江苏省常州市礼嘉中学2021年高中数学多选题100及解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+<≤⎪⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈；
当2x ππ≤≤时，()()
sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π
=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x x
f x e e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯= ⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
2．已知函数ln ,0
()1,0
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a
的可能取值是（ ）
A ．0
B ．1
2
- C ．1- D ．13-
【答案】BD 【分析】
分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可
得出答案. 【详解】
画出函数,0,
()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩
的图象：
函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，
故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1
=x e
，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-
时，1(())2
f f x =， 故1()2
f x =-，()f x e =，()f x e =，
当1
()2
f x =-
时，由图象可知，有1个根， 当()f x e 2个根， 当()f x e
=
时，由图象可知，有3个根，
故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e
=
， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根，
当1()f x e
=时，由图象可知，有3个根，
故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3
f f x =
， 故2()3
f x =-，3()f x e ，3()f x e =， 当2
()3
f x =-时，由图象可知，有1个根，
当3()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当3
1
()f x e
=
时，由图象可知，有3个根，
故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】
关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.
3．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x π
π⎧<<⎪
=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ）
A ．1ab =
B ．26c d π+=
C ．abcd 的取值范围是()153,165
D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛
⎫
⎪⎝⎭
【答案】ACD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】
由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得1
99
x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可得
1
191115179
a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得
1ab =，A 选项正确；
令
()44
2
x k k Z ππ
π
π+=
+∈，解得()41x k k Z =+∈，
当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫
=+∈
⎪⎝
⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()()
,d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；
()()()2
2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确；
126a b c d a a
+++=+
+，下面证明函数1
y x x =+在()0,1上为减函数，
任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则
()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212
1x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，
所以，函数1
y x x
=+
在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛
⎫+++=++∈ ⎪⎝
⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
4．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．1212
()()f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠
，利用基本不等式知
1122lg 22x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭
()()
(
)221121lg lg lg 2
22
f x f x x x x x +=
==+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，
解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
1lg lg 2
x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
5．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有
（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.
【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117
x x -+⇒=，， 由22341515
12t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
6．已知函数()()()2
2
2
24x x f x x x m m
e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()t t f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2()42()0t t f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
7．已知函数()()2
2
14sin 2
x
x
e
x f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增
D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x
e x e
f x x e e
-+=
+-， 定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称， ()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x f x e x e
'=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x
g x e x e =-
+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x
x
g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1()2sin x x
f x e x e '=-
+，且()'
f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
8．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是
[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是
（ ） A ．(
)f x =B ．()2
22f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD 【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区
间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，
可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()2
2
2222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩
，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010
m
n
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 2
1111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，
单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122
m n ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
9．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
10．已知函数()2221,0
21,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩
,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，2
21y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数2
21y x
x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞
所以12,012,122)01,12(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪
⎪
-++-≤<⎨⎪
⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
2
01x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--=
因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=
<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间()
,12-∞-上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
11．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()3
2
1f x x x =-+
B ．()21x
f x e x =--
C ．()3ln 1,0
()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩
D ．4()sin f x x x =
【答案】BC 【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，
即可得到所求结论． 【详解】
解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；
0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()3
2
1f x x x =-+，()2
132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由
()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得2
3
x ≥
，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；
B 中，()21x
f x e x =--，()21x
f x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0
x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21x
f x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，
令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x x x F x e e e --'=--+≤-+=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，
∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；
C 中，由函数()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩，当0x <时，31
()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，
∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1
()201
F x x '=
-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，
∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；
D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，
而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
12．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时
()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩
，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）
A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点
B ．若
3
2
m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若3
02
m <≤
，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】
设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线
()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合
可判断各选项的正误. 【详解】
由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：
令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，
()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函
数，
且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，
当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32
m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x
'=
， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01
x e
=
，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得
3
2
m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得3
02
m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
13．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a
=-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确； 对于B 选项，当3a
=-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
14．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
122
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
15．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32
()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【答案】ABC 【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
故选：ABC. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e
e x x x
x e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
16．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212
x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>， 所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()22
1212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()7
42ln 24
h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
，故C 正确；
当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()f x 在1
4x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
17．设函数()()1x a f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x
a
a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ． 【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x
a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得
ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1
()()h x h e e
==．
∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则
ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=
-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值， 又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，
()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
18．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b
=+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x
f x x
=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12
y x =-
C ．3e
x y =
D ．1122
y x =
- 【答案】AB 【分析】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =
，可得()2
1ln x
f x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1
x g x e
-=，可得()1
e
0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0
2
1ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -=
=-，可得00
21
00
ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以2
1ln 1
2()
e k e e -=
=，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x
y e
=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =
-过点()1,0，斜率为1
2，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D. 故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.
19．若方程()2
110x m x -+-=和()1
20x m e
x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，
()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）
A ．3201x x <<<
B ．1310x x -<<
C ．(),1m ∈-∞- D
．11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x
y e
-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x
y e
-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】
解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x
m e
-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x x
y e
-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =-
-，定义域为{}0x x ≠，21
'10y x
=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；
对于函数1
2x x y e -=
-，1
1'x x
y e --=
，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-； 故作出函数11y x x =-
-，12x x
y e
-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x x
x x x e
--
-<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()111
12,1x x -
-∈--
，解得11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭
， 所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.
20．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()2212122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为
22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2
m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+==
=
、， ()2ln x
g x x
-'=
，。