河北巨鹿中学2016-2017学年高二数学上学期第三次月考试题 理

河北巨鹿中学2016-2017学年度第一学期第三次月考
高二数学试题（理）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22题，共150分。

考试结束后， 将答题卡交回。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

3. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

5. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑。

6.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点坐标为（ ） A ．(4,0,6) B ．(4,7,6)-- C ．(4,0,6)-- D ．(4,7,0)-
2. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）
A.//,//,m n m n αβ⊥
B.//,,//m n m n αβ⊥
C.,//,m n m n αβ⊥⊥
D.,,//m n m n αβ⊥⊥
4．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.54
B.162
C.54+
162+5．已知点)1,3(--和)6,4(-在直线023=--a y x 的两侧，则实数a 的取值范围为（ ） A.)24,7(- B.),24()7,(+∞--∞ C.)7,24(- D.),7()24,(+∞--∞
6．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2
＋y 2
＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A.1
B.
D.3 7．椭圆x 2
＋4y 2
＝1的离心率为（ ）
A. B.34
C. D.23
8．若椭圆
22
1369
x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A ．2 B ．-2 C ．
13 D ．12
- 9
．如果双曲线经过点(p ，且它的渐近线方程为y x =，那么该双曲线方程为（ ）
A.2
2
312
y x -
= B.22122x y -= C.22136x y -= D.22122y x -= 10.已知抛物线()2
:20C y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，若
:3:1AF BF =，则直线l 的斜率等于（ ）
A. B.1±
C.
11.下列说法的正确的是（ ）
A ．经过定点()
P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程
x a y
b
+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()
()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示
12．已知椭圆C 的方程为()22
122210,,x y a b F F a b
+=>>为其左、右焦点，e 为离心率，P
为椭圆上一动点，有如下说法：
①当02
e <<
12PF F ∆为直角三角形的点P 有且只有4个；
②当2
e =
时，使12PF F ∆为直角三角形的点P 有且只有6个；
1e <<时，使12PF F ∆为直角三角形的点P 有且只有8个； 以上说法中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．直线()1y kx k R =+∈与椭圆
22
15x y m
+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 . 14.已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且k a b +与2a b -互相垂直，则k 的值为 .
15.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为
_______.
16．给出如下命题:
①“在ABC ∆中，若sin sin A B =，则A B =”为真命题;
②若动点P 到两定点()()124,0,4,0F F -的距离之和为8，则动点P 的轨迹为线段;
③若p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题;
④设x R ∈，则“230x x ->”是“4x >”的必要不充分条件;
⑤若实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为
3; 其中所有正确命题的序号是_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题10分）已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；
（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．
18．（本题12分）已知命题0:[0,2]p x ∃∈，2log (2)2x m +<；命题:q 关于x 的方程
22320x x m -+=有两个相异实数根.
（1）若()p q ⌝∧为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
19.（本题12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.
（1)求证：PA ∥平面EDB ； （2)求证：PB ⊥平面EFD ； （3)求二面角C －PB －D 的大小.
20．（本题12分）已知P Q ，为圆2
2
4x y +=上的动点,(2,0)A ，(1,1)B 为定点. （1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；
（2）若90PBQ ∠=，求线段PQ 中点N 的轨迹方程.
21.（本题12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ．
（1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程．
22．（本题12分）如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为AB 的中点.
（1）求证：1//BC 1平面A CD ；
（2）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D =，求直线1A D 与平面
11CBB C 所成角的正弦值.
2016-2017学年度第一学期高二月考三数学（理）答案
1.B
2. B.
3. D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10. D 11.D 12．D
13．()()1,55,⋃+∞ 14. 75 15. 3
π
16①②④ 17. 解：（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得3
2
a =； (4)
（2）当12//l l 时，有()()230
320
a a a a --=⎧⎪⎨
--≠⎪⎩解得3a =， (8)
12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=
，距离为3
d =
=
． ……10 18．解:令2()log (2)f x x =+，则()f x 在[0,2]上是增函数，
故当[0,2]x ∈时，()f x 最小值为(0)1f =，故若p 为真，则21m >，1
2
m >
. ……2分 24120m ∆=->即21
3
m <
时，方程22320x x m -+=有两相异实数根，
∴33
m -
<<； ……4分 （1）若()p q ⌝∧为真，则实数m
满足1,23
3m m ⎧
≤⎪⎪
⎨⎪-<<⎪⎩
故12m <≤， 即实数m 的取值范围为
……8分
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假，
若p 真q 假，则实数m
满足1,233m m m ⎧>⎪⎪
⎨⎪≤-≥⎪⎩
即m ≥；
若p 假q 真，则实数m
满足1,2m m ⎧≤⎪⎪
⎨⎪<<⎪⎩
即12m <≤.
综上所述，实数m的取值范围为
13
(][,)
2
+∞. (12)
19.
（1) 证明: 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点.
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO. (2)
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB. (4)
（2)证明: ∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.
而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.① (6)
同样，由PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC,又PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PDC.
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC＝C可得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD. (8)
（3)解由（2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. (9)
由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，
则PD＝DC＝a，BD，
PB，PC a，DE＝a，
在Rt△PDB中，DF＝ a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，
∴∠EFD ＝60°. (11)
∴二面角C －PB －D 的大小为60°. (12)
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理，二面角
20．解:（1）设AP 中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(22,2)x y -. (2)
∵P 点在圆2
2
4x y +=上，
∴2
2
(22)(2)4x y -+=. (4)
故线段AP 中点的轨迹方程为2
2
(1)1x y -+= ……5 （2）设PQ 的中点为(,)N x y ，
在Rt PBQ ∆中，||||PN BN =， ……7 设O 为坐标原点，连结ON ，则ON PQ ⊥，
所以2
2
2
2
2
||||||||||OP ON PN ON BN =+=+， ……9 所以2
2
2
(1)(1)4x y x y 2
++-+-=. (11)
故PQ 中点N 的轨迹方程为2
2
10x y x y +---= ……12 考点：圆的方程的求解.
21.解:（1）112F B B ∆
为等边三角形，则22
2
2
2224
331
113a a b b c c a b b ⎧=⎪⎧⎧-==⎪⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
=-=⎪⎪⎩⎩⎪=⎪⎩
……2 椭圆C 的方程为：2
23314
x y +=； ……3 （2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=， ……5 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； ……6 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，
由22
(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则2122421
k x x k +=+，21222(1)
21k x x k -=+， (8)
111(1,)F P x y =+，1
22(1,)FQ x y =+， ∵11F P FQ ⊥， ∴11
0F P FQ ⋅=， 即2
1212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--
22
2
2
1212271
(1)(1)()1021
k k x x k x x k k -=+--+++==+ (10)
解得2
1
7
k =
，即7k =±，
故直线l 的方程为10x -=或10x -=. ……12 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．
22．(1)证明：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ，连接DE ，则E 为1AC 中点，
D 为AB 的中点，∴1//DE BC (2)
∵B
∴11
//BC ACD 平面. (4)
（2）取11B C 的中点H ，连结1A H ，则111A H B C ⊥
1111A A A B C ⊥面，故11AA A H ⊥，∴11BB A H ⊥ 11
11B C BB B =，∴111A H BCC B ⊥平面 (8)
取11A B 中点M ，连结BM ，过点作1//MN A H ，则 连结BN ，
1//A D BM ，
∴MBN 为直线1A D 与平面
11BCC B 所成的角， (10)
即直线1A D 与平面所
11BCC B 成的角的正弦值为10
. (12)。