2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：1131函数的单调性与导数

解析：由导函数 f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所 以函数 f(x)在(4,5)上单调递增．故选 C. 答案：C
5．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________．
解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令 f′(x)>0，解得 x>2. 答案：(2，＋∞)
【课标要求】 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一 些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减
(2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为 (0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间 为(－∞，0)和(2，＋∞).
【解析】 (1)函数的定义域为R， 因为f(x)＝x3－2x2＋x， 所以f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)>0， 1 解得x>1或x<3. 1 因此f(x)的单调递增区间是－∞，3，(1，＋∞)． 1 令f′(x)<0，解得3<x<1. 1 因此f(x)的单调递减区间是3，1.
课堂探究 互动讲练 类型一 利用导数研究函数的单调性 [例1] 已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图 象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【解析】 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即 函数f(x)在(－∞，0)上为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即函数 f(x)在(0,2)上为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)在(2，＋ ∞)上为增函数．观察选项易知D正确． 【答案】 D
方法归纳 求函数单调区间的步骤
[注意] ①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进 行． ②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能 用符号“∪”连接.
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： ex (1)f(x)＝ ； x－2 (2)f(x)＝－x3＋3x2.
解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． exx－2－ex exx－3 f ′( x ) ＝ ＝ . x－22 x－22 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3， ＋∞)； 由f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以 函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
2．函数 y＝x3－3x 的单调减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：y′＝3x2－3， 由 y′＝3x2－3<0 得－1<x<1， ∴函数 y＝x3－3x 的单调减区间是(－1,1)． 答案：C
3．y＝xlnx 在(0,5)上的单调性是( ) A．单调递增 B．单调递减 1 1 C．在0，e 上单调递减，在e ，5上单调递增 1 1 D．在0，e 上单调递增，在e ，5上单调递减
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 2 3 x －1 2 f′(x)＝6x－x ＝2· x . 3x2－1 令f′(x)>0，即2· x >0， 3 解得x> 3 ；
3x2－1 令f′(x)<0，即2· x <0， 3 解得0<x< 3 .
所以f(x)的单调递增区间为 3 单调递减区间为0， . 3 3 ，＋ ∞ ， 3
解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区 间，故排除B，故选D. 答案：D
类型二 利用导数求函数的单调区间 [例2] 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－2x2＋x； (2)f(x)＝3x2－2lnx.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
|自我尝试| 1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)是定义在 R 上的增函数， 则 f′(x)>0.( × ) (2)函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越“平 缓”．( × )
解析：函数的定义域为(0，＋∞)． 1 因为 y′＝lnx＋1，令 y′>0，得 x>e ； 1 令 y′<0，得 x<e . 1 1 所以函数 y＝xlnx 在0，e 上递减，在e ，5上递增． 答案：C
4．如图所示是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下 面判断正确的是( ) A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上 f(x)是增函数
方法归纳 通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化 的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分 析导数的正负． 特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系.
跟踪训练 1 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如 图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )