高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》单元汇编及答案解析

高中数学《集合与常用逻辑用语》期末考知识点
一、选择题
1．下列命题中是假命题的是 A ．对任意x ∈R ，30x > B ．对任意()0x ∈+∞，
，sin x x > C ．存在0x ∈R ，使20log 0x = D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案. 【详解】
因为函数30x
y =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0
x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，
，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为
000πsin cos 4x x x ⎛
⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题.
故选D ． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．函数1
()f x x
=
在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1
()f x x
=在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；
对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；
对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得
6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；
对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若
21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误；
故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
3．已知集合307x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =（ ）
A ．{}0,1,3
B ．{}3,2,1,3--
C ．{}0,1,3,7
D ．{}3,2,0,1,3--
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解,A B ，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合[)303,77x A x
x +⎧⎫=≤=-⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
{}0,1,3,7=，
所以{}0,1,3A B =I ． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-
C ．{|3}x x ≤-
D ．{|23}x x ≤<
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】
因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，
()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.
5．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
6．14
a =-
是函数2
()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
将1
4
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】
当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
7．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[)2,1-- B ．(],2-∞-
C ．[]2,1--
D ．[)1,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题； 所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥. 又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；
②“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，001
2x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x
+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断
③的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线4
2
a x +=
， 该函数为偶函数，则
4
02
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4
x k k Z π
π=+∈，
所以，tan 14
x x π
=⇒=，tan 14
x x π
=
⇐=/，
则“4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
9．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >，
所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
10．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:032p r <<；q ：圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为22，利用“,r d ”法，分析当
02r <<，2r =，232r <<，32r =，32r >时，圆C 上的点到直线
30x y ++=的距离为2的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为22． 当02r <<时，圆上没有点到直线的距离为2；
当2r =
时，圆上恰有一个点到直线的距离为2；
当232r <<时，圆上有2个点到直线的距离为2； 当32r =时，圆上有3个点到直线的距离为2； 当32r >，圆上有4个点到直线的距离为2．
若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则032r <<． 所以p 是q 的充要条件． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
11．设
，则
"是"
"的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当
时，
，充分性；
当，取
，验证成立，故不必要.
故选：. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
12．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故
22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分
条
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
13．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
14．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】
由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
15．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
16．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
17．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
18．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-->
⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，任意
的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为()5,02x f x '>
>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于5
2
x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()21221212555
5,555222
f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<
反之也成立： 12x x <时，
()()()121212122555
5,,55222
x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
19．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1
时，方程根为
，所以选B ．
20．已知命题:p 函数()
2
0.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()
52x
y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．12a <<
C ．2a <
D ．1a ≤或2a ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意知p 为假命题，q 为真命题.
由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ∆=-≥⇒≤ .
q 为真命题，即： 5212a a ->⇒<.由此便可得出答案.
【详解】
由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数(
)
2
0.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即
4401a a ∆=-≥⇒≤.
由:q 函数()52x
y a =--是减函数，即：()52x
y a =-是增函数，即5212a a ->⇒<. 两者取交集得：1a ≤. 故选：A 【点睛】
本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.。