2023年高考数学一轮复习 课件 第十四单元 推理与证明、算法初步、复数

+2
f(2n)≥
2
(n∈N*)
.
3
4
5
6
+2
2
2
2
2
2
【解析】∵f(21)= ,f(22)>2= ,f(23)> ,f(24)>3= ,∴归纳得 f(2n)≥
(n∈N*).
23
目录
点拨
观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可求解.
24
目录
【追踪训练 3】已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:
x=x0 才是函数 f(x)的极值点,所以大前提错误.故选 A.
11
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5.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则
1
2
1
= .推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球
4
1
体积为 V2,则 =
2
1
27
.
故选 A.
19
目录
考向2 与等式有关的推理
(2022·江西九江期末)已知 1 +2 =
3
3
6 2
2
3
3
3
,1 +2 +3 =
12 2
2
3
3
3
3
,1 +2 +3 +4 =
20 2
2
,…,若
13+23+33+43+…+n3>5n2,则正整数 n 的最小值为( A ).
A.4
B.3
C.5
D.6
【解析】根据 13+23
3
1
4
4
3
3
3
为 bn= ×4bn-1= bn-1,所以{bn}是公比为 的等比数列,而首项 b1=3,所以
4 n-1
bn=3·
.
3
27
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点拨
根据题中给出的图形,先分析边长之间的变换规律,再分析边数的
变化规律,最后分析周长的变化规律即可.
28
目录
【追踪训练 4】分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在 20 世纪 70
,故 an=(n+1)·2n-2,当 n=1 时,也符合题意.
16
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点拨
本题考查归纳推理,解题关键是观察出数表中的规律.本题有一个规律是每
一行都成等差数列,且第 n 行的公差为 2n-1,然后根据数表的生成方法得出相邻两行
第一个数之间的关系,结合数列的知识求得结论.
17
目录
【追踪训练 1】(2022·安阳模拟)如图,将平面直角坐标系的格点(横、
25
目录
考向4 与图形变化有关的推理
(2022·广州三模)1904 年,瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图①,取一个边长为 1 的正三角
1
1
3
3
形,在每个边上以中间的 为一边,向外侧凸出作一个正三角形,再把原来边上中间的 擦掉,得到第 2
个图形(如图②),重复上面的步骤,得到第 3 个图形(如图③).这样无限地作图下去,得到的图形的轮廓
时,2n≥n2.故选 C.
8
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3.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+19 - (n<19,且 n∈N*)成
*
立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若 b9=1,则存在的等式为 b1b2…bn=b1b2…b
. 17-n(n<17,且 n∈N )
1 1 1 1
1
推,…,则第 5 个图形的边长为 1× × × × = .以一条边为例,原本的一条被分成了 3 份,
3 3 3 3 81
擦去一份,在擦掉的那条边上又衍生出 2 条,即原本的 1 条边变成现在的(3-1)+2=4 条
1
边,边数为原来的 4 倍,边长为原来的 ,设第 n 个图形的周长为 bn,所以周长之间的关系
年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提
供了全新的思路.按照如图①所示的分形规律可得如图②所示的一个树形图.
若记图②中第 n 行黑圈的个数为 an,则 a2021=
32020 -1
2
.
29
目录
【解析】根据题图①所示的分形规律,可知 1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈,1 个黑
线称为科赫曲线.云层的边缘,山脉的轮廓,海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方
1
式来研究,这门学科叫“分形几何学”.则第 5 个图形的边长为
,第 n 个图形的周长
81
4 n-1
3·
为
.
3
26
目录
1
【解析】第 1 个图形的边长为 1,第 2 个图形的边长为第 1 个图形边长的 ,依次类
3
全部
推理 物的________对象都具有这种性质的推理
一般
特殊
类比 根据两类事物之间具有某些类似（一致）性，推测一类事 由________到
特殊
推理 物具有另一类事物类似（或相同）的性质的推理
________
4
目录
2.演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出在某个特殊情况下的结论，我们把这种
特殊
的极值点.以上推理( A ).
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
10
目录
【解析】大前提是“对于可导函数 f(x),若 f'(x0)=0,则 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不是真命
题,因为对于可导函数 f(x),如果 f'(x0)=0,且满足在 x0 附近左右两侧导函数值异号,那么
2
31
目录
【解析】令 1+
1
1
1+…
1+
故 1+
1
1
1+…
1+
1+ 5
=
【解析】从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球
和内切球的半径之比为 3∶1,故正四面体 P-ABC 的内切球体积 V1 与外接球体积 V2 之

比等于 1 =
2
1 3 1
= .
3
27
12
目录
讲 考点考向
13
目录
考点1 归纳推理
【考向变换】
考向1 与数字有关的推理
根据上述分解规律,若 m3(m∈N*)的分解中最小的数是 73,则 m 的值
为
9
.
【解析】根据 23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从 23 起,m3 的分解规律恰为数列
3,5,7,9,…中若干连续项之和,23 为前两项和,33 为接下来三项和,故 m3 的首个数为 m2-m+1.
因为 m3(m∈N*)的分解中最小的数是 73,所以 m2-m+1=73,解得 m=9 或 m=-8(舍去).
22
目录
考向3 与不等式有关的推理
1 1
1
3
5
2 3

2
2
设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,
观察上述结果,可推测一般的结论为
纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标 0,点(1,0)处标
1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1)处
标 6,点(0,1)处标 7,…,以此类推,则标 20212 的格点的坐标为( A ).
A.(1011,1010)
圈数乘 2,分别是 0,2,8,26,80,…,即 1-1,3-1,9-1,27-1,81-1,…,所以可以归纳出第 n 行的黑
3 -1 -1
圈数 an=
2
*
32020 -1
(n∈N ),所以 a2021=
2
.
30
目录
考点2 类比推理
【题组过关】
1.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至
（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( × )
（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(
√ )
（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
( × )
（4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( × )
7
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【对接教材】
2.对于任意正整数 n,2n 与 n2 的大小关系为( C ).
A.当 n≥2 时,2n≥n2
B.当 n≥3 时,2n≥n2
C.当 n≥4 时,2n≥n2
D.当 n≥1 时,2n≥n2
【解析】当 n=2 时,2n=n2;当 n=3 时,2n<n2;当 n=4
时,2n=n2;当 n=5 时,2n>n2.归纳并结合题干判断,当 n≥4
C.(2020,2019)
B.(1009,1008)
D.(2021,2020)
18
目录
【解析】点(1,0)处标 1,即 12;点(2,1)处标 9,即 32;点(3,2)处标 25,即 52;….由此推断点
(n+1,n)处标(2n+1)2,当 2n+1=2021 时,n=1010,故标 20212 的格点的坐标为(1011,1010).
推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到________的推理.
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
Байду номын сангаас
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
5
目录
拓展知识
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要
确定其正确性，则需要证明.
个数是 an,则第 n 行第 2 个数是 an+2 ,从而可得 an=2an-1+2
n-1

所以
2
-1 1
(n≥2),从而 - -1 = (n≥2),
2 2
4
n-2
1

1
4
2
2
是等差数列,公差为 ,首项为 1 = ,

1 1
+1
2
2 4
4
所以 = + (n-1)=
于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如
在 2 + 2 + 2 + …中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值 x,这可以通过方
程 2 + =x 确定出来 x=2,类似地不难得到 1+
1
=( C ).
1
1+
1+…
A.
C.
- 5-1
2
1+ 5
2
B.
D.
5-1
2
1- 5
圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈,把题图②中的树形图的第 1 行记为(1,0),第 2 行记为(2,1),
第 3 行记为(5,4),第 4 行的白圈数为 2×5+4=14,黑圈数为 5+2×4=13,所以第 4 行的“坐
标”为(14,13),同理可得第 5 行的“坐标”为(41,40),第 6 行的“坐标”为(122,121),….各行黑
因为 n 为正整数,所以满足条件的正整数 n 的最小值为 4.故选 A.
20
目录
点拨
观察每个式子的特点，找到规律后可求解.
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目录
【追踪训练 2】对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方
式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
1
x+ ≥2,

4

4

x+ 2 = + + 2 ≥3,
2 2

27
27
x+ 3 = + + + 3 ≥4,

3 3 3
…

类比得,x+ ≥n+1(n∈N*),则 a= nn

.
【解析】由已知三个式子知,当 n=1 时,a=1;当 n=2
时,a=22=4;当 n=3 时,a=33=27.由此归纳可得 a=nn.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，容
易犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，若前提与推理
形式是正确的，则结论必定是正确的；若大前提或小前提错误，尽管推理形式
是正确的，但所得结论是错误的.
6
目录
夯实基础
【概念辨析】
1. 判断下面结论是否正确.（对的打“√”，错的打“×”)
14
目录
如图数表,它的第一行数由正整数从小到大排列得到,此后下一行数
由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推,则该
数表中,第 n 行第 1 个数是 (n+1)·2n-2
.
15
目录
【解析】观察数表,得出每一行都成等差数列,且第 n 行的公差为 2n-1,因此设第 n 行第 1
2023届
数学
高考第一轮复习
第十四单元 推理与证明、算法初步、
复数
§14.1
合情推理与演绎推理
学 基础知识
讲 考点考向
悟 方法技巧
目录
学 基础知识
学 基础知识
3
目录
知识清单
1.合情推理
类型
定义
特点
部分
由________到
部分
归纳 根据一类事物的________对象具有某种性质，推出这类事
整体
________、由个别到
【解析】根据类比推理的特点可知,等比数列和等差数列类比,在等差数列中是
和,在等比数列中是积,故有 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,且 n∈N*).
9
目录
【易错自纠】
4.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x),若 f'(x0)=0,则 x=x0 是
函数 f(x)的极值点.因为 f(x)=x3 在 x=0 处的导数值为 0,所以 x=0 是 f(x)=x3
=
=
=
若
6 2
=32=(1+2)2,13+23+33
2
12 2
2
2 3
3
=6 =(1+2+3) ,1 +2 +33+43
2
20 2
=102=(1+2+3+4)2,…,可得
2
( +1) 2
2
2