初中数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题及答案

初中数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题及答案
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+
2．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）
A ．(42,0)
B ．(42,0)-
C ．(8,0)-
D ．(0,8)-
3．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论：
①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13
=
S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）
A ．①，②都对
B ．①，②都错
C ．①对，②错
D ．①错，②对
4．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连结BF ，交AC 于点M ，连结DE ，BO ．若60BOC ∠=︒，FO FC =，则下列
结论：①AE CF =；②BF 垂直平分线段OC ；③EOB CMB ∆∆≌；④四边形是BFDE 菱形．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为 （ ）
A ．3
B ．13+
C ．7
D ．3
6．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（ ）
A ．62
B ．626+
C ．92
D ．926+ 7．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，P
E ⊥AB 于 E ，P
F ⊥AC 于
F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
8．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2
=
△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）
①ED CA ⊥；②EF EG =；③12FH FD =；④12
EFD ACD S S =△△．
A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
10．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ， PF ⊥CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：①PD=2EC ；②四边形PECF 的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF ；⑤EF 的最小值为22；⑥AP ⊥EF ，其中正确结论的序号为（ ）
A ．①②④⑤⑥
B ．①②④⑤
C ．②④⑤
D ．②④
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．
12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，
PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
13．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．
15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
16．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
17．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．
19．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的
点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32
S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
三、解答题
21．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．
（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；
（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；
（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．
22．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .
（1）求证：AEF CGH ∆≅∆
（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
23．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =
132
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
24．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．
（1）补全图形，并求证：DM＝CN；
（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．
25．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．
26．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直
、重合)，另一直角边与
角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B
∠的平分线BF相交于点F．
CBM
(1)求证: ADE FEM
∠=∠;
(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
27．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为t秒．
（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．
（2）当点M落在BC边上时，求t的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
28．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
29．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长
→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D
单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：
（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？
30．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意
．．取一点
F，在线段BC上任意
．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，
BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=1
2 AE，
∵HB ⊥HM ，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E 点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt △EBC 中，BC=4，
∴，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G 点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知条件如图可得到B 1 ，B 2所在的正方形的对角线
长为2,B 3所在的正方形的对角线长为3,依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长
为6=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。

【详解】
根据图可得四边形OBB 1C 为正方形
因此OB 1 ，B 1在第一象限；
OB 2=2 ，B 2在x 轴正半轴；
OB 3=3 ，B 3在第四象限；
OB 4=4 ，B 4在x 轴负半轴；
依照规律可得：
OB 6=6 ，B 6在x 轴负半轴；
所以B 6（-8,0），故选C
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，在结合考查点的坐标问题，关键在于推理总结出规律。

3．A
解析：A
【解析】
【分析】
只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长
EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得
EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3
菱形=． 【详解】 ①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12
=∠ABF=35°，故①正确；
②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=S △MBE ，∴S △BEF 12
=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13
=
S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．C
解析：C
【分析】
通过证△AEO ≌CFO 可判断①；利用矩形的性质证△OCB 是正三角形，可得②；因OB≠MB ，得到③错误；通过证△EOB ≌△FCB 得到EB=FB ，从而证④．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO ≌CFO(AAS)
∴AE=FC ，①正确
∵四边形ABCD 是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB 是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB 是线段OC 的垂直平分线，②正确
∵BM ⊥OC ，∴△OMB 是直角三角形，∴OB ＞BM
∴EOB CMB ∆∆≌是错误的，即③错误
∵四边形ABCD 是矩形
∴EB ∥DF ，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD 是平行四边形
∵△AEO ≌△CFO ，OF=FC ，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC 是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO ，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB ≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD 是菱形，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE ≌△COF 和证明△BOC 是正三角形．
5．C
解析：C
【分析】
设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可．
【详解】
解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，
∵P 为AE 中点，
∴点P 在MN 上，
作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，
∴OP OP ='，
∴PO ＋PB =BP O P BO +=''，
∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°，
∴OA =OB ，∠AOB =60°，
∴△AOB 为等边三角形，
∴AB =BO =4，
过点A 作AH ⊥BO 于H ，
∴AH =，
∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ，
∴AH OO =='OO BD ⊥'，
∴BO ='
即PO ＋PB
故选：C ．
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得
90,BAC DAE BC DE ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △
周长为BC +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．
【详解】
在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，
ABC ∴
是等腰直角三角形，90,BAC BC ∠=︒==
在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，
ADE ∴
是等腰直角三角形，90,DAE DE ∠=︒==，
90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
BAD CAE ∴∠=∠，
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴≅，
BD CE ∴=，
CDE ∴
周长为CD CE DE CD BD DE BC DE ++=++=+=， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，
由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，
AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）， 1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=
12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM.
【详解】
在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，
所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
故四边形AEPF 为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP 中点，即AM=12
AP ， 故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小，
由1122ABC S
AB AC BC AP =⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125， AM=12AP=6 1.25
= 故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.
8．A
解析：A
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且
ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2
=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】
∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==
∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒
∵点D 是AB 的中点
∴CD AB ⊥
，且1AD BD CD AB 2
===
=∴DCB 45∠=︒
∴A DCF ∠∠=，
在ADE 和CDF 中 AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE ≌()CDF SAS
∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=
∵CD AB ⊥
∴ADC 90∠=︒
∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒
∴DEF 是等腰直角三角形
∵ADE ≌CDF
∴ADE 和CDF 的面积相等
∵D 为AB 中点
∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；
当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小
根据勾股定理得：222EF
DE DF =+
此时四边形CEDF 是正方形
即EF CD ==∴22EF 2==
∴正确的个数是4个
故选：A ．
【点睛】
本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．9．B
解析：B
【分析】
由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=1
2
AB；由直角三角
形斜边上中线等于斜边一半可得EG=1
2
CD，即可得EF=EG；连接FG，可证四边形DEFG是
平行四边形，即可得FH=1
2
FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=
1
4
S△AOB，进而可得
S△EFD=S△OEF+S△ODE=
3
16
S▱ABCD，而S△ACD=
1
2
S▱ABCD，推出S△EFD
1
2
S△ACD，即可得出结论．
【详解】
连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∵BD=2AD，
∴OD=AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，
∴EF∥AB，EF=1
2 AB，
∵∠CED=90°，G是CD的中点，
∴EG=1
2 CD，
∴EF=EG，故②正确；
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，EF=EG=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH=DH，
即FH=1
2
FD，故③正确；
∵△OEF∽△OAB，
∴S△OEF=1
4
S△AOB，
∵S△AOB=S△AOD=1
4
S▱ABCD，S△ACD=
1
2
S▱ABCD，
∴S△OEF=
1
16
S▱ABCD，
∵AE=OE，
∴S△ODE=1
2
S△AOD=
1
8
S▱ABCD，
∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=
1
16
S▱ABCD+
1
8
S▱ABCD
3
16
=S
▱ABCD
，
∵1
2
S△ACD
1
4
=S
▱ABCD
，
∴S△EFD
1
2
≠S△ACD，故④错误；
综上，①②③正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得EC．
②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；
④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；
⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于；
⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．
【详解】
①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP=PC，
∴AP=EF，
故④正确；
⑤由EF=PC=AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=1
2
BD=
1
2
22时，EF的最小值等于2，故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP=90°，
∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF=90°，∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．25
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
设斜边上的高为h，
则S △ABC =1122
BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 13．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知
=是解题关键．
识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE
14．8或12
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解】
在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，
∠的平分线交CD于点E，
∵BAD
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
15．5
【分析】
过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则
22
+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性OE BE
质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
OB=22OE BE +．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．32【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，AC=62
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=22OA=322
，
∴EF=2OE=32
17．6
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，
推出PE=1
2
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条
直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=1
2
AB=3，得到2PB+
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1
2 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
18．5
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55
NG M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴2222
10555
NG DN DG
++
＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝1
2
∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，
M、O、N、G四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值5
故答案为：5
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
19．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到
∠EBG=1
2
∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则
DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用
相似比得到
4
3
DE AF
DF AB
==，而
6
2
3
AB
AG
==，所以
AB DE
AG DF
≠，所以△DEF与△ABG不相
似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝1
2
∠CBF+
1
2
∠ABF＝
1
2
∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴AB
DF
＝
AF
DE
，
∴DE
DF
＝
AF
AB
＝
8
6
＝
4
3
，
而AB
AG
＝
6
3
＝2，
∴AB
AG
≠
DE
DF
，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG＝1
2
×6×3＝9，S△GHF＝
1
2
×3×4＝6，
∴S△ABG＝3
2
S△FGH，所以②正确．
故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
20．（-2，0）
【分析】
先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，
∴对角线的交点D 的坐标是（2,2）， ∴22222OD =+=
将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0，22），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-2，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-22
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（2,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，22
由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，
∵201982523÷=，
∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-2，0）
故答案为：（-220）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出
BC∥FG，BC＝1
2
FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝1
2 FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝1
2 FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝1
2
EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝1
2 EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝1
2 BC，
∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）62BE =（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12
AE
DG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AD//BC ，
∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，
∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，
∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，
∵//EH AC ，AB//CD ，
∴四边形ACGE 是平行四边形，
∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AB=CD ，
∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，
∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；
由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,
∴12
AE DG CG CD ,
∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴242AB CD AD ,
∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=；
（3）如下图，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，
∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，
∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==
2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，
且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,
∴22222()AC BD AB BC +=+
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．
23．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）
494
． 【分析】
（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；
（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，。