2018学年高二数学人教A版选修1-1第3-1-1 变化率问题

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3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念
一、选择题
1．【题文】已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.
()()00f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '
2．【题文】设函数()f x 在1x =处可导，则()()
11lim 2x f x f x
∆→+∆--∆等于（）
A ．()1f '
B ．()1
12
f '-
C ．()21f '-
D ．()1f '-
3．【题文】在曲线21y x =+的图象上取一点()1,2及附近一点()1,2x y +∆+∆，则y
x
∆∆为（） A ．1+2x x ∆+∆ B ．12x x ∆--∆
C ．2x ∆+
D ．12x x +∆-∆
4．【题文】若()02f x '=，则()()
000
lim
2k f x k f x k
→--等于（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．12
5．【题文】若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则
()()
000
2lim
h f x f x h h
→--的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．12
6．【题文】设()f x 是可导函数，且()()
000
2lim 2x f x x f x x
∆→-∆-=∆，
则()0f x '=（ ） A ．21
B ．1-
C ．0
D ．2-
7．【题文】若()()
000
3lim 12x f x f x x x
∆→-+∆=∆，则()0f x '等于( )
A ．32
B ．23
C ．32-
D ．2
3
-
8．【题文】()f x 在0x 处可导，a 为常数，则()()
000
lim x f x a x f x a x x
∆→+∆--∆=∆（ ）
A ．()0f x '
B. ()
02af x '
C ．()
0af x '
D ．0
二、填空题
9．【题文】质点运动规律为221s t =+，则从1t =到1t d =+时间段内运动距离对时间的变化率为________．
10．【题文】已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[]0,2上的平均变化率为 __________．
11．【题文】若()()
000
3lim 1x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．
三、解答题
12．【题文】求函数()2
3f x x x
=-在1x =处的导数．
13．【题文】枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度a 等于
525.010m/s ⨯，枪弹从枪口射出时所用时间t 为31.610s -⨯，求枪弹射出枪口时的
瞬时速度．（位移公式：2
12
s at =）
14．【题文】某一运动物体，在x (单位：s )时离出发点的距离(单位：m )是
()3
2223
f x x x x =
++. (1)求在第1 s 内的平均速度； (2)求在1 s 末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s ?
3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念
参考答案及解析
1.【答案】C
【解析】由导数的定义可知C错误．故选C.
考点：导数的概念.
【题型】选择题
【难度】较易
2.【答案】B
【解析】函数()f x 在1x =处可导，所以
()()()0
111lim
x f x f f x ∆→+∆-'=∆()()
0112lim 2x f x f x
∆→+∆-=--∆，所以
()()()0
111
lim
122
x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．
考点：导数的定义的应用． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C
【解析】因为2
1y x =+，所以()()2
11112y x x x x
+∆+-+=∆∆∆=+∆，故选C.
考点：变化率的概念． 【题文】选择题 【难度】较易 4. 【答案】A
【解析】根据导数的定义知()()
000
lim
2k f x k f x k
→--=-，
所以()()()()00000
01
lim
lim 122k k f x k f x f x k f x k k
→→----=-=--.
考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C
【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知
()()()()
()000000
022lim
2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h
→→----'===. 考点：导数的定义． 【题型】选择题 【难度】较易
6. 【答案】B 【解析】()()()()
()000000
022lim
2lim 222x x f x x f x f x x f x f x x x
∆→∆→-∆--∆-'=-=-=∆-∆，
所以()01f x '=-，故选B. 考点：导数的概念. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D
【解析】()()()()000000333lim lim 232x x f x f x x f x x f x x x ∆→∆→-+∆+∆-⎡⎤
=-⨯⎢⎥∆∆⎣
⎦
＝()()()0000333
lim
232
x f x x f x f x x ∆→+∆-'-=-∆． ∴()0312f x '-
=，∴()023
f x '=-. 考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】B 【解析】()()()()
00000
0lim
2lim 2x x f x a x f x a x f x a x f x a x a x a x
∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆
()02af x '=.
考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】42d +
【解析】()2
2211211
4211d v d d ++-⨯-==++-.
考点：平均变化率. 【题型】填空题
【难度】较易 10. 【答案】2
【解析】由平均变化率的定义得()()2051
2.202
f f --==-
考点：平均变化率. 【题型】填空题 【难度】较易 11. 【答案】1
3
【解析】由于()()()()
()000000
033lim
3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x
∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以()01
3
f x '=．
考点：导数的概念． 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】5
【解析】
()()()113122112331y f x f x x x x x =--=+∆+∆∆=+∆-+∆=+∆-∆+21x
x
∆+∆，232131x
x y
x x
x x
∆∆+
∆+∆==+∆∆+∆， ∴002lim
lim 351x x y x x ∆→∆→∆⎛⎫=+= ⎪∆+∆⎝⎭
，∴()15f '=. 考点：利用定义求导数. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】800 m/s 【解析】212s at =
，∵()()22
2000111222
s a t t at at t a t ∆=+∆-=∆+∆， ∴
012t t at a s ∆=+∆∆，∴00001lim lim 2t t at s a t a t t ∆→∆→∆∆⎛⎫=+= ⎪∆⎝⎭
，
∵525.010m /s a =⨯，30 1.610s t -=⨯，∴()0800m/s at =. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s .
考点：求瞬时速度. 【题型】解答题 【难度】一般 14. 【答案】(1)
11
m/s 3
(2)6 m/s (3)2 s 【解析】(1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为
()()1010
f f -=-()11
3m /s . (2)()()()()()32
21111211133x x x f x f y x x x
+∆++∆++∆-+∆-∆==
∆∆∆ ()2
2633x x =+∆+∆.当0x ∆→时，6y x ∆→∆，所以物体在1 s 末的瞬时
速度为6 m/s .
(3)()()()()()3232222233=
x x x x x x x x x f x x f x y x x x
⎛⎫
+∆++∆++∆-++ ⎪+∆-∆⎝⎭=∆∆∆ ()2
2222223x x x x x x =+++
∆+∆+∆.当0x ∆→时，2222x y x x
∆→+∆+，令222214x x +=+，解得2x =，即经过2 s ，该物体的运动速度达到14 m/s .
考点：求平均速度，瞬时速度. 【题型】解答题 【难度】一般。