天津一中九年级(下)开学数学试卷含答案

开学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.使有意义的x的取值范围是（）
A. x＞3
B. x＜3
C. x≥3
D. x≠3
2.sin60°的值等于（）
A. B. C. D. 1
3.人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示
为（）
A. 7.7×10-3
B. 77×10-4
C. 77×10-3
D. 7.7×10-4
4.把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图
为（）
A. B.
C. D.
5.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为（）
A. B. C. 12 D. 24
6.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分
别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）
A. 140°
B. 70°
C. 60°
D. 40°
7.分式方程=1的解为（）
A. x=1
B. x=2
C. x=-1
D. x=-2
8.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）
A. m≥1
B. m≤1
C. m＞1
D. m＜1
9.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）
A. a＞b
B. |a|＜|b|
C. ab＞0
D. -a＞b
10.如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（）
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 平行四边形
11.已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=-的图象上，则下列关系式一定
正确的是（）
A. x1＜x2＜0
B. x1＜0＜x2
C. x2＜x1＜0
D. x2＜0＜x1
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结
论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n
＜-；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是（）
A. ①②③
B. ①③
C. ①③④
D. ①④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.因式分解：a2-2ab+b2=______．
14.用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆半径为______cm．
15.有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一
个三角形的概率是______．
16.若一次函数y=（k-2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是
______．
17.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与
BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是______
18.如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）在图1中画出一个面积最小的平行四边形PAQB．
（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19.求不等式组的正整数解．
20.某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所
有学生的成绩，得到下列统计图．
（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；
（2）下列关于本次数学测试说法正确的是______
A．九年级学生成绩的众数与平均数相等
B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数
21.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，
（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD 的大小．
22.随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12
日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前
我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A
处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点
P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段
时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问
此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：
≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．
23.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获
利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y=kx+b，且x=70时，y=50；x=80时，y=40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y=kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
24.对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上
（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好不点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，则=______；
（2）将该矩形纸片展开，如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°．
25.已知：二次函数y=ax2-2ax-3（a＞0），当2≤x≤4时，函数有最大值5．
（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；
（2）将函数y=ax2-2ax-3（a＞0）图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象，若点P（x0，y0）是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程m2-y0m+k-4+y0=0恒有实数根时，求实数k的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意，得
x-3≥0，
解得x≥3，
故选：C．
根据被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=．
故选：C．
根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
3.【答案】D
【解析】解：0.00077=7.7×10-4．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC=24÷6=4，
∴OB=BC=4，
∴BM=BC=2，
∴OM==2，
∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，
∴该六边形的面积为：4×6=24．
故选：D．
首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】B
【解析】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°-40°=140°，
∴∠P=∠DOE=70°．
故选：B．
先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：去分母得：3x=x+4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.【答案】D
【解析】解：∵方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，
∴=（-2）2-4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由数轴可得，
-2＜a＜-1＜0＜b＜1，
∴a＜b，故选项A错误，
|a|＞|b|，故选项B错误，
ab＜0，故选项C错误，
-a＞b，故选项D正确，
故选：D．
根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】B
【解析】解：连接AC、BD．AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，HG=AC，
同法可得：EF=AC，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：B．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】A
【解析】解：由题意，得
k=-3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
对称轴x=-＞1，-b＜2a，
∴2a+b＞0，故选项①正确；
∵-b＜2a，
∴b＞-2a＞0＞a，
令抛物线解析式为y=-x2+bx-，
此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，
则=-，
解得：b=，
∴抛物线y=-x2+x-，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，
对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），故②选项错误；
∵-1＜m＜n＜1，-2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x=-＞1，＞2，m+n＜，故选项③正确；
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞-2b，∴-3a-c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|=-3a-c＜2b=2|b|，故④选项正确．
故选：C．
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．
13.【答案】（a-b）2
【解析】解：原式=（a-b）2
故答案为：（a-b）2
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．14.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=cm．
故选：．
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意，使用列举法可得从4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；
故其概率为：．
16.【答案】k＞2
【解析】解：
∵一次函数y=（k-2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，解得k＞2，
故答案为：k＞2．
根据一次函数的增减性可求得k的取值范围．
本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y=kx+b 中，当k＞0时y随x的增大而增大，当k＜0时y随x的增大而减小．
17.【答案】①②③
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴=，∠BAC=45°，
同理，=，∠EAD=45°，
∴=，∠BAE=∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，又∠PME=∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴=，
∴MP•MD=MA•ME，②正确；
∵∠BEA=∠CDA，
∴P、E、D、A四点共圆，
∴∠APM=∠AED=90°，
∵∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠CAM=90°，
∴△CAP∽△CMA，
∴=，
∴AC2=CP•CM，
∵AC2=2CB2，
∴2CB2=CP•CM，③正确，
故答案为：①②③．
根据等腰直角三角形的性质得到=，∠BAC=45°，根据相似三角形的判定定理判断①；
根据相似三角形的性质得到∠BEA=∠CDA，证明△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质列出比例式，判断②，根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质定理判断③．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18.【答案】解：（1）如图，平行四边形PAQB为所；
（2）如图，四边形PCQD为所作．
【解析】（1）取点A到PQ的距离为1画一个平行四边形满足条件；
（2）把PQ绕点O顺时针旋转90°得到C、D，从而得到满足条件的四边形PCQD．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的性质．
19.【答案】解：，
解不等式①，得x＞-2，
解不等式②，得x≤，
不等式组的解集是-2＜x≤，
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
【解析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．
20.【答案】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000=81（分），答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；
（2）D.
【解析】（1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；
（2）根据条形统计图和扇形统计图不能求出众数和中位数．
A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；
B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；
C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；
D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；
故选D．
本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21.【答案】解：（Ⅰ）连接OD,
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠ACB-∠BAC=90°-38°=52°，
∵D为的中点，∠AOB=180°，
∴∠AOD=90°，
∴∠ABD=45°；
（Ⅱ）连接OD，
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，
由DP∥AC，又∠BAC=38°，
∴∠P=∠BAC=38°，
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°，
∴∠ACD=64°，
∵OC=OA，∠BAC=38°，
∴∠OCA=∠BAC=38°，
∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64°-38°=26°．
【解析】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小.
22.【答案】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．
∵AP=400海里，
∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，
故PC=200海里．
又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，
∴PB==2PC=400≈566（海里）．
答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．
【解析】通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可．
本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23.【答案】解：（1）根据题意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y=-x+120；
（3）w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x=84时，w=（84-60）×（120-84）=864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
【解析】（1）根据“规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%”写出x的取值范围便可；
（2）可用待定系数法来确定一次函数的解析式；
（3）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（2）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
本题考查的是一次函数的应用：
（1）求变量的取值范围；
（2）问中，主要考察用待定系数法求一次函数的综合应用；
（3）问中，主要结合（2）问中一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；
主要运用了一次函数及二次函数的性质．在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．
24.【答案】（1）
（2）证明：设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，
∴AE=（-1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，
∵∠BEC=45°，∠A=90°，
∴∠AEH=45°=∠AHE，
∴AH=AE=（-1）a，
设AP=x，则BP=a-x，
由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，
∴AH2+AP2=BP2+BC2，
即[（-1）a]2+x2=（a-x）2+a2，
解得：x=a，即AP=BC，
在Rt△APH和Rt△BCP中，，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH=∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠APH+∠BPC=90°，
∴∠CPH=90°．
【解析】（1）解：由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，
又∵∠B=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴=cos45°=，即CE=BC，
由图②，可得CE=CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴CD=AD，
∴=，
故答案为：；
（2）由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得
AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据PH=CP，∠A=∠B=90°，
证得Rt△APH≌Rt△BCP，得出∠APH=∠BCP，即可得出结论．
本题主要考查了折叠变换的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等直角三角形的判定与性质的综合运用；熟练掌握折叠变换的性质、等腰直角三角形的性质是关键．
25.【答案】解：（1）抛物线y=y=ax2-2ax-3（a＞0）的对称轴为：x==1
∵a＞0，抛物线开口向上：
∴当x≥1时，y随x增大而增大；
由已知：当2≤x≤4时，函数有最大值5．
∴当x=4时，y=5，
∴16a-8a-3=5，解得a=1；
∴y=x2-2x-3，
令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-1或x=3，
∴抛物线与y轴交于（0，-3），抛物线与x轴交于（-1，0）、（3，0）
（2）若关于m的一元二次方程m2-y0m+k-4+y0=0 恒有实数根，则须
，
即4k≤恒成立，即k恒成立．
∵点p（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，且抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标为（1，-4），
∴0＜y0≤4，
∴3≤≤4，（k取的值之下限）
∴实数k的最大值为3．
【解析】（1）求出对称轴x=1，结合a＞0，可知当x≥1时，y随x增大而增大，所以
x=4时，y=5，把以x=4时，y=5代入解析式求出a的值，然后解方程ax2-2ax-3=0即可；（2）折叠部分对应的解析式：y=-（x-1）2+4（-1＜x＜3），根据△≥0求出k的取值范围，
即k≤，再结合0＜y0≤4，即可求得实数k的最大值；
主要考查抛物线的对称性、图象特征、△判别式等相关知识，结合一元二次方程、折叠的性质进行综合应用；注意恒成立的条件。