高中数学 第一章 常用逻辑用语阶段通关训练(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

第一章常用逻辑用语
阶段通关训练(一)
(60分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.“若x2=1,则x=1或x=-1”的否命题是( )
A.若x2≠1,则x=1或x=-1
B.若x2=1,则x≠1且x≠-1
C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1
D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1
【解析】选D.否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定,“或”的否定是“且”.
2.(2017·成都高二检测)已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“>”是“a>b”的充要条件,则( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.p真q假
D.p,q均为假
【解析】选A.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由>能够推出a>b,反之,因为>0,所以由a>b能推出>成立,故命题q是真命题.
3.设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么( )
A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【解析】选 A.本题考查集合法判断充分性、必要性.因为甲:0<x<5,乙:-1<x<5,甲中范围为乙中范围的真子集,故甲是乙的充分不必要条件.
4.(2017·日照高二检测)已知命题p:∃n0∈N,>1000,则p为( )
A.∀n∈N,2n≤1000
B.∀n∈N,2n>1000
C.∃n0∈N,≤1000
D.∃n0∈N,<1000
【解析】选A.由于特称命题的否定是全称命题,因而p为∀n∈N,2n≤1000.
5.下列叙述中正确的是( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;
对于选项B,b=0时不成立;
对于选项C,否定应为“存在x0∈R,有<0”;
对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.
6.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则( )
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.p是真命题
D.q是真命题
【解析】选D.因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;
因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题,故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.“a,b,c中至少有一个是偶数”的否定是__________.
【解析】题目中应对a,b,c全盘否定.
答案:a,b,c都不是偶数
8.(2017·九江高二检测)命题p:∃α0,sinα0>1是__________(填“全称命题”或“特称命题”),它是__________命题(填“真”或“假”),它的否定p:__________,它是__________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题p含有存在量词“∃”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命
题.
答案:特称命题假∀α,sinα≤1 真
9.(2017·兰州高二检测)已知命题p:|x2-x|≠6,q:x∈N,且“p∧q”与“q”都是假命题,则x的值为__________.
【解析】由“p∧q”与“q”都是假命题,知p假q真,得解得x=3.
答案:3
10.设命题p:点(2x+3-x2,x-2)在第四象限,命题q:x2-(3a+6)x+2a2+6a<0,其中a>-6.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
【解析】命题p:⇔-1<x<2,所以命题p:x≤-1或x≥2.
命题q:a<x<2a+6,所以命题q:x≤a或x≥2a+6.
设集合M={x|x≤-1或x≥2},N={x|x≤a或x≥2a+6}.
由题意,得N是M的真子集,
所以或
解得-2<a≤-1或-2≤a<-1,即-2≤a≤-1.
答案:[-2,-1]
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(2)∀x∈{x|x>0},x+≥2.
(3)∃x0∈{x|x∈Z},log2x0>2.
【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
(3)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
12.(12分)已知a>0,a≠1.设命题p:函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.
【解析】当0<a<1时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减.
当a>1时,y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减函数,故p真时,0<a<1.
q真等价于Δ=(2a-3)2-4>0,即a<或a>.
又a>0,所以0<a<或a>.
因为p或q为真,p且q为假,
所以p,q中必定是一个为真一个为假.
(1)若p真,q假时,
则所以≤a<1,
即a∈.
(2)若p假,q真时,
则所以a>,
即a∈.
综上可知,a的取值范围为∪.
13.(13分)求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
【解析】因为a≠0,x1·x2=,所以方程至少有一负根应有:
(1)正负根各有一个,此时有x1x2<0,即<0,解得a<0.
(2)两负根,此时应有
解得0<a≤1.
所以方程至少有一负根的充要条件是a≤1,且a≠0.
14.(13分)(2017·金陵高二检测)命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若q⇒p,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由于a=1,则x2-4ax+3a2<0⇒x2-4x+3<0⇒1<x<3.
所以p:1<x<3.
解不等式组
得2<x≤3,所以q:2<x≤3.
由于p∧q为真,所以p,q均是真命题.
解不等式组得2<x<3,
所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)p:x2-4ax+3a2≥0,a>0,
x2-4ax+3a2≥0⇒(x-a)(x-3a)≥0⇒x≤a或x≥3a,
所以p:x≤a或x≥3a,
设A={x|x≤a或x≥3a},
由(1)知q:2<x≤3,
设B={x|2<x≤3}.
由于q⇒p,所以B⊆A,
所以3≤a或3a≤2,即0<a≤或a≥3,
所以实数a的取值范围是∪[3,+∞).
【能力挑战题】
求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根大于1的充要条件是k<-2. 【证明】必要性:
若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,
则
⇒
即解得k<-2.
充分性:
当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.
设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,
则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1
=k2+2k-1+1=k(k+2)>0.
又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2
=-(2k-1)-2=-2k-1>0,
所以x1-1>0,x2-1>0,
所以x1>1,x2>1.
综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件为k<-2.。