第六讲 相遇和追及(生)

第六讲
相遇与追及
一、课堂引入
1.两个物体在同一直线或环形路线上，同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇，此类行程问题被称为相遇问题。

常用公式：
相遇路程=相遇时间×速度和
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
2、两物体在同一直线或环形路线上同向而行，速度慢的在前，速度快的在后，经过一段时间，速度快的追上速度慢的，此类问题通常被称为追及问题。

常用公式：
追及路程=速度差×时间
追及时间=追及路程÷速度差
速度差=追及路程÷追及时间
二、典例解析
【例题1】
【题干】一只兔子和一只乌龟，同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后兔子继续行
驶3小时后到达乙站。

已知乌龟每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？
【答案】：
解：6小时乌龟行驶的路程：45×6=270（千米），这也是兔子3小时行驶的路程
快车速度：270÷3=90千米/小时
甲乙两地距离：6×(90+45)=810千米
【解析】：考察已知相遇时间及一车的速度，求两地距离。

此类题型解题方法：需先算另一车的速度，再利用相遇路程=相遇时间×速度和，求出两地距离。

【活学活用1】
【题干】甲、乙二人分别以每小时6千米和5千米的速度从A、B两地相向而行．相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？
【例题2】
【题干】一列快车从甲城开往乙城，每小时行65千米，一列客车同时从乙城开往甲城，每小时行60千米，
两列火车在距中点20千米处相遇，相遇时两车各行了多少千米？
【答案】：
解：两列火车距中点20千米处相遇
快车多开了20×2＝40千米
用时40÷（65-60）＝8小时
快车走了65×8＝520千米
【解析】：考察已知两车的速度及距中点距离，求各行距离
此类题型转化为追及问题求出时间，再根据路程=速度×时间，分别求出各行的距离。

【活学活用1】
【题干】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。

甲、乙两地相距多少千米？
【例题3】
【题干】兄弟两人同时从家里出发到学大教育紫荆校区，路程是1400米。

哥哥骑自行车每分钟行200米，
弟弟步行每分钟行80米，在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。

从出发到相遇，弟弟走了多少米？相遇处距学校有多少米？
【答案】：
解：弟弟走的距离：80×[1400×2÷（200+80）]=800米
相遇处与学校距离：1400-800=600米
【解析】：考察同向而行有返回的相遇，已知两车的速度及行驶总距离，求各行距离。

此类题型两人所走路程和为两个总路程，再利用相关公式求距离。

【活学活用1】
【题干】胡豆、琳琳二人上午8时同时从紫荆校区骑车到科大校区去，胡豆每小时比琳琳快6千米。

中午12时胡豆到科大校区后立即返回紫荆校区，在距科大校区15千米处遇到琳琳。

求东、西两村相距多少千米？
【例题4】
【题干】小白、珍珍、春春三人行路，小白每分钟走60米，珍珍每分钟走67.5米，春春每分钟走75米，
小白珍珍从紫荆校区去桐梓林地铁站，春春从桐梓林地铁站去紫荆校区，三人同时出发，春春与珍珍相遇后，又经过2分钟与小白相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【答案】：
解：那2分钟是小白和春春相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是珍珍春春相遇时间里小白珍珍的路程差。

所以珍珍春春相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。

【解析】：三人相遇问题较为复杂可画图，分步分析
【活学活用1】
【题干】彦晞、雅彤、亚琳三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。

彦晞在公路上A处，雅彤、
亚琳在公路上B处，三人同时出发，彦晞与雅彤、亚琳相向而行。

彦晞和雅彤相遇3分钟后，彦晞和亚琳又相遇了。

求A、B之间的距离。

【例题5】
【题干】周周、潇潇两人在相距16千米的A、B两地同时出发，同向而行。

周周步行每小时行4千米，潇潇骑车在后，每小时速度是周周的3倍，几小时后潇潇能追上周周？
【答案】：
解：16÷（3×4-4）=2（小时）
【解析】：此题是两人同向运动问题，潇潇追周周，利用追及问题的关系式，就可以解决问题。

【活学活用1】
【题干】甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。

走15分钟后甲返回原地取东西，
而乙继续前进。

甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分360米的速度追乙，甲骑车多少分才能追上乙？
【例题6】
【题干】教师节学大老师一起乘一辆汽车从校区到三圣乡庆祝，要行360千米。

开始按计划以每小时45千
米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。

因为要按时到达三圣乡，修好车后必须每小时多行30千米。

汽车是在离校区地多远处修车的？
【答案】：
解：途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后，为了按时到达三圣乡，每小时必须多行30千米。

90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。

因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能到达三圣乡，汽车是在离校区360－225=135千米处修车的。

【解析】：此类中途耽搁题型，需先算出停留时间少行的路程，再看之后要用多少时间赶回少行的路程。

再利用相关公式算出距离。

【活学活用1】
【题干】汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地。

汽车出发1小时后原路返回甲地
取东西，然后立即从甲地出发。

为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地？
【例题7】
【题干】婷婷、蓝蓝、春春三人都从A地出发到B地。

蓝蓝比春春晚出发10分钟，40分钟后追上春春；婷婷比蓝蓝晚出发20分钟，100分钟追上蓝蓝。

婷婷出发多少分钟后追上春春？
【答案】：可以假设春春的速度为1米/分钟.
解：(1) 当蓝蓝追上春春时，春春共行了1×（40+10）=50(米)
由此可知蓝蓝行50米用了40分钟
蓝蓝的速度为50÷40 =1.25（米/分钟）
(2) 当婷婷追蓝蓝时，蓝蓝已经先出发走了20分钟，
此时婷婷蓝蓝的距离差为1.25×20 =25（米）
婷婷、蓝蓝的速度差为25÷100 =0.25（米/分钟）
婷婷的速度为1.25＋0.25 =1.5（米/分钟）
(3) 当婷婷追春春时，春春已经先出发走了10+20=30（分钟）
此时婷婷春春的距离差为 1×(10+20)=30（米）
速度差为 1.5-1=0.5（米/分钟）
追及时间为 30÷0.5=60(分钟)
【解析】：三人追及问题，均不知速度时可假设一个人的速度为“1”，再借助图分步分析
【活学活用1】
【题干】张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?
三、合作交流
我们在本次课上学习了7种常见的相遇、追及问题，它们都具有自己特有的题型特点及求解方式。

那么，现在请同学们进入讨论阶段，一起完成这7种题型特点及求解方式的总结。

并且，由大家推举一人进行最后的总结发言。

四、课堂总结
1.已知相遇时间及一车的速度，求两地距离：需先算另一车的速度，再利用相遇路程=相遇时间×速度和，
求出两地距离。

2.已知两车的速度及距中点距离，求各行距离：转化为追及问题求出时间，再根据路程=速度×时间，分别
求出各行的距离。

3.同向而行有返回的相遇，已知两车的速度及行驶总距离，求各行距离：两人所走路程和为两个总路程，
再利用相关公式求距离。

4.三人相遇问题较为复杂可画图，分步分析
5.两人同向运动问题，乙追甲，利用追及问题的关系式，就可以解决问题。

6.中途耽搁题型，需先算出停留时间少行的路程，再看之后要用多少时间赶回少行的路程。

再利用相关公
式算出距离。

7.三人追及问题，均不知速度时可假设一个人的速度为“1”，再借助图分步分析
五、课后作业
1、一列快车和一列慢车同时从甲乙两地相向而行，慢车每小时行50千米，快车比慢车快20%，经过2.5小时，两车相遇，请问甲乙两地相距多少千米？
2、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时可以相遇。

如果两人每小时都少行1.8千米，那么要6小时才能相遇，问AB两地的距离？
3、甲,乙两人从相距1100米的两地同时出发,同向而行,甲每分钟行65千米,乙每分钟行45千米,乙出发时带了一条狗同时出发,狗每分钟跑150米,先向甲跑去,遇到甲后立即回头向乙跑去,遇到乙后立即回头向甲跑去,直到甲追上乙狗才停住.这只狗共奔饱了多少米?
4、某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。

李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？
5、一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米.兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。

问:兔子跑多少米后被猎狗追上?
6、A．B．C是一条路上的三个车站，B站到A、C两站的距离相等，甲和乙同时分别从A、C两站出发相向而行，甲经过B站200米时与乙相遇，然后两人继续前进，甲走到C站立即返回，经过B站600米时又追上乙，A、B两站距离是多少米？
挑战自我：
1、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行。

甲车每小时行40千米。

当两车在途中相遇时,甲车行的路程与乙车行的路程的比是8：7.相遇后,两车立即返回各自的出发地,这时甲车把速度提高25%,乙车速度不变.当甲车返回A地时,乙车距B地还有五分之四小时的路程.则：
（1）乙车每小时行 ( )千米,甲车返回时每小时行（）千米.
（2）甲车相遇时所用的时间与返回时所用的时间的最简整数比是( )
（3）A.b两地之间的路程是多少千米?
2、从A市到B市共有三段不同的公路,第一段公路的长度是第三段公路的长度的2倍,甲、乙两汽车分别从A、B两市同时出发,相向而行,甲车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶,在第二段公路上的速度提高了125%；乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶,在第二段公路上吧速度提高了80%,两车出发1小时20分钟后,甲汽车在第二段公路的1/3处与乙汽车相遇,那么A、B两市之间的公路总长是多少千米。