四川省任隆中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

四川省任隆中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，若复数10
3m i
++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
2．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．
2222
i - D ．
2222
i + 3．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
5．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，
，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝
上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ）
A ．
919
B ．
100
9
C ．
118
9
D ．
127
9
7．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．240
B ．264
C ．274
D ．282
9．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4
k k Z π
απ=+∈的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知i 是虚数单位，若1z
i i
=-，则||z =（ ） A 2
B ．2
C 3
D ．3
11．已知P 为圆C ：2
2
(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )
A ．22
1916
x y +=
B ．22
1916
x y -=
C ．22
1916
x y -=（0x <）
D ．22
1916
x y -=（0x >）
12．已知函数2sin ()1
x f x x =
+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π
=时，
函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1
y x
=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧BC 上．若OAC ∆是等边三角形，且满足·0OQ OP =，则·OP BQ 的最小值为___________.
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则
2
2222
22142a c b S a c ⎡⎤
⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，815
tan 7
BCD ∠=
，则ABC 的面积为________． 15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为_______.
16．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，斜率为2F 且与抛物线交于A B ，两点，O 为坐标原点，
若A 在第一象限，那么
AFO BFO
S
S
=_______________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大. 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b （a 2+c 2﹣b 2）＝a 2ccosC +ac 2cosA ． （1）求角B 的大小； （2）若△ABC
外接圆的半径为
3
，求△ABC 面积的最大值. 19．（12分）已知1()252
f x x x =+--
. （1）求不等式()1f x 的解集；
（2）记()f x 的最小值为m ，且正实数,a b 满足
44
a b a mb b ma
+=+--.证明：2a b +.
20．（12分）已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
21．（12分）设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.
(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =
-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：2
13
n T ≤<.
22．（10分）已知函数()|2||4|f x x x =++-. (1)求不等式()3f x x ≤的解集；
(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】
由复数的除法运算化简可得
10
33m m i i
+
=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题. 2、C 【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】
解: )()())1111111222
i i i z i
i i i ---=
=
===-+++-， 故选：C 【点睛】
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题. 3、A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ；
函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期为22T π
π== ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
4、B 【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】
∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,
∴()()111
1a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，
解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5、A 【解析】
设球心为，三棱柱的上底面
的内切圆的圆心为
，该圆与边
切于点，根据球的几何性质可得
为
直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【详解】 如图，设三棱柱为，且
，高． 所以底面为斜边是
的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆
与边
切于点，
则圆
的半径为
．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以
，
即球的半径为，
所以球的体积为．
故选A ． 【点睛】
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径
，合理利用中间结论可提高解
题的效率． 6、B 【解析】
由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2
()14
m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可. 【详解】
抛物线2
()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，
， 则12
p
＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2
()14
m m ，，B 点的坐标为()113n n ，
，， 如图：
∴22
111142111422
22m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩
，
解得62m n =⎧⎨=⎩，或343
359m n ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(舍去)， ∴9(6)A ，
∴直线AF 的方程为4
13
y x +＝
， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ，
由2413
4y x x y ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或23
19x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴21,39D ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， ∴2
2
21100||69399AD ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 故直线AF 被C 截得的弦长为100
9
． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.
7、D 【解析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】
由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，
1.9%a c
c
-=，则有1 1.9%
a
c a b =
<=+，所以D 正确.
故选：D 【点睛】
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题. 8、B 【解析】
将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，
其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()34
36536246302642
S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 9、B 【解析】
由0a b =，可得cos20α=，解出即可判断出结论． 【详解】
解：因为(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--且0a b =
22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==． 222
k π
απ∴=±
，解得()4
k k Z π
απ=±
∈．
∴0a b =是()4
k k Z π
απ=+
∈的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10、A 【解析】 直接将
1z
i i
=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将
1z
i i
=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+
z =故选：A 【点睛】
考查复数的运算及其模的求法，是基础题. 11、B 【解析】
如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】
如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，
故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，
26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为22
1916
x y -=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 12、A 【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭
知③错误；令()()1
g x f x x
=-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确. 【详解】
由题意得：()f x 定义域为R ，
()()
()
()2
2
sin sin 1
1
x x
f x f x x x --=
=-
=-+-+，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；
()
()()
2
2
21cos 2sin 1x x x x
f x x +-'=
+，02f π⎛⎫'∴≠ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫
∴
⎪⎝⎭
不是最值，③错误； 令
()()221
sin 1sin 111
x x x x g x f x x x x x --
=-
=-=++，
当0x >时，sin x x <，10x
>，()0g x ∴<，此时()f x 与1
y x =无交点；
当0x <时，sin x x >，10x
<，()0g x ∴>，此时()f x 与1
y x =无交点；
综上所述：()f x 与1
y x
=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】
本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解析】
建系，设AP m =，表示出P 点坐标，则()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，根据m 的范围得出答案． 【详解】
解：以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，23)， 设(04)AP m m =，则1(42P m -，3
)2
m ，
∴1
(42OP m =-，3)2m ，(4,0)OB =，
0OQ OP =，
∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，
显然当m 取得最大值4时，OP BQ 取得最小值1． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题． 14、
3154
. 【解析】
利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】
tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠=
=-∠∠1
cos 4
ACB ∠=-，由余弦定理可知
2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得2
2222
221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，所以S =
. 【点睛】
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易. 15
【解析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示2b a =，再由双曲线a ，b ，c
关系表示c =，最后结合双曲线离心率公式计算得答案. 【详解】
因为双曲线为22
221(0,0)x y a b a b -=>>，所以该双曲线的渐近线方程为b y x a
=±.
又因为其一条渐近线经过点(1,2)，即2b
a
=，则2b a =，
由此可得c
c e a
⇒=
【点睛】
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题. 16、2 【解析】
如图所示，先证明
||||
AFO BFO
S
AF S
BF =
，再利用抛物线的定义和相似得到
||
2||
AFO BFO
S
AF S BF =
=. 【详解】
由题得1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=
⋅∠,1
||||sin 2
BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠. 因为,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠.
所以
||
||
AFO BFO
S
AF S
BF =
, 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE AM ⊥于点E, 设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ， 所以|AE|=n-m ，因为22AB k =所以|AB|=3(n-m)， 所以3(n-m)=n+m ， 所以
2n
m
=. 所以
||=2||AFO BFO
S AF n
S
BF m
=
=. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设2
1
1x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解集为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以()f x 的单调增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有
两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==-> ⎪
⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=--
⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则22
2112()0a g a a a a --'=
+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫
<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，因为211a a >，
所以存在2211,x a a ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212
ln ln x x x x =，因为21x x >，所以
211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以
21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=
-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1
t t
h t t t +=
>-，则2
2
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则2
22
12(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t
单调递增，即()12ln x x 随着2
1
x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.
【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题. 18、（1）B 1
3
π=（2
【解析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB ，进而可求B ；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】
（1）因为b （a 2+c 2﹣b 2）＝ca 2cosC +ac 2cosA ，
∴222cos cos cos abc B ac C ac A =+，即2bcosB ＝acosC +ccosA 由正弦定理可得，2sinBcosB ＝sinAcosC +sinCcosA ＝sin （A +C ）＝sinB ， 因为(0,)B π∈，sin 0B >所以1cos 2
B =， 所以B 1
3
π=
； （2）由正弦定理可得，b ＝2
RsinB 232
=
⨯=2， 由余弦定理可得，b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ， 即a 2+c 2﹣ac ＝4，因为a 2+c 2≥2ac ，
所以4＝a 2+c 2﹣ac ≥ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，即ac 的最大值4， 所以△ABC 面积
S 12acsinB ==≤
【点睛】
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题. 19、（1）13|2x x ⎧
-⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
；（2）见解析 【解析】
（1）根据1
()252
f x x x =+--
，利用零点分段法解不等式，或作出函数()f x 的图像，利用函数的图像解不等式；
（2）由（1）作出的函数图像求出()f x 的最小值为3-，可知3m =-，代入
44
a b a mb b ma
+=+--中，然后给等式
两边同乘以+a b ，再将44a b +写成(3)(3)a b a b +++后，化简变形，再用均值不等式可证明. 【详解】
（1）解法一：1°5
2x -
时，()1f x ，即1112x --
，解得132
x -； 2°5122x -<<时，()1f x ，即9312x +，解得7162x -<； 3°12x 时，()1f x ，即1112x +
，解得1
2
x . 综上可得，不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧
-
⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
. 解法二：由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
作出()f x 图象如下：
由图象可得不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧-
⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
. （2）由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧
---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨
⎪⎪+⎪⎩
所以()f x 在5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
上单调递减，在)
5
,2⎡-+∞⎢⎣上单调递增，
所以min 5()32f x m f ⎛⎫
==-
=- ⎪⎝⎭
， 正实数,a b 满足
4433a b a b b a +=+++，则2
44()()33a b a b a b b a ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭
，
即1133[(3)(3)]22243333a b b a a a b b a a b b a b a a b b ++⎛⎫⎛++++=+++=
⎪ ++++⎝⎭⎝
，
（当且仅当
3333a b b a
b a a b
++=++即a b =时取等号）
故2a b +≥，得证. 【点睛】
此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题. 20、（Ⅰ）3
C π
=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （Ⅱ）由正弦定理可得,a A b B ==，则2sin 6a b A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-得
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=
再由正弦定理得222a b c ab +-
=
因此2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为()0,C
π∈，所以3
C π
=
.
（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：
由正弦定理得1sin sin sin sin 3
a b c A B C ====
π 所以,a A b B =
=，
所以22sin
36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=
=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为203A π<<，所以5666A πππ
<+<， 所以当6
2
A π
π
+
=
即3
A π
=
时，+a b 取到最大值2，
所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.
21、（1）63n a n =-+，1
2n n b +=；（2）详见解析.
【解析】
（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，22
13[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2
132b b b =， ∴3
123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，
∴831582q q q -+
=-+⇒=或1
2
q =-（舍去）， ∴21
22n n n b b q -+==；
（2）由（1）可得：111112211
(22)(21)(21)(21)2121
n n n n n n n n n c +++++===-------，
∴123n n T c c c c =+++
+2231111111
(
)()(
)21212121
2121
n n +=-+-++------- 1
1112
1n +=-
<-，显然数列{}n T 是递增数列，
∴123n T T ≥=，即2
13
n T ≤<.）
22、 (1)[)2,+∞；(2)(],2-∞. 【解析】
（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可； （2）通过分离参数思想问题转化为33
1111
k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围. 【详解】
(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，
当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得2
5
x ≥
，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤ 综上所述，不等式解集为[)2,+∞. (2)由
()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，
当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈； 当1x ≠时，24131333
111111
x x x x k x x x x ++--++--≤
==++-----.
因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫+
+-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫
+
-≥ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
即4x ≥或2x -≤时，等号成立，
所以k 2≤；
综上k 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。