2025年广西壮族自治区中考数学一轮复习考点突破第3章 函数第12讲 二次函数(7年11考)

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3. 二次函数的图象与系数 a ， b ， c 的关系
考点梳理
a
c
a ＞0
开口向上
a ＜0
开口向下
决定抛物线与 y 轴交
c ＞0
交点在 y 轴正半轴
点的位置，与 y 轴必
c ＝0
交点在原点
有唯一交点为(0， c )
c ＜0
交点在 y 轴负半轴
决定抛物线开口方向
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决定对称

－

轴的位置
(“左同右
考点梳理
二次函数
开口方向
y ＝ ax2＋ bx ＋ c (a≠0)
a ＞0，开口向上
a ＜0，开口向下
图象

越大，开口越小
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2
一般式 y ＝ ax ＋ bx ＋ c (a≠0)的对称轴为 x ＝－

对称轴
；
顶点式 y ＝ a (x－ h )2＋ k (a≠0)的对称轴为 x ＝ h ；交
+
点式 y ＝ a (x－ x1)(x－ x2)(a≠0)的对称轴为 x ＝

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2
一般式 y ＝ ax ＋ bx ＋ c (a≠0)的顶点坐标为(－

顶点坐标
，
−
)；

顶点式 y ＝ a (x－ h )2＋ k (a≠0)的顶点坐标为(h， k )
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二次函数
开口方向
a ＞0时，抛物线上的点距离对称轴越远，其对应函数值越大； a
＜0时，抛物线上的点距离对称轴越远，其对应函数值越小.
可画出函数图象，根据图象求出对应范围内的函数值.
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3. 已知二次函数 y ＝ a (x＋1)(x－3)(a＜0).
(1)该二次函数的最大值为
－4 a
(用含 a 的代数式表示)；
返回
…
3
0
－1
0
3
…
返回
(1)请在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
返回
(2)这个二次函数的解析式为
上
(3)该函数图象开口向
标为
(2，－1)
y ＝ x2－4 x ＋3
，对称轴为
；
⁠
直线 x ＝2
，顶点坐
；
⁠
(4)该函数图象与 x 轴有
个交点，交点坐标为 (1，0)，(3，0) ；
(5)该函数图象与 y 轴交点坐标为 (0，3) ；
一平面直角坐标系中的大致图象可能是(
B
)
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【技巧点拨】由题目所给解析式可直接得出该函数图象与 x 轴的
交点坐标.
将函数解析式转化为一般式方便求解对应函数值.
根据函数图象与参数的关系来判断图象大致位置.
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二次函数的图象与性质(7年
1考)

1. (2022·北部湾经济区12题3分)已知反比例函数 y ＝ (b≠0)的图
(2)当－2≤ x ≤1时，求该二次函数的最大值和最小值(用含 a 的代
数式表示)；
解：∵二次函数的解析式为 y ＝ a (x＋1)(x－3)，
∴其与 x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，其图象的对称轴为直
线 x ＝1.又 a ＜0，
∴当 x ＝1时， y 取得最大值－4 a ；
当 x ＝－2时， y 取得最小值5 a .
A. y1＜ y2
B. y1＞ y2
C. y1＝ y2
D. 无法确定
B
)
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4. 对于二次函数 y ＝－(x＋1)2－3，下列结论正确的是(
A )
A. 函数图象的顶点坐标是(－1，－3)
B. 当 x ＞－1时， y 随 x 的增大而增大
C. 当 x ＝－1时， y 有最小值为－3
D. 图象的对称轴是直线 x ＝1
x 轴交点
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【技巧点拨】方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根是抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c
与 x 轴交点的横坐标.
(2)二次函数与不等式的关系：
设抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c (a＞0)与 x 轴交于(x1，0)，(x2，0)两
点，其中 x1＜ x2，则不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是
解析式为
y ＝2(x－1)2＋3
.
⁠
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11. [源自人教九上P40练习第2题]一个二次函数的图象经过
A (－3，0)， B (1，0)， C (0，3)三点.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .
把点 A (－3，0)， B (1，0)， C (0，3)代入，得
)
向右平移 个单
＝
－ －
位长度
方法总结
上加下
减，左加
右减
＋k
返回
对点训练
7. (2023·柳州鱼峰区一模)把二次函数 y ＝2 x2－1向右平移2个单
位长度，再向下平移4个单位长度后得到的解析式是(
A. y ＝2(x－4)2－3
B. y ＝2(x＋4)2－3
C. y ＝2(x＋2)2－5
D. y ＝2(x－2)2－5
增减性
y ＝ ax2＋ bx ＋ c (a≠0)
a ＞0，开口向上
a ＜0，开口向下

当 x ＜－ 时， y 随


当 x ＜－ 时， y 随 x 的增大

x 的增大而减小；
而增大；

当 x ＞－ 时， y 随


当 x ＞－ 时， y 随 x 的增大

x 的增大而增大
而减小
返回
二次函数
开口方向
最值
y ＝ ax2＋ bx ＋ c (a≠0)
a ＞0，开口向上
a ＜0，开口向下

当 x ＝－ 时， y 有


当 x ＝－ 时， y 有最大

−
最小值

−
值

返回对Βιβλιοθήκη 训练3. 已知点 A (－1， y1)， B (2， y2)都在二次函数 y ＝－2 x2＋1的图
象上，则 y1， y2的大小关系是(
C )
A. x1＝－1， x2＝－3
B. x1＝1， x2＝3
C. x1＝－1， x2＝3
D. x1＝1， x2＝－3
返回
9. (2023·梧州一模)如图，直线 y ＝ kx ＋ h 与抛物线 y ＝ ax2＋ bx
＋ c 交于 A (－2， m )， B (6， n )两点，则关于 x 的不等式 h ＜ ax2
二次函数解析式
一般式： y ＝ ax2＋ bx ＋ c
条件
已知任意三点坐标
顶点式： y ＝ a (x－ h )2＋ k 已知顶点及另一点坐标
交点式： y ＝ a (x－ x1)(x－ 已知与 x 轴的两个交点及另一点坐
x2)
标
返回
对点训练
10. 顶点是(1，3)，开口方向、大小与 y ＝2 x2完全相同的抛物线
与 x 轴没有交点
返回
对点训练
5.

已知一次函数 y ＝ x ＋ c 的图象如图，则二次函数 y ＝ ax2＋

bx ＋ c 在平面直角坐标系中的图象可能是(
C )
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6. 抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的对称轴为直线 x ＝－1，部分图象如
图所示，下列判断中：
① abc ＞0；② b2－4 ac ＞0；③9 a －3 b ＋ c ＝0；④若点(－0.5，
2025年广西壮族自治区中考数学一轮复习考点突破
第3章 函数
第12讲
二次函数
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1. 二次函数的概念及其解析式
考点梳理
一般地，形如 y ＝ ax2＋ bx ＋ c (其中 a ， b ， c 为常数， a ≠0)的函
数叫作二次函数.
一般式： y ＝ ax2＋ bx ＋ c (a≠0).
抛物线与 y 轴交点坐标为(0， c ).
＝ − ，
− ＋ = ，
解得 ቐ＝ − ，
ቐ＋＋ = ，
= .
= ，
∴这个二次函数的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3.
返回
1. 已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐
标 y 的对应值如表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
C. (－1，2)
D. (－1，－2)
B
)
返回
2. 把二次函数 y ＝ x2－4 x －3化成 y ＝ a (x－ h )2＋ k 的形式，正确
的是(
C
)
A. y ＝(x－2)2－1
2
C. y ＝(x－2) －7
B. y ＝(x－2)2＋1
2
D. y ＝(x＋2) ＋1
返回
2. 二次函数的图象与性质
D
)
返回
5. 二次函数与一元二次方程、不等式
考点梳理
(1)二次函数与一元二次方程的关系：
抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 与
b2－4 ac
ax2＋ bx ＋ c ＝0的根
b2－4 ac ＞0
两个不相等的实数根
两个交点
b2－4 ac ＝0
两个相等的实数根
一个交点
b2－4 ac ＜0
没有实数根
没有交点
＋(b－ k ) x ＋ c 的解集是
－2＜ x ＜6
.
⁠
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6. 待定系数法确定二次函数解析式
考点梳理
步骤：①设二次函数的解析式为 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；
②把自变量的值与对应的函数值代入函数解析式，得到关于待定
系数的方程组；
③解方程组求出待定系数；
④确定二次函数解析式.
返回
【方法总结】求二次函数解析式的方法选择：
y ＝ a (x－ h )2＋
y ＝ a (x－ h )2
位长度
k＋m
＋k
向下平移 m 个单
y ＝ a (x－ h )2＋
位长度
k－m
方法总结
上加下
减，左加
右减
返回
平移前
平移方向
平移后
向左平移 m 个单 y ＝ a (x＋ m － h )2
y ＝ a (x－ h )2
＋k
位长度
＋k
2
m
y
a
(x
m
h
∴点 B 离对称轴更远.
∴ a ＜－1或 a ＞3.
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(7)当 t ≤ x ≤3时， y 的取值范围为－4≤ y ≤0，求 t 的取值范围.
解：∵当 x ＝1时， y ＝－4，当 x ＝－1或当 x ＝3时， y ＝0，
∴ t 的取值范围为－1≤ t ≤1.
【技巧点拨】可将 x ， y 的值代入函数解析式求对应值.

象如图所示，则一次函数 y ＝ cx － a (c≠0)和二次函数 y ＝ ax2＋
bx ＋ c (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
返回
(3)若当－1≤ x ≤2时，该二次函数的最大值为8，求 a 的值；
解：∵该函数图象的对称轴为直线 x ＝1，且 a ＜0，
∴当 x ＝1时， y 取得最大值－4 a ，
即－4 a ＝8，解得 a ＝－2.
返回
(4)一次函数 y ＝ ax － b 与二次函数 y ＝ a (x＋1)(x－3)(a＜0)在同
象上，则 y1， y2， y3的大小关系为
y1＞ y3＞ y2
.
⁠
【技巧点拨】判断图象上点对应的函数值大小时，若点位于对称
轴异侧，先将点转化到对称轴同侧，再根据增减性求解.
返回
2. 已知二次函数 y ＝ x2－2 x －3.
(1)当 x ＝－1时， y ＝
0 ；
⁠
－4
(2)当1≤ x ≤4时， y 的最小值是
异”)

－ ＜0⇔ a ·b ＞

对称轴在 y 轴左侧
0(a， b 同号)
b ＝0
对称轴是 y 轴

－ ＞0⇔ a ·b ＜

对称轴在 y 轴右侧
0(a， b 异号)
返回
b2－4 ac
决定与 x 轴的
交点个数
b2－4 ac ＞0
与 x 轴有2个交点
b2－4 ac ＝0
与 x 轴有1个交点
b2－4 ac ＜0
2
⁠
⁠
(6)该函数有最
(7)当 x
＜2
小
值，为
－1
；
⁠
时， y 随 x 的增大而减小；
返回
(8)当 x
＞2
时， y 随 x 的增大而增大；
(9)当 x ＝－2时， y ＝
(10)当 y ＝8时， x ＝
15 ；
⁠
－1或5
；
⁠
(11)若点 A (－2， y1)， B (1， y2)， C (5， y3)都在该二次函数的图
(3)当－2≤ x ≤2时， y 的最大值是
(4)当－1＜ x ≤5时， y 的取值范围为
(5)当 y ＜0时， x 的取值范围为
5
；
⁠
；
⁠
－4≤ y ≤12
－1＜ x ＜3
；
⁠
；
⁠
返回
(6)若点 A (－1， y1)， B (a， y2)在该函数图象上，且 y1＜ y2，求 a
的取值范围；
解：∵二次函数y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，且y1＜y2，
x ＞ x2
，不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集是
x ＜ x1或
⁠
x1＜ x ＜ x2 .
⁠
返回
对点训练
8. (2023·柳州柳南区一模)已知二次函数 y ＝ x2－2 x ＋ k (k为常数)
的图象与 x 轴的一个交点是(－1，0)，则关于 x 的一元二次方程 x2
－2 x ＋ k ＝0的两个实数根是(
顶点式： y ＝ a (x－ h )2＋ k (a≠0).
抛物线的顶点坐标为(h， k ).
返回
交点式： y ＝ a (x－ x1)(x－ x2)(a≠0).
x1， x2为抛物线与 x 轴交点的横坐标.
返回
对点训练
1. 抛物线 y ＝－(x－1)2－2的顶点坐标是(
A. (1，2)
B. (1，－2)
y1)，(－2， y2)均在抛物线上，则 y1＞ y2；⑤5 a －2 b ＜0.其中正
确的个数为(
A
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
)
返回
4. 二次函数图象的平移
考点梳理
将二次函数进行平移变换时，要先化为顶点式 y ＝ a (x－ h )2＋
k (a≠0).
返回
平移前
平移方向
平移后
向上平移 m 个单