天津市西青区2021届新高考数学三模考试卷含解析

天津市西青区2021届新高考数学三模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）
A ．1
B C ．±1 D ．【答案】D
【解析】
由复数模的定义可得：2z =
=，求解关于实数a 的方程可得：a =.
本题选择D 选项.
2．双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率是3，则双曲线C 的焦距为（ ）
A ．3
B ．
C ．6
D ．【答案】A
【解析】
【分析】
根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据222,c b c a e a =-=
，可得结果. 【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=
取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=
则点F 到l =222b a c +=
所以b =222c a -= 又22
22399
c c c a a a =⇒=⇒= 所以22
3292c c c -=⇒= 所以焦距为：23c =
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属
基础题.
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）
A ．23
B ．25
C ．28
D ．29 【答案】D
【解析】
【分析】
由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可.
【详解】
解：{}n a 是等差数列
95981S a ∴==
59a ∴=，又45a =，
∴公差为4d =，
410629a a d ∴=+=，
故选：D
【点睛】
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.
4．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >> 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为0.080.08
log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，
所以0.20.211log log 0.3a b
==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11a b
>，所以b a >，
又因为
0.21a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，
所以b a c >>.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还
可以根据中间值“0,1”比较大小.
5．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求
出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒， ()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴- (4,3C ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x +
(
,AM x ∴=+ (
1E x M -=--
()
1AM ME x x -∴⋅=--++ 242660x x =-+-
242660x x =-+- 2
3714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当
13
4
x=时()max714
AM ME
⋅=-
故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种.
A．408 B．120 C．156 D．240
【答案】A
【解析】
【分析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有6
6720
A=（种），
当“乐”排在第一节有5
5120
A=（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有25
25240
A A=（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有24
2448
A A=（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408
--+=（种），故选：A．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）
A ．65
B ．85
C ．2
D ．83
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=
CA CE DB λμ=+
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得652
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i
=+，则z z ⋅=（ ）
A ．110
B ．110i
C ．1100
D ．1100
i 【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅．
【详解】
13313(3)(3)1010
i z i i i i -===-++-， ∴223131311(
)()()()10101010101010
z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A.
【点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．
9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）
A ．2
B ．4
C ．12
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案. 【详解】
4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩
（舍去）. 故2314a a q ==.
故选：B .
【点睛】
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）
A ．13 B
．3 C
D ．23
【答案】C
【解析】
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的
棱长为a ，则312,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅ 222312(
)()()32223312()()a a a a a +-==⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角．
11．函数()2ln x f x x x
=-的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.
当0x >时，()2ln x x f x x =-，()33
2ln 1'x x f x x =+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x
=+
-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）
A ．[2,1]--
B ．(,2][1,0]-∞-⋃-
C ．(,2][1,0)-∞-⋃-
D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 【答案】B
【解析】
【分析】 利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.
【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.
当0x <时，0x ->，()23f x x x
∴-=---， ()f x 为奇函数，()()()230f x f x x x x
∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩
得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(]
[],21,0-∞--.
故选：B .
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x f x =-，则()123f =___
【答案】1-
【解析】
【分析】
根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.
【详解】
()f x 满足()()11f x f x +=-，
由函数对称性可知()f x 关于1112
x x x ++-==对称， 且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，
由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=-
令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=，
所以()f x 是以4为周期的周期函数，
则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-
当01x ≤≤时()21x f x =-，
所以()1
1211f =-=， 所以()()12311f f =-=-，
故答案为：1-.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.
14．能说明“在数列{}n a 中，若对于任意的,m n N +∈，m n m n a a a +>+，则{}n a 为递增数列”为假命题的
一个等差数列是______.（写出数列的通项公式）
【答案】答案不唯一，如1n a n =--
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.
【详解】
由题意知，不妨设1n a n =--，
则()1()2m n m n a m n m n a a +=-+->-+-=+，
很明显{}n a 为递减数列，说明原命题是假命题.
所以1n a n =--，答案不唯一，符合条件即可.
【点睛】
本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.
15．函数()24f x sin x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.
【答案】π
8
π 【解析】
【分析】 直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案. 【详解】 ()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242π
π
α+≤，解得8π
α≤.
故答案为：π；
8
π. 【点睛】 本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 16
．函数()ln(1)=-+f x x ____________．（写成区间的形式）
【答案】[1,1)-
【解析】
【分析】
【详解】
要使函数()f x 有意义，需满足210430->⎧⎨+-≥⎩
x x x ，即114<⎧⎨-≤≤⎩x x ，解得11x -≤<，故函数()f x 的定义域是[1,1)-．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+
-a g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性
（2）求实数0x 和a 的值 （3
）证明()*11ln(21)2=>+∈n k n n N
【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）
由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()2
20000ln 20x x x x a --+=，联立解方程
组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x
>，取
*21,
21k x k N k +=
∈-ln(21)ln(21)k k >+--，而
=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '
=--，
令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x
-=
，由()'0h x =，可得1x =，
可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：
()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；
（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x
'
=-
-， 由已知得()'0g x =，即2
0002ln 0x x x a --=，①
由()02g x =可得，()2
2
0000ln 20x x x x a --+=，②
联立①②，消去a ，可得()2
0002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2
()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)
'()2x x x t x x x x
--=-
-=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，
01,1x a ∴==；
（3）证明：由（1）知()2
2ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，
故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，222
2ln 1()1
()0x x x f x g x x x '
---==>，
可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，
因此，当1x >时，()()12g x g >=，即2
1(ln )2x x x +->
，亦即2
2(ln )x >，
0,ln 0x >>
ln x >，取*21
,21k x k N k +=∈-，
ln(21)ln(21)k k >+--
=，
故
11
(ln(21)ln(21))ln(21)n
k n
k k k π==>+--=+∑
1
1
ln(21)()2
n
i x n N *=∴>+∈.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 18．在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为
34
，王慧每次击中鼓的概率为2
3；每轮游戏中张明和王慧
击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()E ξ. 【答案】（1）2
3
（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，
计算出所求概率.
（2）求得ξ的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1,2i =，由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
()()()()()
12121212121212121212P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++
3322132233122
24433443344333
⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是
2
3
. （2）ξ的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
11111
(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=，
111231115
(50)24433443372P ξ⎛⎫=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
13123311112237
(100)4443344334433144P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
331231225
(250)24433443312
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
3322361
(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==.
∴ξ的分布列为
∴()200(50)10025040022514472144124
E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（分） 【点睛】
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
19．已知等比数列{}n a 中，12a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)记2log n
n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n
n a =（2）()1
212
n n T n +=+-
【解析】 【分析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入b n ＝a n •log 2a n ，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 【详解】
(1)设数列{}n a 的公比为q ， 由题意知：()32422a a a +=+，
∴32220q q q -+-=，即()()
2
210q q -+=.
∴2q
，即1222n n n a -==.
(2)2n
n b n =，
∴23
1222322n n T n =+++
+.①
()23412122232122n n n T n n +=+++
+-+.②
①－②得1
2
3
4
1222222n n n T n +-=++++
+-
()1212n n +=---
∴()1
212n n T n +=+-.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，
E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合．212AB AD PA PH ====，，．
（1）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；
（2）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC
所成的角的余弦值为3
？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，E 为DC 中点 【解析】 【分析】
（1）证明AP ⊥面ABCD ，即证明平面APE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，
AB 为y 轴正方向，AP 为z
轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量方法得
1111
1cos 3m n m n θ⋅=
=
=
⋅⋅1
2λ
=，所以E 为DC 中点．
【详解】
（1）由于H 为AB 中点，1
12
AH AB ==． 又PH =
，故222PH AP AH =+，
所以PAH 为直角三角形且90PAH ∠=︒， 即PA AB ⊥．
又因为PA ⊂面PAB ，面PAB 面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ， 故AP ⊥面ABCD ，
又PA ⊂面PAE ，所以面PAE ⊥面ABCD ．
（2）由（1）知AP ⊥面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，则AP
AD AB ，，两两垂直． 以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．
则(0,0,0),P(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)A H C ，设()()12001E λλ∈,,，,， 则()()()()0,0,11,2,00111,1,0AP AE PH HC λ===-=，
，，，，， 设平面APE 的法向量为()m x y z =，，，
则有0
020
0z m AP x y m AE λ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令2x λ=-，则1y =，
则平面APE 的一个法向量为()1210m λ=-,,， 同理可得平面PHC 的一个法向量为()1111
n =-,,， 设平面
APE 与平面PHC 所成角为θ， 则由题意可得1111
1cos 3
3m n m n θ⋅=
=
=
⋅⋅，解得1
2λ=，
所以点E 为DC 中点． 【点睛】
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；
（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：12
11
42a x x +>-. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题意得()f x '，分1b ≤-与1b >-讨论即可得到函数()f x 的单调性； （2）根据题意构造函数()g x ，得12()()g x g x m ==，参变分离得21
12
ln ln 2x x a x x --=
-，
分析不等式1211
42a x x +>-，即转化为122211
2ln x x x x x x -<-，设21(1)x t t x =>，再构造函数()1
2ln g t t t t
=-+，利用导数得单调性，进而得证.
【详解】
（1）依题意0x >，当0a =时，1
()(1)f x b x
'=
-+， ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增； ②当1b >-时，若10,
1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫
∈+∞ ⎪+⎝⎭
，()0f x '<；
故此时()f x 的单调递增区间为10,
1b ⎛
⎫ ⎪+⎝
⎭，单调递减区间为1,1b ⎛⎫
+∞ ⎪+⎝⎭
.
（2）方法1：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==， 依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，即21
12
ln ln 2x x a x x --=
-，
要证
121142a x x +>-，只需证()2112
1212
2ln ln 2(2)x x x x a x x x x --+>-=-（不妨设12x x <），
即证
122211
2ln x x x x x x -<-， 令21(1)x t t x =>，设()12ln g t t t t
=-+，则22211()1(1)0g t t t t '=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，即()(1)0g t g <=，从而有
12
11
42a x x +>-. 方法2：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1
()(2)g x a x
'=-- 当1(0,
)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a
∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 在1(0,
)2a -上单调递增，在1(,)2a
+∞-上单调递减， 不妨设12x x <，则121
02x x a
<<
<-， 要证12
11
42a x x +>-，只需证212(42)1x x a x <--，易知
221(0,)(42)12x a x a ∈---， 故只需证212()(
)(42)1x g x g a x <--，即证2
22()()(42)1
x g x g a x <--
令()()(
)(42)1x h x g x g a x =---，（1
2x a
>-），
则()2
1
()()(
)
(42)1421x
h x g x g a x a x '''=+
----⎡⎤⎣⎦
=()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()2
24(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦
， （也可代入后再求导）
()h x ∴在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭
上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-，
故对于1
2x a >-时，总有
()()(42)1x g x g a x <--.由此得12
1142a x x +>- 【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题. 22．已知函数32
1()26
F x x x a =-
++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫
''<
⎪⎝⎭
．
（注：()f x ''是()f x '的导函数）
【答案】（1）()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；
（2）求出含有参数a 的()f x '
，再求出()f x ''，由()f x c '=的两根是,αβ，得a αβ=，
计算(
)2
f αβ
+''，代入a αβ=后可得结论．
【详解】
解：2
1()()()2ln 2
f x F x G x x x a x '=-=-
+-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()222a x x a
f x x x x
-+-'=-+-=
． （1）当3a =-时，222323(3)(1)
()x x x x x x f x x x x
-++---+'==-=-
， 由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >，
故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a f x x x '=-+-，0x >，2()1a
f x x
''∴=-+， 方程()f x c '=的两根分别为α，β
()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=．
2222
44()1102
()()()a f αβ
αβαβαβαβαβ+--⎛⎫
''=-+=-+=< ⎪+++⎝⎭
． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．
23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为122x a t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.在以坐标原
点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3cos 24sin 3ρθρθ+=.
（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；
（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQ
的最小值为
2
，求a 的值. 【答案】（1
cos sin 0θρθ+-= （2
）a =【解析】 【分析】
（1）利用消参法以及点()2,0A 求解出l 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线l 的极坐标方程；
（2）将Q
的坐标设为()
cos αα，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出||PQ 取最小值时对应a 的值. 【详解】
（1）消去参数t 得l
0y +-=， 将()2,0A 代入，可得1a =
0y +-= 所以l
cos sin 0θρθ+-=
（2）C 的直角坐标方程为22
13
y x +=
直线l
0(0)y a +-=> 设Q
的直角坐标为()
cos αα
∵P 在直线上，∴||PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离()d α的最小值
()d α=
∵0a >，∴当4πα=
，sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时||PQ
=
，∴a =【点睛】
本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，
难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.。