010x x f
x
m --+=+，
将函数向左平移2个单位得到()()()
(
)000013
11200210
1012010x x x x x f x m g ---+--+=+=+=++，()()00g x x g -=函数
为偶函数，所以()()0
022f
x
m f x m +=-+++，
令01x =，由()()
13f m f m +=+，可得()13m m +=-+，解得：2m =-. 故答案为：2-. 16、80
【解题分析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可
【题目详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25 ∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12 ∴前三个小组的频数为36，从而男生有36
4810.25
=-人
∵全校男、女生比例为3：2， ∴全校抽取学生数为48×5
3
=80 故答案为80
【题目点拨】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1a =，函数()f x 为R 上的增函数，证明见解析 （2）722,26x
k x k k ππππ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z
【解题分析】(1)f (x )是R 上奇函数，则f (0)＝0，即可求出a ；设12,x x ∈R ，且12x x <，作差化简判断12(),()f x f x 大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性； (2)3
(1)5
f =
，根据(1)中单调性可去掉“f ”，将问题转化为解三角不等式. 【小问1详解】
∵()f x 的定义域是R 且()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，即1a =.
2
()141
x f x =-
+为R 上的增函数，证明如下： 任取12,x x ∈R ，且12x x <，
则12121212222(44)
()()114141(41)(41)
x x x x x x f x f x --=--+=++++， ∴4x
y =为增函数，12x x <，∴12044x x << ∴1212
410,410,44
0x
x
x
x +>+>-<，
∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在R 上是增函数 【小问2详解】 ∵3
(1)5
f =
，()2sin 13f x f π⎛⎫⎛⎫∴-> ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭， 又()f x 在R 上是增函数，2sin 13x π⎛⎫
∴-
> ⎪⎝
⎭，即1sin 32x π⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭， 5226
3
6
k x k π
π
π
ππ∴
+<-
<
+， ∴原不等式的解集为722,26x
k x k k ππππ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
Z .
18、（1）{|31}x x -<≤-； （2）4a ≤-或8a ≥.
【解题分析】(1)解一元二次不等式化简集合B ，把2a =-代入，利用补集、交集的定义直接计算作答. (2)由给定条件可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答. 【小问1详解】
当2a =-时，{}
51A x x =-≤≤-，解不等式22150x x --≥得：3x ≤-或5x ≥， 则{|3B x x =≤-或5}x ，有{|35}R B x x =-<<，
所以(
){|31}R
x x A B =-<≤-⋂
.
【小问2详解】
由(1)知，{|3B x x =≤-或5}x
，因“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆，
显然，A ≠∅，因此，13a +≤-或35a -≥，解得4a ≤-或8a ≥， 所以实数a 取值范围是4a ≤-或8a ≥. 19、（1）0x y +=； （2）1m =-或3m =-；
（3）2m =±. 【解题分析】（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足x m y m =⎧⎨=-⎩，消去m 可得圆心所在直线方程； （2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m ； （3）根据题意判断出四边形PACB 是正方形，进而求得22CP =，由两点间距离公式可求得m 【小问1详解】
由已知圆C 的方程为：()()224x m y m -++=，所以圆心为x m y m =⎧⎨
=-⎩， 所以圆心在直线方程为0x y +=.
【小问2详解】
（2）由已知r =2，又弦长为22，所以圆心到直线距离()2222d r =
-=，所以422m m d ++==，解得1m =-或3m =-.
【小问3详解】
由APB ∠可取得最大值为90︒可知点(2,2)P 为圆外一点，所以0m ≠，
当PA 、PB 为圆的两条切线时，∠APB 取最大值.又,,CA PA CB PB CA CB ⊥⊥=，所以四边形PACB 为正方形，由r =2得到||22CP =，即P 到圆心C 的距离()()222222d m m '=
-+--=，解得2m =±.
20、（1）；（2） 【解题分析】（1）直接带入求值；
（2）将
和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据
的值 试题解析：解：（1）
（2）
考点：三角函数求值
21、（1）见解析；（2）见解析；（3）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【解题分析】（1）定义域为R ，关于原点对称，又()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，∴ ()f x 为奇函数
(2)任取1x , 2x (),∈-∞+∞,且12x x <，
则()()21f x f x -=2211x x x x e e e e ----+=212112x x x x x x e e e e e +--+= ()211211x x x x e e e +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，又x y e =在R 上为增函数且0x e >，
∴ 21x x e e >，∴ ()
2112110x x x x e e e +⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， ∴ ()()21f x f x >,
∴ ()f x 在(),-∞+∞上是增函数
(3)由（1）知()f x 在R 上为奇函数且单调递增，由()2102f x t f x ⎛
⎫-+-≥ ⎪⎝⎭
得 由题意得212x t x -
≥-，即212t x x ≤-+恒成立， 又21324x x -+≥- 34t -∴≤．综上得t 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ 点睛：本题是一道关于符合函数的题目，总体方法是掌握函数奇偶性和单调性的知识，属于中档题．在证明函数单调性时可以运用定义法证明，在解答函数中的不等式时，要依据函数的单调性，比较两数大小，含有参量时要分离参量计算最值。