鲁教版初中数学九年级下册《垂径定理》导学案

5.3 垂径定理 学案
学习目标
1. 掌握垂径定理，理解其探索和证明过程.
2. 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
学习重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 学习难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理. 学习过程 一、一起探究
如图，在⊙O 中，CD 是直径， AB 为弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ． 问题：
1.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2.将⊙O 沿CD 所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？
3.你能用一句话概括这些结论吗？
（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧） 4.你能用几何方法证明这些结论吗？（详见P14-15）
5.你能用符号语言表达这个结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
O CD AB,E AE BD
CD AC BC
AD BD
=⎧⎫⎪
⇒=⎬⎨⊥⎭⎪
=⎩是圆的直径垂足为
垂径定理的推论：
如图，若直径CD 平分弦AB ，则_____________
C
D
O .
A
B
E
O
.
B
E
C
A
1. 直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
2. 你能用一句话总结这个结论吗？
3．如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
二、 典型例题
例1、已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ， 圆心O 到AB 的距离为3cm .
求：⊙O 的半径.
变式：在⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，⊙O 的半径为5cm . 求：弦AB 的长为多少？
例2、如图，CD 为⊙O 的直径，AB 为弦，且CD ⊥AB 垂足为E ，
若ED=2，AB=8，求直径CD 的长．
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.
C
D
O .
A
B
E
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证：AC=BD.
三、1.本节课你学到了哪些数学知识？
2.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些基本的数学方法？
3.在本节课的活动中，你认为自己表现如何？。